1、第五单元 正比例和反比例第五单元 正比例和反比例教学目标：1.使学生结合实际情境认识成正比例和反比例的量，能根据正、反比例的意义判断两种相关联的量是否成正比例或反比例。2.使学生初步认识正比例的图象是一条直线，能利用给出的具有正比例关系的数据在方格纸上画出相应的直线，能根据具有正比例关系的一个量的数值看图估计另一个量的数值。3.使学生在认识成正比例、反比例的量得过程中，初步体会数量之间相依互变的关系，感受有效表示数量关系及其变化规律的不同数学模型，进一步提升思维水平。4使学生进一步体会数学与日常生活的密切联系，增强探索数学知识和规律的意识，养成积极主动地参与学习活动的习惯，提高学好数学的自信心
2、。教学重点：认识正反比例的意义。教学难点：认识正反比例的意义，初步体会数量之间的相互依存关系，进一步提升思维水平。课时安排：5课时1. 成正比例的量及其图像 2课时2成反比例的量及其图像 1课时3. 整理与练习 1课时4. 正反比例的应用 1课时5. 单元检测 1课时1. 认识成正比例的量总第 38 课时 4 月 13 日教学内容：P62-63页的例1、“试一试”和“练一练”。第66页练习十三第1-3题。教学目的： 1使学生经历从具体实例中认识成正比例的量的过程，初步理解正比例的意义，学会根据正比例的意义判断两种相关联的量是不是成正比例。 2让学生在认识成正比例的量的过程中，初步体会数量之间相
3、依互变的关系，感受有效表示数量关系及其变化规律的不同数学模型，进一步培养观察能力和发现规律的能力。3让学生进一步体会数学和日常生活的密切联系，增强从生活现象中探索数学知识和规律的意识。教学重点：学生知道什么是相关联，理解正比例的意义。教学难点：能跟据正比例的意义判断两种相关联的量是否成正比例。教学准备：教学光盘教学过程：一、导入：请2位学生起立。这2人之间是什么关系？你们和我是什么关系？人与人之间相互有关系，人与自然界也有关系。那么在数学中，数量与数量之间呢？我们已经了解了一些数量之间的关系，例如行程问题中速度、时间、路程之间的关系，再如购物问题中单价、数量、总价之间的关系，你知道这三个量之间
4、的关系吗？这个单元我们要用一种新的观点，更深入地研究其中2个数量之间的关系。二、教学新课：1出示例1 表中列出了哪两种量？（板书：时间和路程）观察表中的数据，哪一种量的变化引起了另一种量的变化？你是怎么看出来的？时间变化，路程也随着变化，我们就说，路程和时间是两种相关联的量。（板书：路程和时间是两种相关联的量。）“关联”是什么意思？（相互之间有关系，即一种数量变化，另一种也随着变化）为什么说路程和时间是两种相关联的量？（时间变了，路程也在变化）2这两种量的变化有什么规律？ 指名学生回答。3仔细观察表中的数据，这两种量在变化中有没有什么不变的规律呢？学生先小组讨论，再指名交流。引导：请写出几组对
5、应的路程和时间的比，并求出比值，根据学生回答板书：80 80 80 观察这些比值，你发现了什么？这个比值80表示什么？（速度）你能用一个式子来表示上面的规律吗？根据学生回答，教师板书：4通过观察和计算，你对路程和时间的关系有什么发现？ 指名学生回答，教师小结：（1）路程和时间是两种相关联的量，也就是时间变化，路程也随着变化（2）路程和对应时间的比的比值一定（也就是速度一定）。具备了这两个条件，我们就可以得到结论：行驶的路程和时间成正比例；行驶的路程和时间是成正比例的量。（板书：路程和时间成正比例，路程和时间是成正比例的量）5这就是这节课我们一起来探究的新知识正比例。（板书课题）请大家默读书本第
