1、最新FIR滤波器的研究与实现FIR滤波器的研究与实现1 引言随着信息技术的迅猛发展，数字信号处理已成为一个极其重要的学科和技术领域。在通信、语音、图像、自动控制和家用电器等众多领域得到了广泛的应用。数字滤波是数字信号处理的重要环节，它在数字信号处理中占有着重要的地位,它具有可靠性好、精度高、灵活性大、体积小、重量轻等优点。随着数字技术的发展，数字滤波器越来越受到人们的重视，广泛地应用于各个领域。数字滤波器的输入输出信号都是数字信号，它是通过一定的运算过程改变输入信号所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分来实现滤波的，这种运算过程是由乘法器、加法器和单位延迟器组成的。数字滤波器是数字信号处理
2、技术的重要内容，其对数字信号进行的最常见处理是保留数字信号中的有用频率成分和去除信号中的无用频率成分。按照时间域的特性，数字滤波器可以分为无限冲激脉冲响应数字滤波器（IIR滤波器）和有限冲激脉冲响应数字滤波器（FIR滤波器）Skip Record If.。从性能上来说，IIR滤波器传输函数的极点可位于单位圆内的任何地方，因此可用较低的阶数获得高的选择性，所用的存贮单元少，所以经济而效率高。但是这个高效率是以相位的非线性为代价的。选择性越好，则相位非线性越严重。相反，FIR滤波器却可以得到严格的线性相位，然而由于FIR滤波器传输函数的极点固定在原点，所以只能用较高的阶数达到高的选择性。对于同样的
3、滤波器设计指标，FIR滤波器所要求的阶数可以比IIR滤波器高510倍。结果，成本较高，信号延时也较大；如果按相同的选择性和相同的线性要求来说，则IIR滤波器就必须加全通网络进行相位较正，同样要增加滤波器的节数和复杂性。从结构上来说，IIR滤波器必须采用递归结构，极点位置必须在单位圆内，否则系统将不稳定。另外，在这种结构中，由于运算过程中对序列的舍入处理，这种有限字长效应有时会引入寄生振荡。相反，FIR滤波器主要采用非递归结构，不论在理论上还是在实际的有限精度运算中都不存在稳定性问题，运算误差也较小Skip Record If.。此外，FIR滤波器可以采用快速傅里叶变换算法，在相同阶数的条件下，
4、运算速度可以快得多。从设计工具上来说，IIR滤波器可以借助模拟滤波器的成果，因此一般都有有效的封闭形式的设计公式可供参考，计算工作量比较小，而且对计算工具的要求不高；FIR滤波器一般没有封闭形式的设计工具。窗函数法设计FIR滤波器也仅给出了窗函数的计算公式，但是在计算通带阻带衰减时无明显表达式。一般FIR滤波器的设计只有计算程序可循，因此它对计算工具要求较高。另外，相比IIR，FIR系统只有零点，因此系统总是稳定的，所以能够获得严格的线性相位。IIR滤波器虽然设计简单，但主要用于设计具有片段常数特性的滤波器，如低通、高通、带通及带阻等，往往脱离不了模拟滤波器的格局。而FIR滤波器则要灵活得多，
5、易于实现某些特殊功能的应用。综上所述，IIR和FIR滤波器各有所长，所以在实际应用中，选择滤波器型号时，应该从多方面加以考虑。FIR数字滤波器的实现,大体可以分为软件和硬件实现两种。软件方法速度慢，难以对信号进行实时处理，虽然可以用快速傅立叶变换算法来加快计算速度 ,但很难达到实时处理的要求，因而多用于教学与科研。硬件实现主要采用以下两种方法:（1）采用DSP（Digital Signal Processing）处理器来实现。（2）采用固定功能的专用信号处理器。但这两种方法实现起来比较困难。FIR相对于IIR滤波器有许多独特的优越性，在保证满足滤波器幅频响应要求的同时还可获得严格的线性相位特性
6、，从而保持稳定。对非线性相位FIR滤波器一般可以用 IIR滤波器来代替。由于在数据通信、语音信号处理、图像处理以及自适应处理等领域往往要求信号在传输过程中不能有明显的相位失真 ,而IIR存在频率色散的问题，所以 FIR滤波器获得了更广泛的应用。随着通信与信息技术的发展，数字信号处理在该领域显得越来越重要。同时数字信号处理在语音、自动控制、航空航天和家用电器等领域也得到了广泛应用，它已成为当今一门极其重要的学科和技术。在数字信号处理中起重要作用并获得广泛应用的是数字滤波器，数字滤波器是数字信号处理的基础。Matlab Matrix laborator是美国MathWorks公司推出的具有强大数值
