1、第九章,一元函数积分学,多元函数积分学,重积分,重,积,分,在一元函数积分学中，定积分是定义在某,一区间上的一元函数的某种特定形式的,和式的,极限,，由于科学技术和生产实践的发展，需要,计算空间形体的体积、曲面的面积、空间物体,的质量,等，定积分已经不能解决这类问题，另,一方面，从数学逻辑思维的规律出发，必然会,考虑定积分概念的推广，从而提出了多元函数,的积分学问题。,当人们把定积分解决问题的基本思想,“,分割、近似代替、求和、取极限”用于解决,这类问题时发现是完全可行的。把解决的基,本方法抽象概括出来，就得到多元函数积分,学。,本章将讨论二重积分的概念、性质、计算和应,用。,重点,：重积分的
2、计算方法，交换累次积分次序。,难点,：选择坐标系，确定积分次序，定积分限。,基本要求,理解重积分概念，了解其基本性质,熟练掌握重积分的计算方法,掌握累次积分的换序法,掌握各种坐标系及坐标系下的面积元、体积元,三、二重积分的性质,第一节,一、引例,二、二重积分的定义,二重积分的概念与性质,一、问题的提出,(,引例）,曲顶柱体的体积,柱体体积,=,底面积,高,特点,：平顶,.,),(,y,x,f,z,?,D,柱体体积,=,？,特点,：曲顶,.,解法,:,类似定积分解决问题的思想,分析：,曲顶柱体,:,0,),(,?,?,y,x,f,z,底：,xoy,面上的闭区域,D,顶,:,连续曲面,侧面：以,D
3、,的边界为准线,母线平行于,z,轴的柱面,求曲顶柱体的体积采用,“,分割、,近似,代替、,求和、取极限,”的方法，如下动,画演示,步骤如下：,用若干个小平,顶柱体体积之,和近似表示曲,顶柱体的体积，,x,z,y,o,D,),(,y,x,f,z,?,i,?,?,?,),(,i,i,?,?,先分割曲顶柱体的底,，并取典型小区域，,.,),(,lim,1,0,i,i,n,i,i,f,V,?,?,?,?,?,?,?,?,?,曲顶柱体的体积,求平面薄片的质量,设,有,一,平,面,薄,片,，,占,有,xoy,面,上,的,闭,区,域,D,，,在,点,),(,y,x,处,的,面,密,度,为,),(,y,x,?
4、,，,假,定,),(,y,x,?,在,D,上,连,续,，,平,面,薄,片,的,质,量,为,多,少,？,将薄片分割成若干小块，,取典型小块，将其近似,看作均匀薄片，,所有小块质量之和,近似等于薄片总质量,x,y,o,),(,i,i,?,?,i,?,?,.,),(,lim,1,0,i,i,n,i,i,M,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,两个问题的共性,：,(1),解决问题的步骤相同,(2),所求量的结构式相同,“,分割、近似代替、求和、取极限,”,?,?,?,?,?,n,k,k,k,k,f,V,1,0,),(,lim,?,?,?,?,?,?,?,?,?,n,k,k,k,k,M,1,0,),
5、(,lim,?,?,?,?,?,曲顶柱体体积,:,平面薄片的质量,:,二、二重积分的概念,1,、定义,设,),(,y,x,f,是有界闭区域,D,上的有界函,数，将闭区域,D,任意分成,n,个小闭区域,1,?,?,，,?,2,?,?,，,n,?,?,，其中,i,?,?,表示第,i,个小闭区域，,也表示它的面积，,在每个,i,?,?,上任取一点,),(,i,i,?,?,，,作乘积,),(,i,i,f,?,?,i,?,?,，,),2,1,(,n,i,?,?,，,并作和,i,i,n,i,i,f,?,?,?,?,?,?,),(,1,，,如果当各小闭区域的直径中的最大值,?,趋近于零,时，这和式的极限存在
6、，则称此极限为函数,),(,y,x,f,在,闭,区,域,D,上,的,二,重,积,分,，,记,为,?,D,d,y,x,f,?,),(,，,即,?,D,d,y,x,f,?,),(,i,i,n,i,i,f,?,?,?,?,?,?,?,?,?,),(,lim,1,0,.,积,分,区,域,被,积,函,数,积,分,变,量,被,积,表,达,式,面,积,元,素,积,分,和,对二重积分定义的说明：,(1),在,二重积分的定义中，对闭区域,的划分是,任意,的,.,(2),当,),(,y,x,f,在闭区域上,连续,时，定义,中和式的极限必存在，即,二重积分必,存在,.,(3),如果,在,D,上可积,),(,y,x,