6、62页的一段文字。完后，指名说说在这题中，哪个量和哪个量是成正比例的量？（时间和路程是成正比例的量）为什么？学生同桌互相说一说，指名交流。6试一试 学生根据已知条件把表格填写完整。根据表中数据，先尝试独立完成表格下面的四个问题，然后和同桌交流。教师板书：总价和数量是相关联的量，因为,总价/数量单价（一定），所以，总价和数量成正比例。让学生根据板书完整地说一说铅笔的总价和数量成什么关系。7 观察上面的两个例子，它们有什么相同的地方？（1）都有两种相关联的量；（2）两种相关联的量相对应的两个数的比值总是一定的；如果用字母X和Y分别表示两种相关联的量，用K表示它们的比值，正比例关系可以用怎样的式子来
7、表示呢？根据学生的回答，教师板书：这是正比例关系式表达式，对这个式子要这样理解：Y和X表示两种相关联的量，Y比X的比值K一定，我们就说Y和X成正比例。三、巩固练习：1练一练 学生独立思考并出判断，指名用完整的语言说出判断的理由。2练习十三第1题 学生按题目要求尝试独立完成。指名全班交流，重点让学生说说为什么碾米机的工作时间和碾米数量成正比例，引导学生完整说出思考过程。3练习十三第2题 学生独立判断，指名说明理由。如果去掉“同一时间”这个前提，物体的高度和影长还成正比例吗？为什么？4练习十三第3题 将图中的正方形按怎样的比放大，放大后的正方形的边长各是几厘米?学生在书上画出放大后的图形。算出每个
8、图形的周长和面积，并填在表中。讨论表格下面的两个问题：两种量若要成正比例关系必须是相关联的量，但相关联的量不一定成正比例，只有当两种相关联的量的比值一定时，它们才成正比例。5思考：明明三岁时体重12千克，十一岁时体重44千克。于是小张就说：“明明的体重和身高成正比例。”你认为小张的说法对吗？为什么？四、课堂总结： 通过这节课的学习，你有什么收获？四、作业：课内：补充习题P课外：天天练P弹性作业： 1路程/速度=（ ），当（ ）一定时，（ ）和（ ）成正比例。2（ ）/（ ）=工作效率，当（ ）一定时，（ ）和（ ）成正比例。教学反思：正比例的意义对学生来说比较抽象。认识“相关联的量”是学习正反
9、比例的基础，因此教学时，让学生对例题一辆汽车行驶的路程和时间的记录表中数据进行观察，初步认识到路程和时间是两种相关联的量，再通过引导学生写出几组相对应的路程和时间的比，并求出比值，使学生进一步发现两种“变化”的量中蕴含着“不变”的量。在学生自学书上正比例的意义的一段后，教师提问：1.正比例其实是指什么？2.怎样判断两种相关联的量是否成正比例？对于第一个问题，许多学生都答不上来，只有个别学生能说到是两个量之间的关系，而第二个问题则多数学生能说出看比值是否一定。但在具体判断两种量是否成正比例时，有些学生只是简单的说，因为比值相等，而不具体说出这个比值的实际意义。引导学生思考、回答，如：因为总价：数
10、量=单价（一定），所以总价和数量成正比例。在练习中有些学生遇到不是像例题或练习题中以表格形式出现的而是直接要学生判断时，无法正确判断。如：每天用煤量一定，用煤的天数和用煤的总量是否成正比例；长方形的长一定，长方形的宽和周长是否成正比例。这时教师务必结合具体的题目进行指导，指导学生思考如何分析这两个量之间的关系。2. 认识正比例图像总第 39 课时 4 月 14 日教学内容：P 63例2、“练一练”和练习十三第4、5两题。教学目的：1. 使学生初步理解图像上点所表示的实际意义，即每个点都表示路程和时间的一组相对应的数值。 2. 使学生能利用给出的具有正比例关系的数据在方格纸上画出相应的直线，能根
