1、第二章 弹性体动力学的变分原理第二章 弹性体动力学的变分原理2.1 弹性体动力学的功能概念第一章是从运动学、动力学、物理学等三个方面分析弹性体的各个力学量性质和相互关系,根据动量定理建立它的基本方程。这一章里将应用能量概念来分析弹性体动力学问题,根据能量变分原理来建立基本方程(控制方程。首先介绍外力功、应变能、动能等三个弹性体的能量概念。2.1.1 外力功的概念弹性体上作用的外力一般地分为两类:一类分布在区域V 内的体积力f i ;一类作用在边界S 上的面积力i i 。在运动过程中弹性体发生微小位移du i ,外力在微小位移上所作的功,称为外力元功+=V Si i i i e dS du t
2、dV du f W (2.1 弹性体在有限位移上外力所和的功是其元功的代数和,即=e e W W (2.2 一般情况下,外力可能是时间、速度和位移等的函数,(2.2式不一定存在积分形式。只是外力是位移场变量的函数且具有位,积分形式才有意义。上述功的的对内力同样适合。2.1.2 应变能的概念弹性体的弹性性质是由它的本构关系所决定。它发生变形时,伴随产生力图恢复变形的弹性力,同时在弹性体内贮存一种位能,称为应变能。在1.5.2节已叙述了它的概念,应变能是个相对值,一般取初始构形(未变形构形为零应变能构形,瞬时构形的应变能是该瞬时应变分量的函数,是变形过程中弹性恢复力所作的功,是个非负的标量。它为=
3、V V kl ij ijkl ij ij ij i dV C dV U 2121( (2.3它的一个重要特性是弹性体应变能与变形过程无关,取决于当时的应变状态。从热力学观点看,若弹性体变形过程是一个绝热过程,即它是与外界没有热交换的等熵可逆过程,它的应变能就是弹性体的内能。若弹性体变形过程是等温过程,则它的应变能是弹性体的自由能。2.1.3 动能的概念弹性体的惯性性质是弹性体的运动属性。它运动产生速度时,弹性体就具有一种运动能量,称为动能。弹性体动能是速度分量的函数,是个非负的标量。它为=V V i i i i i dV v v dV v p v T 2121( (2.4弹性体动能是个瞬时值,
4、取决于当时相对于参考系的绝对速度分量。2.2 虚位移原理(微分原理2.2.1 虚位移与虚功的概念弹性体的真实位移场变量在构形不同点上有确定值,是空间位置坐标的函数。在其区域V 内是个连续函数,保证介质的连续性。在边界上满足位移边界条件(变分法中的强迫边界条件,在边界上满足力的边界条件(变分法中的自然边界条件。真实位移场变量还应满足相应的力学原理(例如动量定理或虚位原理,即它是弹性体基本方程的解。,(t x u j i j x u S t S 若单纯地从变形的几何性质来看,对于弹性体从初始构形到一个瞬时构形的运动过程,可能有无数多个,现把它们的集合定义为虚位移(j i x u 。弹性体的虚位移具
5、有如下特性:(1虚位移是满足连续条件和位移边界条件的位移场集合。因它是从几何学的观点所作的分析,并不涉及作用力的概念。(2虚位移是其位置在空间域内的一个微小变更,在数学上称之为变分。它不涉及时间概念,不是在时间域内的增量,这种增量称为微分。(3虚位移定义在给定瞬时、满足几何条件、各种可能发生的位移的集合,并不要求满足力学原理。满足力学原理的是其中的一组特殊虚位移,即弹性体的满足全部力学条件的真实位移。根据上述的特性,虚位移是弹性体位移场变量的允许函数。根据虚位移的性质(2,虚位移是某瞬时位移场变量在空间域内的微小变更,故相应的作用力取瞬时值,在虚位移过程中认为是不变的。弹性体的外力在虚位移上所
6、作的功,称之为外力虚功,它为+=V Si i i i e dS u t dV u f W (2.5 在虚位移过程中,弹性体产生的虚应变是(21,i j j i ij u u += (2.6 设与作用力相对应的弹性体内所产生的应力为ij ,则弹性体虚应变能是 =Vij ij i dV U (2.7 在虚位移过程中,弹性体的虚速度为v i ,则弹性体虚动能是=Vi i dV v p T (2.8 以上各式是在虚位移场变量内的功能概念。2.2.2 弹性体静力学的虚位移原理弹性体虚位移原理是关于弹性体平衡充要条件的微分形式变分原理。虚位移原理叙述如下:物体平衡的充要条件是在理想约束下作用在物体上的主动