7、分析、矩阵运算、图形绘制和数据处理等功能的软件，现已广泛应用到教学、科研、工程设计等领域Skip Record If.。随着 Matlab软件信号处理工具箱的推出，Matlab已成为信息处理，特别是数字信号处理DSP应用中分析和设计的主要工具。就Matlab信号处理中的滤波器设计而言，在很大程度上能快速有效地实现滤波器的分析、设计及仿真，大大节约了设计时间，相对传统设计而言，简化了滤波器设计难度。2 FIR数字滤波器的特性 FIR数字滤波器的冲激响应Skip Record If.的Z变换为：Skip Record If. （2-1）其中滤波器最重要的两个特性为线性相位特性和幅度特性。2.1 F
8、IR滤波器的线性相位特性由式（2-1）可以看出，H（z）是Skip Record If.的N-1次多项式，它在z平面内有N-1个零点，同时在原点有N-1个重极点。因为FIR数字滤波器的单位冲激响应是有限长的，所以它永远都是稳定的。在数字信号处理的许多领域中，常常要求滤波器具有线性相位，达到这一要求，仅需要对FIR数字滤波器的冲激响应Skip Record If.施加一定的约束Skip Record If.。令Skip Record If.，就可由Skip Record If.得到FIR数字滤波器的频率响应： Skip Record If. （2-2）式中Skip Record If.是Skip
9、 Record If.的幅频特性，Skip Record If.是Skip Record If.的相频特性Skip Record If. （2-3）当要求滤波器具有严格的线性相位，或者说具有相位不失真时，应有：Skip Record If. （2-4）即 Skip Record If. （2-5）也即 Skip Record If. （2-6）将式（2-6）展开可得：Skip Record If. （2-7）式（2-7）的左边具有傅里叶级数的形式。由于FIR数字滤波器的冲激响应Skip Record If.为实数，若Skip Record If.呈偶对称，即Skip Record If. （2
10、-8a）其对称中心在Skip Record If. （2-9）此时有Skip Record If. （2-10）因此：Skip Record If. （2-11）根据式（2-2），有 Skip Record If. (2-12a)Skip Record If. （2-12b）若Skip Record If.呈奇对称，Skip Record If. （2-8b）其对称中心也在Skip Record If.处。此时有：Skip Record If. （2-13a）Skip Record If. （2-13b）即Skip Record If.呈奇对称的滤波器相位与Skip Record If.呈偶对
11、称的相位产生了Skip Record If.的相移。式（2-8）和式（2-9）是FIR数字滤波器具有线性相位的充要条件。即它要求FIR数字滤波器的单位冲激响应Skip Record If.的序列必须满足式（2-8）所表示的特定的对称性，其相位延迟等于Skip Record If.长度的一半，即Skip Record If.个采样周期。具有线性相位的FIR数字滤波器既有恒定的延迟群，又有恒定的相延迟。2.2 FIR滤波器的幅频特性FIR滤波器的幅频特性可以分为以下4种情况：（1）Skip Record If.为偶对称，且N为奇数(型滤波器）当Skip Record If.为偶对称，且N为奇数时，
12、根据式（2-12）滤波器的幅频函数可以表示为：Skip Record If. （2-14）其中Skip Record If.，Skip Record If.。此时，Skip Record If.对Skip Record If.呈偶对称。型滤波器的幅频函数可以通过例程2-1的MATLAB语言实现，曲线图如图2.1所示。 例程2-1 型滤波器幅频函数FunctionHr,w,a,L=hr_type1(h);%计算所设计的型滤波器的振幅响应%Hr=振幅响应%a=型滤波器的系数%L=Hr的阶次%h=型滤波器的单位冲激响应M=length(h);L=(M-1)/2;a=h(L+1) 2*h(L:-1:1