11、据具有正比例关系的一个量的数值看图估计另一个量的数值。 3.借助直观的图像，帮助学生进一步认识成正比例量的变化规律，初步体会正比例图像的实际应用，为今后学习函数及函数图像等知识打下一定的基础。教学重点：根据具有正比例关系的一个量的数值，看图估计另一个量的数值。教学难点：认识成正比例量的变化规律，体会正比例图像的实际应用。教学准备：教学光盘教学过程：一、复习引入：昨天我们学习了什么？怎样的两个量可以称为成正比例关系、成正比例的量？二、教学新知：1.出示例1中的统计表这是上节课我们研究过的统计表，认识了正比例，你能根据这张表说说哪两个量是成正比例的量吗？为什么？小结：路程和时间是两种相关联的量，当
12、路程和时间的比总是一定时，我们就说行驶的路程和时间是成正比例的量。2. 其实例1表中的数据，我们还可以在方格图中绘制成一定的图像来表示。 （1）观察统计图，说说横轴和纵轴表示什么？（2）描点：示范描点：在方格图上，我们用横轴表示汽车行驶的时间,用纵轴表示行驶的路程。那么汽车1小时行驶80千米可以用方格中的一个点来表示。先在横轴上找到表示1小时的点，从这点起作纵轴的平行线，再在纵轴上找到表示80千米的点，从这点起作横轴的平行线，两线相交的点就表示“1小时行驶80千米”， 把它称为A点。（教师示范描出点）想一想，图中的点表示什么？学生描点：照样子描出表示其它各组数据的点，同桌互查正确与否。明确意义
13、：3画出图像：观察一下这些点所描的点的排布规律，当汽车还没有启动的时候，也就是汽车的行车时间为0的时候，汽车行驶的路程是多少？那么图中哪个点可以表示这种状况？现在我们就可以用一条直线把所描的点连起来。这条经过点的直线就是正比例的图像。（板书课题）直线上的每一个点，既能反映出行车的时间，又能反映出行驶的路程，说明它能反映出时间和路程是两个相关联的量，而且每一个点所反映的路程和时间的比又都是一个定值，所以我们说它是正比例图像。观察：成正比例关系的两个量的图像是什么？（一条直线）板书：正比例的图像时一条直线。4利用图像进行判断：让学生独立思考后同桌讨论结果。根据图像判断这辆汽车2.5小时行驶多少千米
14、时，我们可以先在横轴上找到表示2.5小时的点，并从这点起作纵轴的平行线，从而得到与已知直线的交点；再从交点起作横轴的平行线，从而得到与纵轴的交点，最后依据与纵轴的交点进行估计。为了使估算比较准确，可以通过计算进项对比验证。行驶440千米需要多少小时？学生独立完成，指名交流。5小结：通过刚才在方格图中描点，我们画出了正比例的图像，它是一条向上的经过点A和B的直线。直线上的点都表示一定的意义，而且我们可以利用图像解决实际问题。三、巩固练习：1练一练 让学生独立完成，指名回答，投影仪上展示学生画的图像，集体评判。 你们画出的表示打字时间和打字个数关系的图像有什么特点？你是怎样判断打750个字用多少分
15、钟的？估计7分钟、10.5分钟打多少个字？打450个字、625个字各用几分钟？指名学生说说是怎样找的：先在横轴上找到“7分钟”的点，然后向上垂直横轴画虚线，并沿着虚线在直线上找到交叉点，再过点画横轴的平行虚线，并沿着虚线在纵轴上找到相应的字数的点。引导学生计算加以验证。2练习十三第4题 学生独立完成。回答问题（1）后说明：即可以根据图像的特点（成一直线）来说明判断的理由，也可以从图像上选取几个点交叉，根据这些点所表示的路程和时间分别求出比值，再做出判断。 学生回答问题（2）时要求进行估计，答案允许有些出入。3练习十三第5题 先让学生独立完成，再只能交流，帮助学生进一步明确方法，加深认识。讨论第
