1、版同步导学高中数学人教版必修二课时作业13直线与平面垂直的判定课时作业13直线与平面垂直的判定基础巩固1如图1所示，如果MC菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是()图1A平行 B垂直相交C垂直但不相交D相交但不垂直解析：因为ABCD是菱形，所以BDAC.又MC平面ABCD，则BDMC.因为ACMCC，所以BD平面AMC.又MA平面AMC，所以MABD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交-=答案=-：C2已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m的是()A，且m B.mn，且nCmn，且n D.mn，且n
2、解析：A中，由，且m，知m；B中，由n，知n垂直于平面内的任意直线，再由mn，知m也垂直于内的任意直线，所以m，B符合题意；C，D中，m或m或m与相交，不符合题意故选B.-=答案=-：B3已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面()图2A有且只有一个 B至多一个C有一个或无数个 D不存在解析：若异面直线m、n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在-=答案=-：B4如果PA，PB，PC两两垂直，那么点P在平面ABC内的投影一定是ABC的()A重心 B内心C外心 D垂心解析：如图2，由PA，PB，PC两两互相垂直，可得AP平面PBC，BP平面PAC，CP平面PAB，所以BCOA，
3、ABOC，ACOB，所以点O是ABC三条高的交点，即点O是ABC的垂心，故选D.-=答案=-：D图35如图3，平面CD，EA，垂足为A，EB，垂足为B，则CD与AB的位置关系是_. 解析：EA，CD，根据直线和平面垂直的定义，则有CDEA.同样，EB，CD，则有EBCD.又EAEBE，CD平面AEB.又AB平面AEB，CDAB.-=答案=-：CDAB6如图4所示，PA平面ABC，在ABC中，BCAC，则图中直角三角形的个数有_图4解析：BC平面PACBCPC，直角三角形有PAB、PAC、ABC、PBC.-=答案=-：47在三棱柱ABCABC中，底面ABC是正三角形，AA底面ABC，且AB1，A
4、A2，求直线BC与平面ABBA所成角的正弦值解：如图5所示，取AB的中点D，连接CD，BD.图5底面ABC是正三角形，CDAB.AA底面ABC，AACD.又AAABA，CD侧面ABBA，故CBD是直线BC与平面ABBA所成角等边三角形ABC的边长为1，CD，在RtBBC中，BC，故直线BC与平面ABBA所成角的正弦值为.能力提升1下列四个命题中，正确的是()若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线与这个平面垂直；若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面；若一条直线平行于一个平面，另一条直线垂直于这个平面，则这两条直线互相垂直；若两条直线垂直，则过其中一条直线有
5、唯一一个平面与另一条直线垂直A B.C D.解析：若一条直线垂直于一个平面内的无数条平行的直线，则这条直线与这个平面不一定垂直，所以错误若一条直线平行于一个平面，垂直于这条直线的直线也可能平行于这个平面，所以错误若一条直线平行于一个平面，则平面内必有一条直线与之平行，另一条直线垂直于这个平面，则该直线与平面内的那条直线垂直，从而这两条直线互相垂直，所以正确显然若两条直线垂直，则过其中一条直线与另外一条直线垂直的平面只有一个，所以正确-=答案=-：D2若直线l不垂直于平面，那么在平面内()A不存在与l垂直的直线B只存在一条与l垂直的直线C存在无数条直线与l垂直D以上都不对解析：过斜足，容易在内找
6、到一条直线与l垂直，则在内与此直线平行的无数条直线都与l垂直-=答案=-：C3空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是()A垂直且相交 B.相交但不一定垂直C垂直但不相交 D.不垂直也不相交图6解析：取BD中点O，连接AO，CO，则BDAO，BDCO，且AOCOO，BD面AOC，又AC平面AOC，BDAC，又BD、AC异面，选C.-=答案=-：C4设表示平面，a、b表示直线，给出下列四个说法，其中正确的是()a，abb ab，aba，abb ab，baA B.C D.解析：中可能有b，b或b与相交；中可能有b或b；中可能有a与不垂直，或a；只有正确-=答案=-：C5如图7