7、f,也常,?,d,d,d,y,x,二重积分记作,k,k,k,y,x,?,?,?,?,?,这时,分区域,D,因此面积元素,可用平行坐标轴的直线来划,记作,?,?,?,?,D,D,dxdy,y,x,f,d,y,x,f,),(,),(,?,?,D,y,x,f,V,?,d,),(,引例,1,中曲顶柱体体积,:,?,?,D,y,x,M,?,?,d,),(,引例,2,中平面薄板的质量,:,?,?,D,y,x,y,x,f,d,d,),(,?,?,D,y,x,y,x,d,d,),(,?,（,4,）、二重积分的几何意义,当被积函数大于零时，二重积分是柱体,的体积,当被积函数小于零时，二重积分是柱,体的体积的,负
8、值,?,?,D,y,x,f,V,?,d,),(,?,?,D,y,x,y,x,f,d,d,),(,三、二重积分的性质,（,二重积分与定积分有类似的性质,）,性质,.,),(,),(,?,?,?,D,D,d,y,x,f,k,d,y,x,kf,?,?,性质,?,?,D,d,y,x,g,y,x,f,?,),(,),(,.,),(,),(,?,?,?,?,D,D,d,y,x,g,d,y,x,f,?,?,性质,.,),(,),(,),(,2,1,?,?,?,?,?,D,D,D,d,y,x,f,d,y,x,f,d,y,x,f,?,?,?,对区域具有可加性,),(,2,1,D,D,D,?,?,性质,?,若,为
9、,D,的面积，,.,1,?,?,?,?,?,D,D,d,d,?,?,?,性质,若在,D,上,),(,),(,y,x,g,y,x,f,?,则有,.,),(,),(,?,?,?,D,D,d,y,x,g,d,y,x,f,?,?,特殊地,.,),(,),(,?,?,?,D,D,d,y,x,f,d,y,x,f,?,?,性质,设,M,、,m,分,别,是,),(,y,x,f,在,闭,区,域,D,上,的,最,大,值,和,最,小,值,，,?,为,D,的,面,积,，,则,?,?,?,?,?,?,D,M,d,y,x,f,m,),(,（二重积分估值不等式）,设函数,),(,y,x,f,在闭区域,D,上连续，,?,为,
10、D,的面积，则在,D,上至少存在一点,),(,?,?,使得,性质,?,?,?,?,?,?,?,),(,),(,f,d,y,x,f,D,（二重积分中值定理）,P78,平均值公式,例,1.,比较下列积分的大小,:,?,?,d,),(,d,),(,3,2,?,?,?,?,D,D,y,x,y,x,其中,2,),1,(,),2,(,:,2,2,?,?,?,?,y,x,D,解,:,积分域,D,的边界为圆周,1,?,?,y,x,3,3,2,),(,),(,y,x,y,x,?,?,?,2,),1,(,),2,(,2,2,?,?,?,?,y,x,它与,x,轴交于点,(1,0),.,1,相切,与直线,?,?,y,
11、x,而域,D,位,?,?,d,),(,d,),(,3,2,?,?,?,?,?,?,D,D,y,x,y,x,于直线的上方,故在,D,上有,1,y,2,x,o,1,D,例,2,估,计,?,?,?,?,?,D,xy,y,x,d,I,16,2,2,2,?,的,值,，,其,中,D,：,2,0,1,0,?,?,?,?,y,x,.,解,16,),(,1,),(,2,?,?,?,y,x,y,x,f,?,区,域,面,积,2,?,?,在,D,上,),(,y,x,f,的,最,大,值,),0,(,4,1,?,?,?,y,x,M,),(,y,x,f,的,最,小,值,5,1,4,3,1,2,2,?,?,?,m,),2,1