13、);n=0:1:L;w=0:1:500*2*pi/500;Hr=cos(w*n)*a; t=-3.14:0.314:3.14;h=cos(t);Hr,w,a,L=hr_type1(h);plot(Hr)图2.1 型滤波器幅频函数（2）Skip Record If.为偶对称，且N为偶数（型滤波器）当Skip Record If.为偶对称，且N为偶数时，根据式（2-12）滤波器的幅频函数可以表示为：Skip Record If. （2-15）其中：Skip Record If.。此时Skip Record If.对Skip Record If.呈奇对称。但是Skip Record If.，故高通滤
14、波器不能用这种方法实现。型滤波器的幅频函数可以通过例程2-2的MATLAB语言实现，曲线图如图2.2所示。 例程2-2 型滤波器幅频函数functionHr,w,b,L=hr_type2(h);%计算所设计的型滤波器的振幅响应%Hr=振幅响应%a=型滤波器的系数%L=Hr的阶次%h=型滤波器的单位冲激响应M=length(h);L=M/2;b=2*h(L:-1:1);n=1:1:L;n=n-0.5;w=0:1:500*2*pi/500;Hr=cos(w*n)*b;t=-3.14:0.33:3.14;h=cos(t);Hr,w,b,L=hr_type2(h);plot(Hr)图2.2 型滤波器幅
15、频函数（3）Skip Record If.为奇对称，且N为奇数（型滤波器）当Skip Record If.为奇对称，且为奇数时，根据式（2-13）滤波器的幅频函数可以表示为：Skip Record If. （2-16）其中Skip Record If.。此时Skip Record If.对Skip Record If.呈奇对称。但是当Skip Record If.时，Skip Record If.，所以低通、高通滤波器不能采用这种形式。型滤波器的幅频函数可以通过例程2-3的MATLAB语言实现，曲线图如图2.3所示。 例程2-3 型滤波器幅频函数functionHr,w,c,L=hr_type
16、3(h);%计算所设计的型滤波器的振幅响应%Hr=振幅响应%b=型滤波器的系数%L=Hr的阶次%h=型滤波器的单位冲激响应M= length (h);L= (M-1)/2;c=2*h(L+1:-1:1);n=0:1:L;w=0:1:500*2*pi/500;Hr=sin(w*n)*c;t=-3.14:0.314:3.14;h=sin(t);Hr,w,c,L=hr_type3(h);plot(Hr)图2.3 型滤波器幅频函数 4、Skip Record If.为奇对称，且N为偶数（型滤波器）当Skip Record If.为奇对称，且N为偶数时，根据式(2-13)滤波器的幅频函数可表示为：Ski
17、p Record If. （2-17）其中：Skip Record If.。此时Skip Record If.对Skip Record If.呈奇对称，对Skip Record If.呈偶对称。但是当Skip Record If.时，Skip Record If.，所以低通滤波器不能采用这种形式。型滤波器的幅频函数可以通过例程2-4的MATLAB语言实现，曲线图如图2.4所示。例程2-4 型滤波器的幅频函数functionHr,w,d,L=hr_type4(h);%计算所设计的型滤波器的振幅响应%Hr=振幅响应%d=型滤波器的系数%L=Hr的阶次%h=型滤波器的单位冲激响应M= length
18、(h);L= M/2;d=2*h(L:-1:1);n=1:1:L;n=n-0.5;w=0:1:500*2*pi/500;Hr=sin(w*n)*d;t=-3.14:0.33:3.14;h=sin(t);Hr,w,d,L=hr_type4(h);plot(Hr)图2.4 型滤波器的幅频函数 3 基于窗函数的FIR数字滤波器设计3.1 常用窗函数及MATLAB实现3.1.1矩形窗（Rectangular window）矩形窗函数的时域形式可以表示为: Skip Record If. （3-1-1）它的频域特性为：Skip Record If. （3-1-2）矩形窗函数的时域幅度与频域幅度特性曲线的