16、（4）题后，引导学生再提出一些类似的问题并进行解答。四、课堂总结：今天我们认识了正比例的图像，你有什么收获？ 五、作业：课内：补充习题P课外：天天练P弹性作业：教学反思： 本课的学习内容比较简单、易懂。学生根据表格和方格图很容易找到表示各个数据的点，并发现这些点的排列规律正比例关系的图像是一条直线。学生能利用给出的具有正比例关系的数据在方格纸上画出相应的直线，也能根据具有正比例关系的一个量的数值看图估计另一个量的数值。 但在解决例题中的问题：根据图像判断2.5小时行多少千米，行驶440千米需要多少时间时，发现部分学生直接利用列算式计算出结果，而不是根据图像判断。这时，教师强调要利用正比例关系的
17、图像在纵轴和横轴上找出对应的点先进行判断和估计，再用计算的方法进行验证。3. 认识成反比例的量总第 40 课时 4 月 15 日教学内容：P 64-65页的例3、“试一试”、“练一练”和练习十三第6-8题。教学目的：1使学生认识反比例关系的意义，理解、掌握成反比例量的变化规律及其特征，能依据反比例的意义判断两种量成不成反比例关系。2进一步培养学生观察、分析、综合和概括等能力，让学生掌握判断两种相关联的量成不成反比例的方法，培养学生的判断、推理能力。教学重点：认识反比例关系的意义。教学难点：掌握成反比例量的变化规律及其特征。教学准备：教学光盘教学过程：一、复习导入：1正比例关系的意义是什么？怎么
18、用字母表示这种关系？判断两种相关联的量成不成正比例的关键是什么？2下面哪两种量成正比例关系？为什么？（1）时间一定，行驶的速度和路程。（2）数量一定，单价和总价。二、学习新知：1出示：用60元去购买笔记本。 可能会买几本？买的本数会随什么而变化？什么是不变的？ 出示例3说说表格中各数据表示的意义。组织学生观察表格中的数据。表中的两种量是不是相关联的量？它们分别是怎样变化的？你能找出它们变化的规律吗？猜一猜，这两种量成什么关系？学生先独立思考，同桌讨论，指名交流，全班交流时抓住以下几个环节：（1）当单价变化时，数量是否也随着变化？（2）这种变化与例1中两种量的变化有什么不同？（3）这种变化有没有
19、规律？是什么规律？根据上面发现的规律，思考：这个乘积表示什么？上面的规律能不能用一个式子来表示？根据学生的回答，教师板书：单价数量总价（一定）2.自学书本第65页“试一试”上面的内容：和同学们刚才猜的结果一样吗？这两种量成什么关系？板书：单价和数量成反比例再次让学生根据板书，同桌间说说表中单价和数量成什么关系。3.试一试 要求学生根据表中的已知条件先把表格填写完整。根据表中的数据，依次讨论表格下面的三个问题，并适当板书：因为每天运水泥的数量时间总吨数（一定）所以每天运水泥的数量和时间成反比例。让学生根据板书完整地说说每天运水泥的数量和时间成什么关系。4.观察上面两个例子，你发现它们有什么相同的
20、地方？指名回答：变化规律相同；乘积一定；两个量是成反比例的量等等。教师小结：都是两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化；相对应的两个数的乘积一定。5.如果用K和Y表示两种相关联的量，用K表示它们的乘积，那么上面这种关系式可以怎样写呢？指名学生回答，教师板书：xyk（一定）你能解释这个式子表示的意思吗？在这个关系式中，x、y表示什么？k表示什么？当（ ）一定时，（ ）和（ ）成反比例。三、巩固练习：1练一练 学生独立思考并做出判断，指名交流，说明判断理由。2习十三第6题 学生各自按要求算一算、想一想，集体核对时，重点让学生完整说出每本的页数和装订本数两种量是否成反比例的思考过程。3练习十