7、，四棱锥SABCD的底面ABCD为正方形，SD底面ABCD，则下列结论中正确的有_个图7ACSB；AB平面SCD；SA与平面ABCD所成的角是SAD；AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角解析：因为SD底面ABCD，所以ACSD.因为ABCD是正方形，所以ACBD.又BDSDD，所以AC平面SBD，所以ACSB，故正确；因为ABCD，AB平面SCD，CD平面SCD，所以AB平面SCD，故正确；因为AD是SA在平面ABCD内的射影，所以SA与平面ABCD所成的角是SAD.故正确；因为ABCD，所以AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角，故正确-=答案=-：4图86(2019年河北正定高一检测
8、)直三棱柱ABCA1B1C1(侧棱与底面垂直的棱柱)中，ACBC1，ACB90，AA1，D是A1B1的中点(1)求证：C1D平面AA1B1B；(2)当点F在BB1上的什么位置时，会使得AB1平面C1DF？请证明你的结论图9解：(1)证明：ABCA1B1C1是直三棱柱，由已知得A1C1B1C11，且A1C1B190.又D是A1B1的中点，C1DA1B1.AA1平面A1B1C1，C1D平面A1B1C1，AA1C1D，C1D平面AA1B1B.(2)作DEAB1交AB1于E，延长DE交BB1于F，连接C1F，则AB1平面C1DF，点F为所求事实上，C1D平面AA1B1B，AB1平面AA1B1B，C1D
9、AB1.又AB1DF，DFC1DD，AB1平面C1DF.AA1A1B1，四边形AA1B1B为正方形又D为A1B1的中点，DFAB1，F为BB1的中点，当点F为BB1的中点时，AB1平面C1DF.7如图10，AB为O的直径，PA垂直于O所在的平面，M为圆周上任意一点，ANPM，N为垂足图10(1)求证：AN平面PBM.(2)若AQPB，垂足为Q，求证：NQPB.证明：(1)AB为O的直径，AMBM.又PA平面ABM，BM平面ABM.PABM.又PAAMA，BM平面PAM.又AN平面PAM，BMAN.又ANPM，且BMPMM，AN平面PBM.(2)由(1)知AN平 PBM，PB平面PBM，ANPB
10、.又AQPB，ANAQA，PB平面ANQ.又NQ平面ANQ，PBNQ.8如图11所示，三棱锥ASBC中，BSC90，ASBASC60，SASBSC.求直线AS与平面SBC所成的角图11解析：因为ASBASC60，SASBSC，所以ASB与SAC都是等边三角形因此ABAC.如图12所示，取BC的中点D，图12连接AD，SD，则ADBC.设SAa，则在RtSBC中，BCa，CDSDa.在RtADC中，ADa.则AD2SD2SA2，所以ADSD.又BCSDD，所以AD平面SBC.因此ASD即为直线AS与平面SBC所成的角在RtASD中，SDADa，所以ASD45，即直线AS与平面SBC所成的角为45
11、.拓展要求1如图13，动点P在正方体ABCDA1B1C1D1的对角线BD1上，过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体表面相交于M，N.设BPx，MNy，则函数yf(x)的图象大致是()图13解析：取A1A、CC1中点E、F，则点P移动时，M，N为菱形EBFD1的边上的点，当M在EB上时，tanEBD1为常数，函数yf(x)的图象应为直线的一部分，再由对称性知选B.-=答案=-：B2如图14甲，在RtABC中，C90，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1FCD，如图14乙图14(1)求证：DE平面A1CB；(2)求证：A1FBE
12、；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C平面DEQ？说明理由解：(1)证明：因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DEBC.又因为DE平面A1CB，BC平面A1CB，所以DE平面A1CB.(2)证明：由已知得ACBC且DEBC，所以DEAC.因为DEA1D，DECD，所以DE平面A1DC.而A1F平面A1DC，所以DEA1F.又因为A1FCD，所以A1F平面BCDE.所以A1FBE.图15(3)线段A1B上存在点Q，使A1C平面DEQ.理由如下：如图15，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQBC.又因为DEBC，所以DEPQ.所以平面DEQ即为平面DEP.由第(2)问知，DE平面A1DC，所以DEA1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1CDP.所以A1C平面DEP.从而A1C平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C平面DEQ.
