1、北师大版初中数学九年级上册期中试题福建省漳州市2018-2019学年福建省漳州市台商投资区九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（4分）一元二次方程x2x的根是（）Ax10，x21 Bx10，x21 Cx1x20 Dx1x212（4分）用两个边长为3的等边三角形纸片拼成的四边形是（）A平行四边形 B正方形 C矩形 D菱形3（4分）方程x2+4x60配方后变形为（）A（x+2）210 B（x2）210 C（x+2）22 D（x2）224（4分）在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，再添加一个条件，仍不能判定四边
2、形ABCD是矩形的是 （）AABAD BOAOB CACBD DDCBC5（4分）如图，在长70m，宽40m的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路（如阴影部分所示），要使观赏路面积占总面积的，则路宽x应满足的方程是（）A（40x）（70x）350 B（402x）（703x）2450 C（402x）（703x）350 D（40x）（70x）24506（4分）如图，点A（2.18，0.51），B（2.68，0.54），在二次函数yax2+bx+c（a0）的图象上，则方程ax2+bx+c0的一个近似值可能是（）A2.18 B2.68 C0.51 D2.457（4分）顺次连接下列四边形“各边中点所构成的
3、四边形”中，为矩形的是（）平行四边形；矩形；菱形；对角线相等的四边形；对角线垂直的四边形A B C D8（4分）如图，已知二次函数y（x+1）24，当2x2时，函数值y的取值范围是（）A3y5 B4y5 C4y3 D1y59（4分）下列函数图象中能与抛物线y（x1）25关于y轴对称是（）Ayx2+2x+4 Byx2+2x+4 Cyx2+2x4 Dyx22x+410（4分）欧几里得的原本记载，形如x2+axb2的方程的图解法是：画RtABC，使ACB90，BC，ACb，再在斜边AB上截取BD则该方程的一个正根是（）AAC的长 BAD的长 CBC的长 DCD的长二、填空题：本题共6小题，每小题4分
4、11（4分）把抛物线y3x2向上平移3个单位长度后，所得的函数解析式为 12（4分）对于一元二次方程x25x+20，根的判别式b24ac中的b表示的数是 13（4分）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，则AEB的度数为 14（4分）若m是方程2x23x10的一个根，则6m29m+2015的值为 15（4分）如图，在菱形ABCD中，AEBC于点E，若AB5，AC6则AE的长为 16（4分）下表中x，y的对应值是抛物线yax2+bx+c（a0）上点的坐标，下列说法中正确的是 （填写序号）x21012y04664抛物线与x轴的一个交点为（3，0）；函数yax2+bx+c的最大
5、值为6；抛物线的对称轴是x0.5；在对称轴左侧，y随x的增大而增大三、解答题：本题共9小题，共86分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（8分）解方程x23x+1018（8分）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，PCBD，PDAC求证：四边形ODPC是菱形19（8分）若关于x的一元二次方程x2+2mx+20有两个相等的实数根求m的值？20（8分）证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（要求画图并写出已知、求证以及证明过程）21（10分）已知抛物线yx2（2m1）x+m2m2（m为常数）（1）求证：抛物线与x轴有两个不同交点；（2）求抛物线与x轴两交点的坐标（用含m的代数式表
6、示）22（10分）某种服装平均每天可销售20件，每件盈利44元，若每件降价1元，每天可多售5件，若设每件降价x元（1）根据题意，填表：每件利润（元）销售量（件）利润（元）降价前4420880降价后（2）若每天盈利1600元，则每件应降价多少元？23（10分）某隧道截面如图所示，它是由抛物线和长方形构成，已知OA12米，OB4米，抛物线顶点D到地面OA的垂直距离为10米，以OA所在直线为x轴，以OB所在直线为y轴建立平面直角坐标系（1）求抛物线的解析式；（2）由于隧道较长，在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们到地面的高度相同，如果灯离地面的高度是8米，求两排灯的水平距离是多少米？24（12分）
7、如图，已知正方形ABCD，AB2，E是对角线BD上一点，F是射线CB上一点，且EFEC（1）求证：AEEF；（2）若BEAB，请在图2中补全图形，判断AF与EC的位置关系并加以证明；（3）当点E从点B运动到点D的过程中，求线段FB与BE满足怎样的等量关系25（12分）如图，直线yx+4与抛物线yx2+bx+c交于A，B两点，点A在y轴上，点B在x轴上（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得ABP90，求出点P坐标；（3）点E是抛物线对称轴上一点，点F是抛物线上一点，是否存在点E和点F使得以点E，F，B，O为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请
