1、高中数学第一章13函数的基本性质132奇偶性第1课时奇偶性的概念学案人教A版必修113.2奇偶性第1课时奇偶性的概念学习目标1.理解函数奇偶性的定义.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题知识点一函数奇偶性的几何特征思考下列函数图象中，关于y轴对称的有哪些？关于原点对称的呢？答案关于y轴对称，关于原点对称梳理一般地，图象关于y轴对称的函数称为偶函数，图象关于原点对称的函数称为奇函数知识点二函数奇偶性的定义函数奇偶性的概念：(1)偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数其实质是函数f(x)上任一
2、点(x，f(x)关于y轴的对称点(x，f(x)也在f(x)图象上(2)奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数其实质是函数f(x)上任一点(x，f(x)关于原点的对称点(x，f(x)也在f(x)的图象上知识点三奇(偶)函数的定义域特征及奇(偶)函数的性质1奇(偶)函数的定义域关于原点对称2重要性质(1)奇函数在区间a，b和b，a(ba0)上有相同的单调性(2)偶函数在区间a，b和b，a(ba0)上有相反的单调性1关于y轴对称的图形都是偶函数的图象()2若f(x)是奇函数，f(1)2，则f(1)2.()3存在既是奇函数又是偶函数的函数，
3、且不止一个()4有些函数既非奇函数，又非偶函数()类型一证明函数的奇偶性例1(1)证明f(x)既非奇函数又非偶函数；(2)证明f(x)(x1)(x1)是偶函数；(3)证明f(x)既是奇函数又是偶函数考点函数的奇偶性判定与证明题点判断简单函数的奇偶性证明(1)因为它的定义域为x|xR且x1，所以对于定义域内的1，其相反数1不在定义域内，所以f(x)既非奇函数又非偶函数(2)函数的定义域为R，因为函数f(x)(x1)(x1)x21，又因为f(x)(x)21x21f(x)，所以函数为偶函数(3)定义域为1,1，因为对定义域内的每一个x，都有f(x)0，所以f(x)f(x)f(x)0，故函数f(x)既
4、是奇函数又是偶函数反思与感悟利用定义法判断函数是否具有奇偶性时，首先应看函数定义域是否关于原点对称，即对于定义域内的任意一个x，则x也一定属于定义域跟踪训练1(1)证明f(x)(x2) 既非奇函数又非偶函数；(2)证明f(x)x|x|是奇函数考点函数的奇偶性判定与证明题点判断简单函数的奇偶性证明(1)由0，得定义域为2,2)，关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数(2)函数的定义域为R，因为f(x)(x)|x|x|x|f(x)，所以函数为奇函数类型二奇偶性的应用命题角度1奇 偶 函数图象的对称性的应用例2定义在R上的奇函数f(x)在0，)上的图象如图所示(1)画出f(x)的图象；(2)解不等
5、式xf(x)0.考点函数图象的对称性题点中心对称问题解(1)先描出(1,1)，(2,0)关于原点的对称点(1，1)，(2,0)，连线可得f(x)的图象如图(2)xf(x)0即图象上横坐标、纵坐标同号结合图象可知，xf(x)0的解集是(2,0)(0,2)引申探究把本例中的“奇函数”改为“偶函数”，重做该题解(1)f(x)的图象如图所示：(2)xf(x)0的解集是(，2)(0,2)反思与感悟可以用奇(偶)函数图象关于原点(y轴)对称，这一特性去画图，求值，求解析式，研究单调性跟踪训练2已知奇函数f(x)的定义域为5,5，且在区间0,5上的图象如图所示(1)画出在区间5,0上的图象；(2)写出使f(
6、x)0的x的取值集合考点函数图象的对称性题点中心对称问题解(1)如图，在0,5上的图象上选取5个关键点O，A，B，C，D.分别描出它们关于原点的对称点O，A，B，C，D，再用光滑曲线连接即得(2)由(1)图可知，当且仅当x(2,0)(2,5)时，f(x)0.使f(x)0的x的取值集合为(2,0)(2,5)命题角度2利用函数奇偶性的定义求值例3若函数f(x)ax2bx3ab是偶函数，定义域为a1,2a，则a_，b_.考点函数奇偶性的应用题点由二次函数为偶函数求参数值答案0解析因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a12a，解得a，f(x)x2bxb1.又f(x)为偶函数，所以f(x) (x)2b(
7、x)b1f(x)x2bxb1对定义域内任意x恒成立，即2bx0对任意x恒成立，所以b0.综上，a，b0.反思与感悟函数奇偶性的定义有两处常用：定义域关于原点对称；对定义域内任意x，恒有f(x)f(x)(或f(x)成立，常用这一特点得一个恒成立的等式，或对其中的x进行赋值跟踪训练3已知函数f(x)为奇函数，则ab_.考点函数奇偶性的应用题点其他已知函数奇偶性求参数值问题答案0解析由题意知则解得当a1，b1时，经检验知f(x)为奇函数，故ab0.1下列图象表示的函数具有奇偶性的是()考点函数的奇偶性概念题点函数奇偶性概念的理解答案B2函数f(x)x(10的解集为()A(3,0)(3，)B(3,0)
8、(0,3)C(，3)(3，)D(，3)(0,3)考点单调性与奇偶性的综合应用题点利用奇偶性、单调性解不等式答案A解析f(x)为奇函数，f(3)0，f(3)0.又f(x)在(0，)上为增函数，f(x)在(，0)上也为增函数由f(x)0，当x0时，得f(x)f(3)0，x3；当xf(3)0，3x1解析函数f(x)为偶函数且非奇函数，f(x)f(x)且f(x)f(x)又a1.当a1时，函数f(x)为偶函数且为奇函数，故a1.11函数f(x)为_函数(填“奇”或“偶”)考点函数的奇偶性判定与证明题点判断分段函数的奇偶性答案奇解析定义域关于原点对称，且f(x)f(x)，所以f(x)是奇函数三、解答题12
9、判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)x3x5；(2)f(x)|x1|x1|；(3)f(x).考点函数的奇偶性判定与证明题点判断简单函数的奇偶性解(1)函数的定义域为R.f(x)(x)3(x)5(x3x5)f(x)，f(x)是奇函数(2)f(x)的定义域是R.f(x)|x1|x1|x1|x1|f(x)，f(x)是偶函数(3)函数f(x)的定义域是(，1)(1，)，不关于原点对称，f(x)是非奇非偶函数13若函数f(x)x2|xa|为偶函数，求实数a的值考点函数奇偶性的应用题点其他已知函数奇偶性求参数值问题解函数f(x)x2|xa|为偶函数，f(x)f(x)，即(x)2|xa|x2|xa|，|xa
10、|xa|，即|xa|xa|，a0.四、探究与拓展14已知函数f(x)，若f(a)，则f(a)_.考点函数图象的对称性题点中心对称问题答案解析根据题意，f(x)1，而h(x)是奇函数，故f(a)1h(a)1h(a)21h(a)2f(a)2.15已知函数f(x)是奇函数(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数a的取值范围考点函数奇偶性的应用题点其他已知函数奇偶性求参数值问题解(1)因为f(x)为奇函数，所以f(1)f(1)，即1m(12)，解得m2.经检验当m2时函数f(x)是奇函数所以m2.(2)要使f(x)在1，a2上单调递增，结合f(x)的图象(图略)知所以1a3，故实数a的取值范围是(1,3