19、MATLAB实现如例程3-1所示，曲线图如图3.1所示。 例程3-1 矩形窗函数的时域幅度与频域幅度特性曲线%draw trectangle window time and frequency amplitudeclear all;N=64;w=rectwin(N);wvtool(w); 图3.1 矩形窗函数的时域幅度与频域幅度特性曲线3.1.2三角窗（Triangular window）三角窗函数的时域形式可以表示为：当窗长N为奇数时：Skip Record If. （3-1-3）当窗长N为偶数时： Skip Record If. （3-1-4）它的频域特性为：Skip Record If.
20、 （3-1-5）三角窗函数的主瓣宽度为Skip Record If.，比矩形窗函数的主瓣宽度增加一倍，但是它的旁瓣却小得多。三角窗函数的时域幅度与频域幅度特性曲线的MATLAB实现如例程3-2所示，曲线图如图3.2所示。 例程3-2 三角窗函数的时域幅度与频域幅度特性曲线%draw triangle window time and frequency amplitudeclear all;N=64;w=triang(N);wvtool(w);图3.2 三角窗函数的时域幅度与频域幅度特性曲线3.1.3汉宁窗（Hanning window）汉宁窗函数是余弦平方函数，又称之为升余弦函数，它的时域形式
21、可以表为：Skip Record If. （3-1-6）其中Skip Record If.。它的频域幅度特性函数为：Skip Record If. （3-1-7）其中Skip Record If.为矩形窗函数的幅度频率特性函数。汉宁窗函数的最大旁瓣值比主瓣值低31dB，但是主瓣宽度比矩形窗函数的主瓣宽度增加了一倍，为Skip Record If.。汉宁窗函数的时域幅度与频域幅度特性曲线的MATLAB实现如例程3-3所示，曲线图如图3.3所示。 例程3-3 汉宁窗函数的时域幅度与频域幅度特性曲线%draw hanning window time and frequency amplitudecl
22、ear all;N=64;w=hann(N);wvtool(w); 图3.3 汉宁窗函数的时域幅度与频域幅度特性曲线3.1.4海明窗（Hamming window）海明窗函数是一种改进的升余弦函数，定义为：Skip Record If. （3-1-8）其中Skip Record If.。它的幅度频率特性为：Skip Record If. （3-1-9）和汉宁窗（Hanning window）函数相比，海明窗函数的主瓣宽度和汉宁窗相同，但是它的旁瓣又被进一步压低，其最大旁瓣值比主瓣值低41dB。海明窗函数的时域幅度与频域幅度特性曲线的MATLAB实现如例程3-4所示，曲线图如图3.4所示。 例程
23、3-4 海明窗函数的时域幅度与频域幅度特性曲线%draw hanning window time and frequency amplitudeclear all;N=64;w=hanning(N);wvtool(w);图3.4 海明窗函数的时域幅度与频域幅度特性曲线3.1.5布拉克曼窗（Blackman window）为了进一步抑制旁瓣，对升余弦函数再加上一个二次谐波的余弦分量，便得到了布拉克曼窗函数，也称之为二阶升余弦函数。它的时域形式可以表示为：Skip Record If. （3-1-10）其中Skip Record If.。其幅度频率特性为：Skip Record If.（3-1-1