8、说明理由2018-2019学年福建省漳州市台商投资区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共10小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（4分）一元二次方程x2x的根是（）Ax10，x21 Bx10，x21 Cx1x20 Dx1x21【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可【解答】解：x2x，x2x0，x（x1）0，x0，x10，x10，x21，故选：A【点评】本题考查了解一元二次方程，能够选择适当的方法解方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等2（4分）用两个边长为
9、3的等边三角形纸片拼成的四边形是（）A平行四边形 B正方形 C矩形 D菱形【分析】利用等边三角形的性质，以及菱形的判定方法判断即可【解答】解：等边三角形的三边相等，用两张等边三角形纸片拼成的四边形是菱形，故选：D【点评】此题考查了菱形的判定，图形的剪拼，以及等边三角形的性质，熟练掌握菱形的判定方法是解本题的关键3（4分）方程x2+4x60配方后变形为（）A（x+2）210 B（x2）210 C（x+2）22 D（x2）22【分析】方程常数项移到右边，两边加上4，利用完全平方公式变形得到结果，即可做出判断【解答】解：方程x2+4x60，移项得：x2+4x6，配方得：x2+4x+410，即（x+2
10、）210故选：A【点评】此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键4（4分）在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，再添加一个条件，仍不能判定四边形ABCD是矩形的是 （）AABAD BOAOB CACBD DDCBC【分析】根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形，对各选项分析判断后利用排除法求解【解答】解：A、ABAD，则ABCD是菱形，不能判定是矩形，故本选项错误；B、OAOB，根据平行四边形的对角线互相平分，ACBD，对角线相等的平行四边形是矩形可得ABCD是矩形，故本选项正确；C、ACBD，根据对角线相等的平行四边形是矩形，故本
11、选项正确；D、DCBC，则BCD90，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得ABCD是矩形，故本选项正确故选：A【点评】本题主要考查了平行四边形的性质与矩形的判定，熟练掌握矩形是特殊的平行四边形是解题关键5（4分）如图，在长70m，宽40m的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路（如阴影部分所示），要使观赏路面积占总面积的，则路宽x应满足的方程是（）A（40x）（70x）350 B（402x）（703x）2450 C（402x）（703x）350 D（40x）（70x）2450【分析】设路宽为x，所剩下的观赏面积的宽为（402x），长为（703x）根据要使观赏路面积占总面积，可列方程求解【解答】
12、解：设路宽为x，（402x）（703x）（1）7040，（402x）（703x）2450故选：B【点评】本题考查理解题意的能力，关键是表示出剩下的长和宽，根据面积列方程6（4分）如图，点A（2.18，0.51），B（2.68，0.54），在二次函数yax2+bx+c（a0）的图象上，则方程ax2+bx+c0的一个近似值可能是（）A2.18 B2.68 C0.51 D2.45【分析】根据自变量两个取值所对应的函数值是0.51和0.54，可得当函数值为0时，x的取值应在所给的自变量两个值之间【解答】解：图象上有两点分别为A（2.18，0.51）、B（2.68，0.54），当x2.18时，y0.51
13、；x2.68时，y0.54，当y0时，2.18x2.68，只有选项D符合，故选：D【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，用到的知识点为：点在函数解析式上，点的横纵坐标适合这个函数解析式；二次函数值为0，就是函数图象与x轴的交点，跟所给的接近的函数值对应的自变量相关7（4分）顺次连接下列四边形“各边中点所构成的四边形”中，为矩形的是（）平行四边形；矩形；菱形；对角线相等的四边形；对角线垂直的四边形A B C D【分析】由顺次连接任意四边形各边的中点，所得的四边形为平行四边形；顺次连接对角线相等的四边形各边的中点，所得的四边形为菱形；顺次连接对角线互相垂直的四边形各边的中点，所得的四边形
14、为矩形；顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边的中点，所得的四边形为正方形；即可求得答案【解答】解：顺次连接对角线互相垂直的四边形各边的中点，所得的四边形为矩形；对角线垂直的四边形，菱形的对角线互相垂直，所得的四边形为矩形的是菱形；故选：D【点评】此题考查了中点四边形的性质此题难度不大，注意掌握三角形中位线的性质8（4分）如图，已知二次函数y（x+1）24，当2x2时，函数值y的取值范围是（）A3y5 B4y5 C4y3 D1y5【分析】求得顶点坐标，得出最小值，然后求出x2，x2时y的值，就可得到y的取值范围【解答】解：由二次函数y（x+1）24可知：抛物线开口向上，顶点为（1，4），函数
