1、全国高考理科数学试题及答案全国卷绝密启用前2017 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷 5页， 23小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型 ( B)填涂在答题卡相应位置上。 将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2作答选择题时， 选出每小题答案后， 用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑； 如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答， 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改
2、动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按 以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合 A=x| x1 ， B= x| 3x 1，则2如图，正方形 ABCD内的图形来自中国古代的太极图 . 正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方 形的中心成中心对称 . 在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是其中的真命题为6 (1 12)(1 x)6展开式中 x2 的系数为 x7某多面体的三视图如图所示，其中正视图和
3、左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形 . 该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为到曲线 C2得到曲线 C210已知 F 为抛物线 C：y2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l1，l2，直线 l1与C交于 A、 B两点，直线 l 2 与 C交于 D、E两点，则 | AB|+| DE| 的最小值为A16B14C 12D1011设 xyz 为正数，且 2x 3y 5z ，则A2x3y5zB 5z2x3yC 3y5z2xD 3y2x 100且该数列的前 N项和为 2 的整数幂。那么该 款软件的激活码是二、填空题：本题共 4 小题，每小
4、题 5 分，共 20 分。O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形 ABC的中心为 O。D、E、F 为圆 O上的点， DBC， ECA， FAB分别是以 BC， CA，AB为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以BC， CA， AB为折痕折起 DBC， ECA， FAB，使得 D、E、F 重合，得到三棱锥。当 ABC的边长变 化时，所得三棱锥体积（单位： cm3）三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。1）求 sin Bsin C;（ 2）若 6cos Bcos C=1， a
5、=3，求 ABC的周长 .18. （ 12 分）如图，在四棱锥 P-ABCD中， AB/CD，且 BAP CDP 90o.（ 1）证明：平面 PAB平面 PAD；（2）若 PA=PD=AB=DC， APD 90o ，求二面角 A- PB-C的余弦值 .19（ 12分） 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件，并测量其尺寸（单位： cm）根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分 布 N（ , 2） （1）假设生产状态正常，记 X表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在 （ 3 , 3 ） 之外的零件 数，求 P（X 1
6、）及 X 的数学期望；2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 （ 3 , 3 ） 之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查（）试说明上述监控生产过程方法的合理性；）下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸：经计算得 x 116 xi 9.97 ，s 1 （xi x）2 1 （ xi2 16x2）2 0.212，其中 xi为抽取16 i 1 i 16 i 1 i 16 i 1 i i的第 i 个零件的尺寸， i 1,2, ,16 用样本平均数 x 作为 的估计值 ?，用样本标准差 s 作为 的估计值 ?，利用估计值判断是否需对当天的生产过
7、程进行检查？剔除 （ ? 3?, ? 3?） 之外的数据， 用剩下的数据估计 和 （精确到 0.01 ）附：若随机变量 Z服从正态分布 N（ , 2），则 P（ 3 Z 3 ） 0.997 4 ，0.997 416 0.959 2 ， 0.008 0.0920. （ 12 分）三点在椭圆 C上 .1）求 C的方程；2）设直线 l 不经过 P2点且与 C相交于 A，B 两点。若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为 1，证明： l1）讨论 f （x） 的单调性；（二）选考题：共 10分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22选修 44：坐标系与参数方
8、程 （10分）x 3cos ,在直角坐标系 xOy中，曲线 C的参数方程为 x 3cos , （ 为参数），直线 l 的参数方程为y sin ,x a 4t（, t 为参数） .y 1 t,（ 1）若 a=- 1，求 C与 l 的交点坐标；（2）若 C上的点到 l 的距离的最大值为 17 ，求 a.23选修 45：不等式选讲 （10分）2已知函数 f （ x） = x2+ax +4， g（ x）=x+1+x1.（1）当 a=1 时，求不等式 f （ x） g（ x）的解集；（ 2）若不等式 f （x）g（x）的解集包含 1， 1 ，求 a的取值范围 .2017 年普通高等学校招生全国统一考试理