7、力,包括外力及内力,在虚位移上所作的虚功和等于零。所谓理想约束是指物体所受到的一种运动限制条件,这所产生的约束反作用力在虚位移上所作的功等于零,即不耗散能量。一般情况下,物体的各种联系与约束可认为属理想约束。若有耗散能量的约束,则将它划入主动力。作用在弹性体上的主动力有:外力(体积力与表面力和内力(弹性恢复力等。根据虚位原理,弹性体的平衡条件是弹性体的虚应变能等于外力虚功,即e i W U =或+=V V Si i i i ij ij dS u t dV u f dV (2.9 这个公式是弹性体平衡的一般条件。2.2.3 弹性体动力学的虚位移原理根据达伦培尔(D Alembert原理知,对于运
8、动着的弹性体在其上际加它的惯性力,则作用在弹性体上的力系是一个平衡力系。于是,可用虚位移原理来分析弹性动力学问题。设弹性体的加速度场是,则弹性体的惯性力是,(t x a j i i a 。于是,不难写出这惯性力在虚位移上所作的虚功,称之为惯性力虚功,它为 dV u dt u d W i i V m 22= (2.10 根据以上的分析,弹性体动力学的虚位移原理叙述如下:弹性体在某一瞬时的运动状态是使它的外力、弹性恢复力(内力和惯性力在虚位移上所作的虚功和等于零。即m e i W W U += (2.11 或+=V V S ii i i i ij ij dS u t dV u dt u d f d
9、V (22 (2.12 这个公式是分析弹性体瞬时动力学行为的基本关系式。2.3 最小位能原理2.3.1 泛函的概念能量变分原理是属于变分学中的泛函求驻值问题。泛函是函数的函数,前面讨论的应变能就是一种泛函,它是应变分量的函数,而应变分量本身是空间位置的函数,是个场变量函数。弹性力学中有许多量都是场变量的泛函。有关泛函和变分的概念可查阅有关教科书。弹性力学基本原理由能量分原理给出,它们是以某种泛函取驻值的形式给出。根据泛函驻值条件可推出弹性体基本方程(控制方程及其边界条件。这两者是等价的,可以互相转换。最小位能原理是最基本的一个能量变分原理。这里作一个简要的叙述。2.3.2 弹性体位能与最小位能
10、原理弹性体的总位能是由应变(位能和外力位能组成。它的总位能是e i U U U += (2.13 应变能在概念2.1里已作了阐述。弹性体内单位体积所具有的应变能称为应变能密度kl ij ijkl i C U 21= 由它可得ij ij ijkl iji C U = (2.14 应变能密度对应变分量的偏导数等于相应的应力分量。外力位能是当外力具有位时由外力功给出e e W U =根据虚位移原理给出的平衡条件(2.9式e i W U =或e i U U =于是,得最小位能原理,叙述如下:对于满足位移连续和变形协调的虚位移解中,使弹性体总位能取极值的位移解是满足平衡条件的真实位移解,即0,(,=j
11、i i u u U 或=+V S i i i i kl ij ijkl dS u t dV u f C 021( (2.15 弹性体总位能是位移与应变(位移的一阶偏导数的泛函,由它对位移场变量取变分得出的极小值所确定的弹性体的变形状态是稳定平衡。2.3.3 卡氏第一定理由虚位移原理(2.9式,有e i W U =若在弹性体上作用的是集中力(r =1,2,n ,设与之相应的位移为,则外力虚功是 r P r ur r e u P W = 将它代入虚位移原理,可推出ri r u U P = (2.16 这称为卡氏第一定理,叙述如下:弹性体处于平衡状态,其应变能对位移分量的偏导数等于对应的广义外力分量
12、。2.4 虚力原理2.4.1 虚力与虚余功的概念虚位移原理是以位移为基本未知量,属位移法。另一种微分形式的能量原理是虚力原理,它是以力为基本未知量的力法。弹性体的外力和内力(应力的总体,称之为力变量。弹性体的真实力变量应既满足动量定理和力的边界条件,又满足变形协调条件和位移边界条件。弹性体虚力是一种力变量,它具有如下特性:(1虚力是定义在某个瞬时的力变量的微小变更(变分。并不是在运动过程中的力变量的变化(微分。(2虚力是在区域V 内满足动量定理和在边界S 上满足力的边界条件的力变量的集合。它是从纯力学观点进行分析的,并不考虑它的几何运动学特性,即位移连续和变形协调条件。(3在给定瞬时,满足动量