15、有最小值y4，当x2时，y3，当x2时，y5，当2x2时，y的取值范围是4y5，故选：B【点评】本题主要考查了二次函数的性质，抛物线的对称轴、顶点坐标与抛物线解析式的关系，抛物线的顶点式：ya（xh）2+k，顶点坐标为（h，k），对称轴xh9（4分）下列函数图象中能与抛物线y（x1）25关于y轴对称是（）Ayx2+2x+4 Byx2+2x+4 Cyx2+2x4 Dyx22x+4【分析】关于y轴对称的两个抛物线的顶点坐标关于y轴对称，据此求得新抛物线的顶点坐标，由顶点坐标写出新抛物线解析式【解答】解：抛物线y（x1）25的顶点坐标是（1，5），新抛物线与抛物线y（x1）25关于y轴对称，新抛物线
16、的顶点坐标是（1，5），新抛物线的解析式是：y（x+1）25yx2+2x4故选：C【点评】考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求得新抛物线的顶点坐标10（4分）欧几里得的原本记载，形如x2+axb2的方程的图解法是：画RtABC，使ACB90，BC，ACb，再在斜边AB上截取BD则该方程的一个正根是（）AAC的长 BAD的长 CBC的长 DCD的长【分析】表示出AD的长，利用勾股定理求出即可【解答】解：欧几里得的原本记载，形如x2+axb2的方程的图解法是：画RtABC，使ACB90，BC，ACb，再在斜边AB上截取BD，设ADx，根据勾股定理得：（x+）2b
17、2+（）2，整理得：x2+axb2，则该方程的一个正根是AD的长，故选：B【点评】此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键二、填空题：本题共6小题，每小题4分11（4分）把抛物线y3x2向上平移3个单位长度后，所得的函数解析式为y3x2+3【分析】直接运用平移规律“左加右减，上加下减”，在原式上加3即可得新函数解析式y3x2+3【解答】解：y3x2向上平移3个单位长度，新抛物线为y3x2+3故答案是：y3x2+3【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减并用规律求函数解析式12（4分）对于一元二次方程x25x+20，根的判别式b24a
18、c中的b表示的数是5【分析】分清一元二次方程中，二次项系数、一次项系数和常数项，直接解答即可【解答】解：因为一元二次方程根的判别式b24ac，在方程x25x+20中，a1，b25，c2，所以根的判别式b24ac中的b表示的数是5；故答案为：5【点评】此题考查根的判别式，在解一元二次方程时程根的判别式b24ac，不要盲目套用，要看具体方程中的a，b，c的值a代表二次项系数，b代表一次项系数，c是常数项13（4分）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，则AEB的度数为15【分析】根据等边三角形的性质及正方形的性质可得到ABAE，从而可求得BAE的度数，则AEB的度数就不难求了
19、【解答】解：根据等边三角形和正方形的性质可知ABAE，BAE90+60150，AEB（180150）215故答案为：15【点评】主要考查了正方形和等边三角形的特殊性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键14（4分）若m是方程2x23x10的一个根，则6m29m+2015的值为2018【分析】根据一元二次方程的解的定义即可求出答案【解答】解：由题意可知：2m23m10，2m23m1原式3（2m23m）+20152018故答案为：2018【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型15（4分）如图，在菱形ABCD中，AEBC于点E，若AB5，AC6则
20、AE的长为【分析】连接BD，根据菱形的性质可得ACBD，AOAC，然后根据勾股定理计算出BO长，再算出菱形的面积，然后再根据面积公式BCAEACBD可得答案【解答】解：连接BD，交AC于点O四边形ABCD是菱形，ABBC5，OAOC3，OBOD，ACBD在RtAOB中，由勾股定理得：OB4，BD2OB8S菱形ABCDBCAEACBD24，5AE24，AE故答案为：【点评】此题主要考查了菱形的性质，以及菱形的性质面积，关键是掌握菱形的对角线互相垂直且平分16（4分）下表中x，y的对应值是抛物线yax2+bx+c（a0）上点的坐标，下列说法中正确的是（填写序号）x21012y04664抛物线与x轴
21、的一个交点为（3，0）；函数yax2+bx+c的最大值为6；抛物线的对称轴是x0.5；在对称轴左侧，y随x的增大而增大【分析】根据表格中的数据和二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，本题得以解决【解答】解：由表格可得，抛物线与x轴的一个交点为（2，0），对称轴为直线x，故正确，则抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），故正确，函数yax2+bx+c的最大值在x时取得，此时y6，故错误，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，故正确，故答案为：【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答三、解