21、三第7题 学生独立进行判断，再指名说说判断的理由。注意引导学生有条理地说明判断的思考过程。4练习十三第8题 学生看懂题意，从左边方格图中收集数据，并把收集的数据填写在左边的表格中，同样再填写右边的表格。讨论下面的问题，指名交流。两个长方形的长和宽都是相关联的量，为什么有的成反比例，有的不成比例？只有当两种相关联的量乘积一定时它们才成反比例。四、课堂总结：通过这节课的学习，你有哪些收获？说说判断反比例的关键是什么？怎样区别判断两种相关联的量是成正比例还是成反比例？强调：关键看两种量是什么一定？如果比值一定，成正比例；如果乘积一定，成反比例。五、作业：课内：补充习题P课外：天天练P弹性作业：1.铺
22、地面积一定时，方砖边长与所需块数成不成比例？为什么？铺地的面积和地砖的块数呢？2.判断下面每题中的两个量是否成比例，成什么比例，为什么？（1）圆锥体的体积一定，圆锥的底面积和高。（2）生产零件的总时间一定，生产每个零件的时间与零件个数。教学反思： 在上节课基础上，大部分学生能模仿正比例的意义发现、概括反比例的意义。因此，本课将重点放在让学生用式子表示两个量之间的关系上。 在弹性作业2.（1）圆锥体的体积一定，圆锥的底面积和高是否成比例，成什么比例，为什么？。一些学生认为不成正反比例，因为圆锥底面积乘高不等于圆锥体的体积，这是学生初学正反比例时经常会出现的问题。针对这个问题教师应加强对一些计算公
23、式的变式练习。 如：三角形的面积公式s=ah。当面积一定时，底和高的乘积虽然不是面积，但ah=2s，由于s是一定的，那么2s也是一定的，所以面积一定时，底和高成反比例。同理，如果高一定，面积和底有怎样的关系。s和a可以用sa=h（一定）来表示。同样的在圆锥体积计算公式中，V=sh sh=3V Vs=h Vh=s。4. 正、反比例的综合练习总第 41 课时 4 月 18 日教学内容：P69-70页练习十三的第9-13题。教学目的：1.通过比较，使学生进一步理解正比例和反比例的意义，弄清它们的联系和区别，掌握它们的变化规律。2.能够正确的判断成正、反比例的关系，进一步提高分析、比较抽象、概括等能力
24、。教学重点：弄清正比例和反比例的联系和区别。教学难点：判断成正、反比例的联系。教学准备：教学光盘教学过程：一、复习导入：1.下面每题中的两种量是否成比例，并指出成什么比例？（1）订阅小学生数学报的份数与总价。（2）差一定，被减数与减数。（3）两地路程一定，每小时行车速度与行车时间。2. 我们在前两节课分别学习了成正比例和反比例的量，初步学习了如何判断两种量是不是成正比例或反比例的关系。这节课我们要进一步学习成正、反比例的量的特点，并且通过比较弄清成正比例的量和成反比例的量有什么相同点和不同点。揭示课题：正、反比例的综合练习二、基本练习：1.单价一定，总价和数量成（ ）比例。为什么？2.路程一定
25、，时间和速度成（ ）比例。为什么？3.看表说说表中的两种量成什么比例关系。表1每天的烧煤量（吨）204050100烧的天数50252010表2三角形的面积12162024三角形的高cm34564.总结正比例和反比例的联系和区别。相同的不同的关系式正比例都有两种相关联的量一种量变化，另一种量也随着变化规律：同时扩大或缩小（方向相同）(一定)反比例规律：一种量扩大（或缩小），另一种量反而缩小（或扩大）（方向相反）Xy=k（一定）三、综合练习：1练习十三第9题 引导观察每个表中的数据，并依次讨论教材提出的前三个问题。注意启发学生根据表中数据的变化规律，写出相应的关系式，再根据写出的关系式进行判断。组