9、科数学参考答案解：（1）2）化简可得 2a2 3bc sin 2 A ，因此可得利用正弦定理可得 b a sinB 3 1 3 ，sin A 3 22同理可得 c 3 ，故而三角形的周长为 3 2 3 。18. （ 12 分）如图，在四棱锥 P-ABCD中， AB/CD，且 BAP CDP 90o.（ 1）证明：平面 PAB平面 PAD；（2）若 PA=PD=AB=DC， APD 90o ，求二面角 A- PB-C的余弦值 .1）证明：Q AB / /CD,CD PD AB PD ,又 AB PA,PA PD P ,PA、 PD都在平面 PAD内，故而可得 AB PAD 。又 AB 在平面 P
10、AB内，故而平面 PAB平面 PAD。2）解：不妨设 PA PD AB CD 2a ，以 AD中点 O 为原点， OA为 x 轴， OP为 z 轴建立平面直角坐标系。故而可得各点坐标： P 0,0, 2a ,A 2a,0,0 ,B 2 a,2 a,0 ,C 2a,2a,0 ， uuur uuur uuurPAB 的法ur向量 n1x,y,1 ，平面 PBC的法向量uurn2m,n,1 ，ur n1uuur PA2ax2a 0 x 1，即0urur n1uuur PB2ax2ay 2a 0 yn11,0,1 ，uur n2uuur PC2am 2an 2a 0m0uur2uur n2uuur P
11、B2am2an 2a 0 n2，2即 n20, 2 ,1 。2因此可得 PA 2a,0, 2a ,PB 2a,2a, 2a ,PC 2a,2a, 2a ，假设平面故而可得同理可得ur uur因此法向量的夹角余弦值： cos n1,n2很明显，这是一个钝角，故而可得余弦为19( 12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程33检验员每天从该生产线上随机抽取16 个零件，并测量其尺寸(单位： cm)根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分 布 N( , 2) (1)假设生产状态正常，记 X表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在 ( 3 , 3 ) 之外的零件 数
12、，求 P(X 1)及 X 的数学期望；2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 ( 3 , 3 ) 之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查()试说明上述监控生产过程方法的合理性； ()下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸：的第 i 个零件的尺寸， i 1,2, ,16 用样本平均数 x 作为 的估计值 ? ，用样本标准差 s 作为 的估计值 ?，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除 ( ? 3?, ? 3?) 之外的数据， 用剩下的数据估计 和 (精确到 0.01 ) 附：若随机变量 Z服从正态分布 N( , 2)，则
13、 P( 3 Z 3 ) 0.997 4 ，0.997 416 0.959 2 ， 0.008 0.09解：(1) P X 1 1 P X 01 0.997416 1 0.9592 0.0408由题意可得， X 满足二项分布 X B 16,0.0016 ，2 由题意可得 9.97, 0.212 3 9.334, 3 10.606 ，故而在 9.334,10.606 范围外存在 9.22 这一个数据，因此需要进行检查。此时：x 9.97 16 9.22 10.02 ，150.09 。20. （ 12 分）x2 y2 3 3已知椭圆 C： x2 y2 =1（ab0），四点 P1（1,1 ），P2（0
14、,1），P3（1， 3 ），P4（1， 3 ）中恰有 a2 b2 2 2三点在椭圆 C上 .1）求 C的方程；2）设直线 l 不经过 P2点且与 C相交于 A，B 两点。若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为 1，证明： l过定点 .解：（1）因此可得椭圆经过P2（ 0,1 ）， P3（ 1， ）， P4（ 1， ），2213代入椭圆方程可得： b 1, 12 3 1 a 2 ， a2 42 故而可得椭圆的标准方程为： x y2 1。42）由题意可得直线 P2A 与直线 P2B 的斜率一定存在， 不妨设直线 P2A为： y kx 1,P2B为： y 1 k x 1.8k ,1 4k2 ,
15、B2 , 2 ,B 24k 1 4k 1 4 1 k 1 4 1 k 1化简可得kAB21 2k1 当12时，2 当12时，即y21. （ 12 分）已知函数（f x）解：141k21 4k2y2y141k214k2 1x2x181k8k41k214k2 1此时可求得直线的斜率为： kAB，此时满足 kAB两点重合，不合题意。直线方程为：4k2 4k 1 x21 2k2k当x2时，2x x ae +（a 2） e x.1)讨论 f (x) 的单调性；2)若f (x) 有两个零点，求a 的取值范围1)对函数进行求导可得f2ae2x2)1 当 a0 时，fxae 12 当 a0 时，faex 11
16、减，在 ln 1, 上单调递增。a函数有两个零点，故而可得 a 0 ，1，8k4k2 11 4k2 ，4k2 1因此直线恒过定点 2,xxae 1 e 1 。0恒成立，故而函数恒递减0x此时函数有极小值要使得函数有两个零点，亦即极小值小于0，1。1故而可得 ln a 1a0 a 0 ，令 gln a 1 a对函数进行求导即可得到g aa12a0，又 g 1 0， g aln a 1 a因此可得函数有两个零点的范围为 a 0,11ln ，故而可得函数在 af ln 1 a1，故而函数恒递增，1，1ln a 1，a1,ln 1 上单调递 a（二）选考题：共 10分。请考生在第 22、23 题中任选
17、一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程 （10分）x 3cos ,在直角坐标系 xOy中，曲线 C的参数方程为 （ 为参数），直线 l 的参数方程为y sin ,x a 4t（, t 为参数） . y 1 t,（ 1）若 a=- 1，求 C与 l 的交点坐标；（2）若 C上的点到 l 的距离的最大值为 17 ，求 a. 解：2已知函数 f ( x) = x2+ax +4， g( x)=x+1+x1 .（1）当 a=1 时，求不等式 f （ x） g（ x）的解集；（ 2）若不等式 f （x）g（x）的解集包含 1， 1 ，求 a的取值范围解：2x x 1将函数 g x x 1 x 1 化简可得 g x 2 1 x 12x x 11) 当 a 1时，作出函数图像可得 f x g x 的范围在 F 和 G点中间，联立2x2x可得点 G 17 1, 17 1 ，因此可得解集为41, 172 122)即fgx1,1根据图像可得：函数内恒成立，故而可得 x2 ax 4 2ax 必须在 l1,l2 之间，故而可得 1 a1。2 ax 恒成立，