22、答题：本题共9小题，共86分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（8分）解方程x23x+10【分析】根据公式法求解即可【解答】解：x23x+10，9450，x1，x2【点评】考查了解一元二次方程公式法，公式法解一元二次方程的一般步骤为：把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；求出b24ac的值（若b24ac0，方程无实数根）；在b24ac0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：a0；b24ac018（8分）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，PCBD，PDAC求证：四边形ODPC是菱形【分析】根据DP
23、AC，CPBD，即可证出四边形ODPC是平行四边形，又知四边形ODPC是平行四边形，故可得ODBDACOC，即可证出四边形ODPC是菱形【解答】证明：DPAC，CPBD四边形ODPC是平行四边形，ODBDACOC，四边形ODPC是菱形【点评】本题主要考查矩形性质和菱形的判定的知识点，解答本题的关键是熟练掌握菱形的判定定理，此题比较简单19（8分）若关于x的一元二次方程x2+2mx+20有两个相等的实数根求m的值？【分析】根据方程的系数结合根的判别式0，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值【解答】解：关于x的一元二次方程x2+2mx+20有两个相等的实数根，（2m）280，解得：m【
24、点评】本题考查了根的判别式以及配方法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当0时，方程有两个相等的实数根”；（2）代入m的值，再解一元二次方程20（8分）证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（要求画图并写出已知、求证以及证明过程）【分析】作出图形，然后写出已知，求证，延长CD到E，使DECD，连接AE、BE，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断出四边形AEBC是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得四边形AEBC是矩形，然后根据矩形的对角线互相平分且相等可得CDAB【解答】已知：如图，在ABC中，ACB90，CD是斜边AB上的中线，求证：CDAB；证明：如图，延
25、长CD到E，使DECD，连接AE、BE，CD是斜边AB上的中线，ADBD，四边形AEBC是平行四边形，ACB90，四边形AEBC是矩形，ADBDCDDE，CDAB【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质证明，作辅助线，构造出矩形是解题的关键21（10分）已知抛物线yx2（2m1）x+m2m2（m为常数）（1）求证：抛物线与x轴有两个不同交点；（2）求抛物线与x轴两交点的坐标（用含m的代数式表示）【分析】（1）根据二次函数的系数结合根的判别式，可得出90，进而可证出抛物线与x轴有两个不相同的交点；（2）当y0时，求出与之对应的x的值，即可求交点坐标；【解答】证明：（1）a1，
26、b（2m1），cm2m2，b24ac（2m1）241（m2m2）90，抛物线与x轴有两个不相同的交点（2）当y0时，有x2（2m1）x+m2m20，即x（m2）x（m+1）0，解得：x1m2，x2m+1抛物线与x轴的交点坐标为：（m2，0），（m+1，0）【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，解题的关键是：（1）牢记“当0时，抛物线yax2+bx+c与x轴有两个不同交点”22（10分）某种服装平均每天可销售20件，每件盈利44元，若每件降价1元，每天可多售5件，若设每件降价x元（1）根据题意，填表：每件利润（元）销售量（件）利润（元）降价前4420880降价后（2）若每天盈利1600元，则每件
27、应降价多少元？【分析】（1）根据题意确定出降价后的利润与销售量，以及利润即可；（2）根据盈利的钱数，确定出应降的价即可【解答】解：（1）根据题意，填表：每件利润（元）销售量（件）利润（元）降价前4420880降价后44x20+5x（2）根据题意得：（44x）（20+5x）1600，整理得：（x4）（x36）0，解得：x4或x36，则应降价4元或36元【点评】此题考查了一元二次方程的应用，弄清题中的等量关系是解本题的关键23（10分）某隧道截面如图所示，它是由抛物线和长方形构成，已知OA12米，OB4米，抛物线顶点D到地面OA的垂直距离为10米，以OA所在直线为x轴，以OB所在直线为y轴建立平面直角坐标系（1）求抛物线的解析式；（2）由于隧道较长，在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们到地面的高度相同，如果灯离地面的高度是8米，求两排灯的水平距离是多少米？【分析】（1）抛物线顶点坐标为D（6，10），设抛物线的解析式为ya（x6）2+10，把点B的坐标代入即可（2）由图象可知