13、定理及力的边界条件的各种可能发生的力变量(可能解,即虚力,所决定的变形状态不一定满足变形协调条件。其中满足变形协调条件的是真实的力变量,即弹性体基本方程的真实解。作用在弹性体上的虚外力i f 在真实位移上所作的功,称为外力余虚功。它为 i u +=V Si i i i c dS t u dV f u W (2.17 弹性体上相对应的虚应力设为ij ,则弹性体余虚应变能定义为=Vij ij c dV U (2.18 弹性体的虚动量定义为j p ,弹性体余虚应变能定义为=Vi i c dV p v T (2.19 这些虚余功与虚功之间存在有互补关系,即有下列关系式成立+=V V Vi i i i
14、i i dV f u dV u f dV u f (2.20所有的功能概念都有这种互补关系,这里不再叙述了。2.4.2 弹性体静力学的虚力原理弹性体静和学问题中的全部虚力,包括作用在弹性体上的体积力、边界上的表面力和弹性体的应力,是满足平衡方程的。它的真实位移上作的余虚功应等于零。由此不难推出虚力原理,叙述如下:满足平衡条件的虚力中,使余虚应变能等于外力余虚功的变形状态,是满足变形协调条件的真实变开状态,即c c W U =或+=V V Si i i i ij ij dS t u dV f u dV (2.21虚力原理构成为力法的理论基础。2.4.3 弹性体动力学的虚力原理弹性体动力学问题只要
15、引入惯性力余虚功,可应用上述虚力原理来分析。设弹性体加速度是,其惯性力是j a i a ,则惯性力的余虚功是=Vi i mc dV a u W ( (2.22 根据以上的分析,弹性体动力学虚力原理叙述如下:弹性体在某一瞬时满足动量定理及力边界条件的力变量中,使虚外力、虚应力和虚惯性力在真实位移上作的余虚功之和等于零的那组变形状态是满足变形协调条件的真实解。即mc c c W W U +=或+=V V Si i i i i ij ij dS t u dV a f u dV ( (2.23 应用虚力原理来分析弹性体动力学问题由于必须引入惯性力使分析计算复杂化,故使用不如虚位移原理那样方便。2.5
16、最小余能原理2.5.1 余能与最小余能原理弹性体的余能是由余应变能和外力余能组成,它的总余能是ce c U U U +=* (2.24 余应变能的概念在2.4.1节里已作了阐述。弹性体内单位体积所具有的余应变能称为作应变能密度,它是应力分量的函数kl ij ijkl c D U 21=(2.25由此可得ij ij ijkl ijc D U = (2.26 余应变能密度对应力分量的偏导数等于相应的应变分量。外力余能是当外力具有位时由外力余功给出c ce W U =根据虚力原理(2.21式,给出变形协调条件是c c W U =或ce c U U =于是,得最小余能原理叙述如下:对于满足平衡条件的应
17、力解中,使弹性体的总余能取驻值的应力解是满足变形协调条件的真实应力解,即0(*=ij U 或=+V S i i i i kl ij ijkl dS u p dV u f r D 0(21( (2.27 这就是说,弹性体的总余能,应力分量的泛函,对应力分量变分的极值条件给出它的变形协调条件。2.5.2 卡氏第二定理由虚力原理(2.21式给出c c W U =若弹性体上力作用点的位移为(r =1,2,n ,相应的作用力为,则外力余虚功是r u r P r r c P u W = 将它代入虚力原理,可得rc r P U u = (2.28 这是卡氏第二定理,当弹性体处于平衡状态,余应变能对作用力的偏
18、导数等于对应的广义位移。2.6 哈密尔登(Hamilton作用量原理(积分原理2.6.1 作用量的概念最小位能原理给出物体平衡条件,最小余能原理给出变形协调条件,它们都是属于静力学范畴的能量变分原理。引入达伦培尔原理,把动力学问题可转化为拟静力学问题来分析求解,但它有一定的局限性,只能分析某瞬时构形一个状态,适用于稳态响应分析,难以分析运动和变形的整个时间历程。而弹性体动力学问题往往要分析在一定外激励下弹性体从初瞬到未瞬整个时间历程内的动响应。也就是说,对弹性体动力学行为的描述必须在时空域内给出整体轨迹,是在时间域内每一瞬时构形的综合。为衡量某个量在整个时间域0,t内的作用,引入了作用量的概念