24、1）其中Skip Record If.为矩形窗函数的幅度频率特性函数。布拉克曼窗函数主瓣的宽度是矩形窗函数主瓣宽度的三倍，为Skip Record If.。它的最大旁瓣值比主瓣值低57dB。布拉克曼窗函数的时域幅度与频域幅度特性曲线的MATLAB实现如例程3-5所示，曲线图如图3.5所示。 例程3-5 布拉克曼窗函数的时域幅度与频域幅度特性曲线%draw blackman window time and frequency amplitudeclear all;N=64;w=blackman(N);wvtool(w);图3.5 布拉克曼窗函数的时域幅度与频域幅度特性曲线3.1.6切比雪夫窗（C
25、hebyshev window）切比雪夫窗又称Dolph-Chebyshev窗，它是由一个切比雪夫多项式在单位圆上作N点等间隔抽样，然后再作DFT反变换得到的。当给定窗的长度N，最大旁瓣衰减r（切比雪夫窗函数傅里叶变换旁瓣幅度比主瓣低rdB），则其3dB带宽B的表达式为：Skip Record If. （3-1-12）切比雪夫窗函数的时域幅度与频域幅度特性曲线的MATLAB实现如例程3-6所示，曲线图如图3.6所示。 例程3-6 切比雪夫窗函数的时域幅度与频域幅度特性曲线%draw chebyshev window time and frequency amplitudeclear all;N
26、=64;w=chebwin(N);wvtool(w);图3.6 切比雪夫窗函数的时域幅度与频域幅度特性曲线3.2 数字低通滤波器的窗函数设计假设理想低通数字滤波器的频率响应Skip Record If.如图3.7所示，其幅频特性为Skip Record If.。那么该滤波器的：Skip Record If. （3-2-1）式中Skip Record If.表示截止频率（rad），Skip Record If.表示采样延迟。Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record
27、If.0Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.低通Skip Record If.1Skip Record If. 图3.7 理想低通数字滤波器幅频特性由此可得理想数字低通滤波器的单位冲激响应Skip Record If.为：Skip Record If.（3-2-2）根据式（3-2-2），可知Skip Record If.为无限非因果序列，关于Skip Record If.对称。为了从Skip Record If.得到一个因果线性相位的FIR滤波器，必须利用有限长度N的窗函数Skip Record If.对Skip Record If.进行截
28、取，截取后的冲激响应函数Skip Record If.可表示为：Skip Record If. （3-2-3）此时Skip Record If.为关于Skip Record If.偶对称的有限因果序列。当N为奇数时，所设计的FIR数字高通滤波器为型滤波器；当N为偶数时，为型滤波器。而Skip Record If.表示的滤波器的频率特性为：Skip Record If. （3-2-4）Skip Record If.是否能够很好地逼近Skip Record If.取决于窗函数的频率特性Skip Record If.。若将理想滤波器的频率响应写成：Skip Record If. （3-2-5）其中幅
29、度频率特性：Skip Record If. （3-2-6）此时，Skip Record If.滤波器的频率特性可表述为：Skip Record If.（3-2-7）由此可以得到所设计的滤波器的幅度频率特性为：Skip Record If. （3-2-8）由式（3-2-8）可见，对实际FIR滤波器Skip Record If.有影响的只是窗函数的幅度频率特性Skip Record If.。实际中的FIR滤波器的幅度频率特性，是理想低通滤波器的幅度频率特性和窗函数的幅度频率特性的复卷积。复卷积给Skip Record If.带来过冲和波动，所以加窗函数后，对滤波器的理想特性的影响有以下几点：（1） Skip Record If.在截止频率的间断点变成了连续的曲线，使得Skip Record If.出现了一个过渡带，它的宽度等于窗函数的主瓣宽度。由此可知，如果窗函数的主瓣越宽，过渡带就越宽。（2） 由于窗函数旁瓣的影响，使得滤波器