12、,(,?,?,y,x,故,4,2,5,2,?,?,I,.,5,.,0,4,.,0,?,?,?,I,例,3,判,断,?,?,?,?,?,1,2,2,),ln(,y,x,r,dxdy,y,x,的,符,号,.,解,当,1,?,?,?,y,x,r,时,故,0,),ln(,2,2,?,?,y,x,;,1,),(,0,2,2,2,?,?,?,?,?,y,x,y,x,又,当,1,?,?,y,x,时,0,),ln(,2,2,?,?,y,x,于,是,0,),ln(,1,2,2,?,?,?,?,?,?,y,x,r,dxdy,y,x,.,例,3,判,断,?,?,?,?,?,1,2,2,),ln(,y,x,r,dxd
13、y,y,x,的,符,号,.,练习,1,、,比较积分,?,?,D,d,y,x,?,),ln(,与,?,?,D,d,y,x,?,2,),ln(,的大小,其中,D,是三角形闭区域,三顶点各为,(1,0),(1,1),(2,0).,解：三角形斜边方程,2,?,?,y,x,在,D,内,有,e,y,x,?,?,?,?,2,1,故,1,),ln(,?,?,y,x,o,x,y,1,2,1,D,于,是,?,?,2,),ln(,),ln(,y,x,y,x,?,?,?,因,此,?,?,?,D,d,y,x,?,),ln(,?,?,D,d,y,x,?,2,),ln(,.,练习,2,、,估计下列积分之值,10,:,cos
14、,cos,100,d,d,I,2,2,?,?,?,?,?,?,y,x,D,y,x,y,x,D,解,:,D,的面积为,200,),2,10,(,2,?,?,?,由于,?,?,?,?,y,x,2,2,cos,cos,100,1,积分性质,5,100,200,I,102,200,?,?,即,:1.96,?,I,?,2,10,?,10,10,10,?,D,100,1,102,1,x,y,o,求曲顶柱体的体积采用,“,分割、求和,、取极限,”的方法，如下动画演示,四、小结,二重积分的定义,（和式的极限）,二重积分的几何意义,（曲顶柱体的体积）,二重积分的性质,（与定积分类似）,思考题,将二重积分定义与定
15、积分定义进行比较，,找出它们的相同之处与不同之处,.,思考题解答,定积分与二重积分都表示某个和式的极限,值，且此值只与被积函数及积分区域有关不,同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为,定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分,区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域,上的二元函数,练,习,题,一、,填空题,:,1,、,当函数,),(,y,x,f,在闭区域,D,上,_,时,则其在,D,上的二重积分必定存在,.,2,、,二,重,积,分,?,D,d,y,x,f,?,),(,的,几,何,意,义,是,_.,3,、,若,),(,y,x,f,在,有,界,闭,区,域,D,上,可,积,且,2,1,D,D,D,
16、?,?,当,0,),(,?,y,x,f,时,则,?,1,),(,D,d,y,x,f,?,_,?,2,),(,D,d,y,x,f,?,;,当,0,),(,?,y,x,f,时,则,?,1,),(,D,d,y,x,f,?,_,?,2,),(,D,d,y,x,f,?,.,4,、,?,?,D,d,y,x,?,),sin(,2,2,_,_,_,_,_,_,_,_,_,_,?,其,中,?,是,圆,域,2,2,2,4,?,?,y,x,的,面,积,?,?,?,16,.,二、,比较下列积分的大小,:,?,?,?,?,?,?,d,y,x,d,y,x,D,2,),ln(,),ln(,与,其中,D,是矩形；,闭区域,:,1,0,5,3,?,?,?,?,y,x,.,三、估计积分,?,?,?,?,D,d,y,x,I,?,),9,4,(,2,2,的值,其中,D,是圆,形区域,:,4,2,2,?,?,y,x,.,练习题答案,一、,1,、连续；,2,、,以,),(,y,x,f,z,?,为曲顶,以,D,为底的曲顶柱体体,积的代数和；,3,、,；,4,、,?,.,二、,?,?,?,?,?,?,?,d,y,x,d,y,x,D,2,),ln(,),ln(,.,三、,?,?,?,?,?,?,?,?,100,),9,4,(,36,2,2,d,y,x,.,