19、。设有某个量,定义它的作用量为i f =ti i d f t f t h 0( (2.29 其中是阶跃函数,它是(t h =0,10,0(t t t h 当当卷积符号*的定义是=td G t F t G t F 0( (2.30 作用量是表示在一段时间间隔内作用的总效果,例如力作用量的物理意义是该力在时间间隔0,t 内的冲量。2.6.2 哈密尔登作用量原理弹性体动力学的虚位移原理由(2.11式给出,叙述如一:弹性体的某瞬时状态是使它的外力、弹性恢复力和惯性力在虚位移上所作的虚功和等于零,即m e i W W U +=将上式在时间域0,t 内进行积分,得+=t V t V t S i i i i
20、 i ij ij dS u t dV u a f dV 000( 其中惯性力虚功在时间域内作分部积分给出 =tt V Vti i i i m dV u p dVdt v v dt W 000| (2.31 上式右端第二式是时端条件,一般取初瞬(t =0和末瞬(t =t 的虚位移为零,则其第二式等于零。右端第一式是虚动能在时间域内的积分,是动能作用量的变分。于是,由虚位移原理得=t ti t e Tdt dt U dt W 000 或=+te i dt W U T 00( (2.32 这就是哈密尔登作用量原理。它是分析弹性动力学问题的重要理论基础。若外力具有位,外力功用外力位能表示,弹性系统的总
21、位能由(2.13式给出e i U U U +=定义弹性系统的拉格朗日函数(或动势为U T L = (2.33 弹性系统的哈密尔登作用量是+=t t e i dt W U T Ldt H 00( (2.34 则哈密尔登原理叙述如下:从初瞬到未瞬的所有运动学可能的构形轨迹中,它的哈密登作用量取驻值的是其真实的运动构形解。2.7 弹性体动力学的拉格朗日(Lagrange方程2.7.1 泛函驻值问题化为控制微分方程在变分学中已经证明,泛函驻值条件将给出控制微分方程及其定解条件。设有函数y (x 及其一阶导数dxdy x y =(的最简泛函 =ba dx x y x y x F x y (,(,( (2
22、.35 它的驻值条件是0= (2.36 作变分运算+=b a dx y yF y y F ( 作分部积分,得0|(=+=b a b a y yF ydx y F dx d y F 于是,泛函的驻值条件是满足下面称之为欧拉方程的微分方程0=yF dx d y F (2.37 在a x =及上的两类边界条件如下:b x =(1强制边界条件,要求在此边界上函数的值是事先给定的。由于它是强制满足的,故它的变分为零(x y0=y (2.38 这在位移法中是位移边界条件。(2自然边界条件,在此边界上函数的值是事先给定的。由于它是强制满足的,故它的变分为零(x y 0=yF (2.39 即函数对的偏导数为零
23、的边界条件。这边界条件是在泛函取驻值时自然满足。在位移法中是力的边界条件。F y 2.7.2 弹性体的拉格朗日方程及边界条件哈密尔登作用量原理,根据(2.34式,可写为=+=t e i t dt W U T Ldt H 000( (2.40 对于弹性体来说+=+=V S i i i i e V i V k l l k i j j i ijkl i dSu p dV u f W dV u T dV u u u u C U 2,21(81 代入上式,得如下形式的拉格朗日函数=V i j i i dV uu u L L , (2.41 将(2.40式作变分运算,并进行分部积分,得=+=+=t S t
24、V i ii j j i t V i i j i i i t V i i j i j i i i dV u u L dSdt u n u L dVdt u u L t u L x u L dVdt u u L u u L u u L H 00,0,0,0|( 于是,弹性体的拉格朗日方程是0,=i j i i i uL t u L x u L (2.42 边界条件是00,=j ji i n u L u 或 (2.43 时端条件是 00=i i uL u 或 (2.44 将弹性体的拉格朗日函数代入,得弹性体动力学基本方程0(,=+i i kj l lj k ijkl f uu u C (2.45
