1、极限承载力的计算第三节极限承载力的计算在土力学的发展中，已经提出了许多极限荷载公式， 1920年普朗特首先根据塑性平衡理论导出了介质达到极限荷载时， 沿着曲面发生滑动的数学方程，并认为介质的抗剪强度性质，可以用强度指标 c, 表示，但是，他的研究结果只适用于无重量的介质的极限平衡平面课题。随后不少学者根据他的研究结果， 引用来求解地基土的极限荷载，并进一步作了不同形式的修正和补充，以便在工程中加以应用。太沙基根据普朗特相似的概念， 导出了考虑地基土自重影响的极限荷载公式。但这些公式都忽略了基础底面以上覆盖土层的抗剪强度的影 响，故只适用于计算浅基础的极限荷载。梅耶霍夫进一步考虑了基础底面以上覆
2、盖层的抗剪强度的影响， 从而提出了浅基础和深基础的极限荷载公式。一普朗特尔极限承载力公式普朗特尔公式是求解宽度为 b的条形基础，置于地基表面，在中心荷载 P作用下的极限荷载Pu值。普朗特尔的基本假设及结果，归纳为如下几点：(1) 地基土是均匀，各向同性的无重量介质，即认为土的 =0,而只具有c, 的材料。(2)基础底面光滑，即基础底面与土之间无摩擦力存在，所以基底的压应力垂直于地面。(3) 当地基处于极限平衡状态时，将出现连续的滑动面，其滑动区域将由朗肯主动区 I,径向剪切区II或过渡区和朗肯被动区 III所组成。其中滑动区I边界BC或AC为直线，并 与水平面成(45+ ：/2)角；即三角形
3、ABC是主动应力状态区；滑动区 II的边界CE或 CD为对数螺旋曲线，其曲线方程为 r二roe1071, ro为起始矢径；B为射线r与r。夹角，滑动区III的边界E G , DF为直线并与水平面成(45 $ /2)角。(4) 当基础有埋置深度 d时，将基础底面以上的两侧土体用相当的均布超载 q二d来代替。根据上述的基本假设，采用刚体平衡方法或特征线法，可以得到地基极限承载力为：Pu 二 rdNq cNc式中：r：基础两侧土的容重d：基础的埋置深度Nq, Nc :承载力系数，它们是土的内摩擦角 的函数，可查下表:其中 Nq 二 e电 tg2(45 -)Nc = (Nq 1)ctg :pNrNqN
4、c9NrNqNc001.005.14246.909.6119.320.011.205.69269.5311.922.340.051.436.172813.114.725.860.141.726.823018.118.430.280.272.067.523225.023.235.5100.472.478.353434.529.542.2120.762.979.293648.137.850.6141.163.5810.43867.448.961.4161.724.3311.64095.564.275.4182.495.2513.14213785.493.7203.546.4014.84419911
5、5118224.967.8216.945241134133二、斯肯普顿地基极限承载力公式对于矩形基础，斯肯普顿(1952年)给出的地基极限承载力公式为:Pu =5c(1 51)(1 5b) odc 地基土粘聚力 ；b、丨一一分别为基础的宽度和长度；o基础埋置深度 d范围内土的重度。三太沙基极限承载力公式等于零，求其极限承载力时，太沙基作了如下假设：1 基础底面粗糙，即的与土之间有摩擦力存在当地基达到破坏并出现连续的滑动面时， 其基底下有一部分土体将随着基础一起移动而处于弹性平衡状态，该部分土体称为弹性核或叫弹性契体，如图 8-9中ABC所示。弹性核的边界 AC或BC为滑动面的一部分， 它与水平