26、织学生讨论教材中提出的第四个问题，并启发学生根据条件直接写出关系式，再根据关系式做出判断。2练习十三第10题 学生自己填表。根据一组图上距离和实际距离求出这幅图的比例尺。至于图上距离和实际距离是否成比例，成什么比例，即可根据图像特点直接做出判断，也可以根据相关的计算结果做出判断。使学生认识到：同一幅地图的比例尺是一定的，所以这幅地图上的图上距离与相应的实际距离成正比例。3练习十三第11题 指导学生填写第二个表中的数据，同时组织学生对两个问题进行比较，进一步突出成反比例的量的特点。4练习十三第12题 引导学生说说每题中的哪两种量是变化的；这两种量中，一种量变化，另一种量是不是也随着变化；能不能用
27、相应的数量关系式表示出这种变化的规律。再让学生做出判断。此外，要提醒学生注意有关题中隐蔽的不变量。5练习十三第13题 学生在小组里进行交流，讨论，填表。四、课堂总结： 通过这节课的学习，你又有哪些新的收获？五、作业：课内：补充习题P课外：天天练P弹性作业：1在圆柱的侧面积、底面周长、高这三种量中： 当底面周长一定时，（ ）与（ ）成正比例； 当高一定时，（ ）与（ ）成（ ）比例； 当侧面积一定时，（ ）与（ ）成（ ）比例。2在被除数、除数、商这三种量中： 当（ ）一定时，（ ）与（ ）成正比例； 当（ ）一定时，（ ）与（ ）成反比例；3当ABC（A、B、C为三种量，且均不为0）。A一定，
28、（ ）与（ ）成（ ）比例；（ ）一定，（ ）与（ ）成（ ）比例；（ ）一定，（ ）与（ ）成（ ）比例；4判断：（1）订阅小学数学评价手册的份数与所需钱数成正比例。 ( )（2）在400米赛跑中，跑步的速度和所用时间成反比例。 ( )（3）工作总量一定，已完成的量和未完成的量成反比例。 ( )（4）正方体的棱长和体积成正比例。 ( )（5）被除数一定，除数和商成反比例。 ( )（6）圆的周长和它的直径成正比例。 ( )教学反思：从这两天的作业看，学生对正、反比例的意义有了较为深刻的理解。所以今天的练习课中，重点引导学生观察、讨论、交流、验证正比例与反比例的联系和区别，进而深入地理解正、反比
29、例的意义。在教学中，采用学生独立思考解决，完成后组织交流的方法。在第12题：判断两个量哪些成正比例，哪些成反比例，哪些既不成正比例也不成反比例的（3）：圆的直径与周长，在学生们作出正确判断这两个量应该是成正比例后马上补充：圆的面积和圆的半径，这时，许多学生同样认为是成正比例。让学生举出例子，并且通过圆的面积公式进行对比，使学生认识到：圆的面积与圆的半径的平方成正比例，而不是与圆的半径。5.正反比例的应用总第 42 课时 4 月 19 日教学内容：补充教学目的：1.加强学生对正比例和反比例的辨别能力。2.培养学生分析问题的能力。教学重点：加强学生对正比例和反比例的辨别能力。教学难点：培养学生分析
30、问题的能力。教学准备：教学光盘教学过程：一、基本练习1. 工作效率、工作时间和工作总量当工作效率一定时，工作时间和工作总量成（ ）比例当工作时间一定时，工作效率和工作总量成（ ）比例当工作总量一定时，工作时间和工作效率成（ ）比例指名交流，说说理由。并说说怎样的两种量成正比例，怎样的两种量成反比例？2.辨别：1. 分子不变，分母和分数值（ ）比例。相关知识：（1）分数与除法之间的关系：分子相当于除法中的被除数，分母相当于除数，分数值相当于商；（2）比与除法之间的关系：比的前项相当于除法中的被除数，比的后项相当于除数，比值相当于商。2. 长方形的周长一定，长和宽（ ）比例。3. 在同一时间、同一地点的树高和影长（ ）比例。4. 订阅某种报纸的份数和钱数（ ）比例。什么一定？（单价）5. 在百米赛跑中，跑步的速度和时间（ ）比例。什么一定？（路程）6. 正方形的面积和边长（ ）比例。正方形的周长