25、它的自然边界条件,即力的边界条件0=i u 它的自然时端条件,即动量时端条件i i v u= (2.47 或强制时端条件,即位移时端条件0=i u 弹性体的拉格朗日函数也可能是如下形式:dV u u u u L L i jk i j i i V , = (2.48 对于梁、板、壳等结构,它们的拉格朗日函数表达式是含二阶导数泛函。用同样的方法可推导出它的驻值条件所对应的控制微分方程。与这种泛函要对应的弹性体拉格朗日方程是0,2,=+i jk i k i j i i i uL t u L x x u L x u L (2.49 其自然边界条件是0,=j ji n u L (2.50 自然时端条件是
26、0=i uL (2.51 根据不同结构的拉格朗日函数可应用(2.49式推导它的控制方程,即这类结构的动力学方程。2.8 柯丁(Gurtin变分原理2.8.1 弹性体动力学基本方程的拉变换式上面推导的弹性体动力学基本方程都是在时间域内分析的。哈密尔登作用量原理是其基本变分原理,有重要理论意义与实用价值。动力学分析还常在拉氏域内分析,它有着同样的重要性。函数的拉氏变换下义如下:(0s F dt e t f st = (2.52其中称为拉氏变量,变换到拉氏域的函数用斜体字,简写为s (s F t f L = (2.53 常用的两个导数公式是:0(f s sF dtt df L = 和 dt df s
27、f s F s dt t f d L 0(0(222= 现对弹性体动力学问题在拉氏域内分析。设其位移函数是,根据几何方程(1.6式,得应变分量,(s x u j i (21,(,i j j i i ij u u s x +=由物理方程(1.49式,得应力分量 kl ijkl i ij C s x =,(弹性体的速度分量由一阶导数公式给出0(,(i i i i u su s x v =相应的动量是0(,(i i i i u su s x p =若弹性体上作用有体积力,则动量定理(1.32式经位氏变换为,(s x f j i 0(0(2,i i i i j ij p u s u s f =+ (2
28、.54 它须满足在上的位移边界条件u S i i u u = (2.55 和在上边的边界条件t S i j ij t n = (2.56 还须满足t =0时的位移初始条件0(i i u u = (2.57a 和动量初始条件0(i i p p = (2.57b 由上分析可以看出,弹性体动力学问题一般是初边值问题。但转换到拉氏域后,成为边值问题。2.8.2 柯丁变分原理的拉氏域表达式 根据弹性体的动量定理(2.54式,把初始条件(2.57转换为当量体积力,即设 (0(0(s p u s s f i i i i =+ 则在拉氏域的弹性体动力学基本方程是02,=+i i j ij f u s (2.5
29、8 根据虚位移原理,得出拉氏域变分原理=+V S i i i i i i ij ij t dS u t dV u f p u s 02121(2 (2.59 称之为拉氏域内的柯丁变分原理(微分形式。 将(2.59式作变分运算,经分部积分,得0(2,=+dS u n t dV u f u s i V j ij S i i i i j ij t (2.60由此给出弹性体动力学基本方程及其自然边界条件。2.8.3 柯丁变分原理的时间域表达式将拉氏域内的柯丁变分原理(2.60式进行拉氏逆变换,得出在时间域内卷积形式的变分原理(积分形式=+V S i i i i i i ij ij t dS u t dV u f v p 02121( (2.61这里认为初始状态是无变形状。若系统作稳态谐振动,设exp(,exp(t j B t b t j A t a = (2.62 则其卷积式给出 ABt b t a 2(= (2.63这就是说,当系统作稳态振动时,时间域柯丁变分原理的卷积可用乘积替换,给出了与拉氏域相似的频率域关系式。2.9 瑞利(Rayleigh商变分原理2.9.1 弹性体瑞利商的定义弹性体动力学特性分析是弹性体动力学的主要研究内容。弹性体动力学特性方程是没有外激励的动力学基