6、面的夹角为,而它的具体数值 又与基底的粗糙程度有关。2当把基底看作是完全粗糙时，则滑动区域由径向过渡区剪切区 II和朗肯被动区III所组成。其中滑动区域II的边界CE和D C为对数螺旋曲线，其曲线方程为(ro为起始矢径)。 朗肯区域III的边界DFA为直线，它与水平面成(45 $ /2)角。3当基础有埋置深度时，则基底以上两侧的土体用相当的均布超载 q = d来代替。根据上述假定，经推导可得地基的极限承载力Pu1= 2bN r qNq eNc式中：Nr, Nq , Nc称为承载力系数，都是土的内摩擦角 的函数。(3 -)tg :其中：Nq e2cos2(45 )2Nc = ( Nq -1)ct
7、g但对Nr,太沙基并未给出公式。太沙基将 Nr, Nq, Nc可以查表8 4得。几点说明：(1)当把基础底面假定为光滑时，则基底以下的弹性核就不存在，而成为朗肯主动区 I 了,而AC面与水平面的夹角“ =(45 + $ /2)而整个滑动区域将完全与普朗特尔的情况相似， 因此，由C,q所引起的承载力系数即可直接取用普朗特尔的结果，即：Nq 心 tg2(45 -)肌=(Nq -1)ctg ：而由土容重 所引起的承载力系数则采用下列半经验公式来表达:Nr =1.8Nctg2 ：将 N q = e 加卑g 2 (45 + ；)Nc =(N q -1)ctg :2Nr =1.8Nctg :1代入：Pu
8、rbN r qNq cNcNq, Nc , Nr可直接查表即可得基础底面完全光滑情况下的太沙基地基极限承载力，或 取得。(2)太沙基承载力公式都是在整体剪切破坏的条件下得到的，对于局部剪切破坏时的承载力，应进行修正。2c c3- 2 tg二 |tg ,再用修正后的C，二，就可计算局部剪切破坏时松软土的地基承载力1Pu jrbNr qNq CNc式中：Nc, Nq, N；:修正后的承载力系数。(3)对于方形或圆形基础，太沙基建议用下列修正公式计算地基极限承载力:4 地基的容许承载力pl例题1 :某办公楼采用砖混结构基础。土，Y =18.0kN/m3, = 30 度,设计基础宽度 b=1.50m
9、,基础埋深d=1.4m，地基为粉c= 10kPa,地下水位深 7.8m，计算此地基的极限荷载和地基承载。1解：（1）条形，由太沙基公式：p尹NqNqcNc因为=30，查得，Nr= 19, Nc= 35, Nq= 18代入公式 pu = 18.0X 1.5X 19-2 + 10X 35 + 18.0X 1.4X 18= 1060.1 kPa(2)地基承载力：P = Pu = 1060.1/3.0 = 353.4 kPaK例题2:在例题1中，若地基的为20度，其余条件不变，求 pu和p解：(1 )当 =20。，查曲线：Nr = 4, Nc=17.5 , Nq =乙1Pu HjbN r qNq CN
10、cpu = 18.0X 1.5X 4- 2 + 10X 17.5 + 18.0X 1.4X 7= 405.4kPapu(2) p - = 405.4/3.0= 135 kPaK评论：由上两例计算结果可见：基础的形式，尺寸与埋深相同，地基土的 ，c不变，只是由30度减小为20度，极限荷载与地基承载力均降低为原来的 38%，可知：的大小，对Pu和p影响很大。四、考虑其它因素影响时的极限承载力计算公式1、汉森极限承载力公式对于均质地基基础底面完全光滑， 在中心倾斜荷载作用下， 汉森建议按下式计算竖向地基极限承载力。1Pu bNrSrdrirdr dN qSqdqiq CcScdJcNc式中：(1)s
11、 , sq, s；为基础的形状系数,b Nqbsr =1 -0.4 ir _0.6 2 -r l r Ncl取：Sq =1 yiqSi n 或 Sq =1 -p tg :sc -1 0.2yic Sr =1 -0.4了(2) ir ,iq, ic为何载倾斜系数ir 0 -0p + cActg(1 (0.7- 0/45O0)Ph)5 _0p 十 cActg0.5Ph 5ciq =(1 )0p + cActgic = (iq -iq)Nq -1)(3) ddq,dc深度修正系数dr =12 Ddq -1 2tg (1 sin )B dc =1 0.40 ,dc =1 0.35B B(4) gr,
12、gq, gc地面倾斜系数(5) br, bq, bc基底倾斜系数br = exp(-2.7 tg bq 二 exp(-2 tg )bc =1 - /14.7(6) Nr, Nc, Nq承载力系数，由下式表示:Nq =etg2(45 +Nc = (Nq - 1)ctg 上式中3 n分别为地面和基底的倾角。Nr =1.8Nctg2 :几点说明：(1)应用公式时，应满足 Ph _CaA - ptg、：，以保证基底不因水平力过大而产生水平滑动。Ph :作用在基底上的水平分力P：作用在基底上的垂直分力Ca :为基底与土之间的粘滞力S :为基底与土之间的摩擦力A=L X B(2)当基底受到偏心荷载作用时，
13、先将其换成有效的基底面积，然后按中心荷载情况下的极限承载力公式进行计算。若条形基础，其荷载的偏心距为 e,则用有效宽度 B =B- 2e,来代替原来的宽度 B。若是矩形基础，并且在两个方面均有偏心，则用有效面积 A =BX L来代替原来的面积A。其中 B =- 2eB,L =-2eL(3)对于成层土所组成的地基，当各土层的强度相差不大的情况下，汉森建议按下式近似确定持力层的深度。Z max=入 B式中：入：为系数，根据土层平均内摩擦角和荷载的倾角 3从下表查出：B :为基础的原宽度。入值表：单位为(度)tg 3 、 2021 3536 45 0.20.61.202.000.21 - 0.300
14、.40.901.600.31 0.400.20.601.20持力层范围内土的容重和强度指标按层厚求其平均值:_ 工 rihir 二 Z hi cihiZ hi、 ihi式中ri,Ci, p i分别为第i 土层的容重，凝聚力和内摩擦角， hi为第i层的厚度。例题：有一宽4m的条形基础，埋置在中砂层下 2米深处，其上作用中心倾斜荷载（竖直分量P= 900Kn/m ,水平方向 Ph= 150Kn/m ）中砂层的内摩擦角 p = 32度，湿容重r=18.5Kn/m 、浮容重r =9.5Kn/m,距基底2米处有一粘土层，其固结不排水剪的强度指标为 C= 18Kn/ m2,3p =22度，浮容重r =9.
15、7Kn/m设地下水位与基底齐平，试按汉森公式确定地基的极限承载力。解：荷载的倾斜率：tgB = Ph/P=150/900=0.17该地基属层状地基， 应先确定持力层的最大深度 Zmax值，为此固结tg3 = 0.17并假设土层的平均内摩擦角=21 35之间，从表查得 入=1.2，于是公式Zmax =入B可得Zmax = 1.2 X 4= 4.8m ,求持力层内土层的平均指标:4 ,2 _ 32 2 22 2.826o-0 +h2 一 2+2.8可见求得的*在假设范围内，查表可得:Nr = 9.53, Nq = 11.90, Nc = 22.3求荷载倾斜系数：ir 小 ； .)5 =0.57p + cBctg 求深度修正系数:Ddc =1 0.4 =1.2B地面倾斜系数：a=0,同理基底倾斜系数：二 0br =exp(-2.7 tg ) =1bq - 1bc =1基础的形状系数:所以地基的极限承载力:1 pu r BNrirdr rDNqiqdq cNcicdc219.6 9.53 4 0.57 1 18.5 2 11.9 0.67 1.158 10.5 22.3 0.64 1.2 2= 104.3 340.0 158.75 =603 05K n/m22、偏心与水平荷载下地基稳定性的圆弧滑动分析法（略）
