1、平方差完全平方公式培优平方差完全平方公式选择题（共1小题）1. (1999?烟台)F列代数式I，比逹,普，其中整式有（A. 1个 B. 2个 C. 3个D. 4个二.填空题（共3小题）2.项式.（2011?湛江）多项式 2x2- 3x+5是 次3.（2010?毕节地区）写出含有字母 x, y的四次单项式 .（答案不唯一，只要写出一个）4. （ 2004?南平）把多项式 2x2- 3x+x3按x的降幕排列是 _ _5.(1999?内江)配方：x2+4x+ =(x+ ) 2配方：x2-x+=(x-1) 22三.解答题(共26小题)5.计算：(1)(x- y) (x+y) (x2+y2)(2)(a-
2、 2b+c) ( a+2b- c)6 .计算：1232 - 124 X 122 .7 .计算：20042tfi)4 2- 2005X20038. (x- 2y+z) (- x+2y+z).9.运用乘法公式计算.(1)(x+y) 2-(x-y) 2;(2)(x+y- 2) (x- y+2);(3)x；(4).10.化简：(m+n - 2) ( m+n+2).11. (x - 2y - m) (x- 2y+m)12.计算(1)(a- b+c- d) (c- a - d - b);(2)(x+2y) (x- 2y) (x4- 8x2/+16y4).13.计算：20082- 20072+20062-
3、20052+22- 12.14.利用乘法公式计算： ( a- 3b+2c) (a+3b- 2c) 472 - 94 X 27+272.15.已知：x2 - y2=20, x+y=4,求 x - y 的值. 16.观察下列各式：(x- 1) (x+1) =x2 - 1； (x- 1) (x2+x+1) =x3- 1 ； (x- 1) (x3+x2+x+1) =x4- 1 (1) 根据上面各式的规律得：(x- 1) (xm-1+xm-2+xm-3+x+1) = ；(其中n为正整数)；(2) 根据这一规律，计算 1+2+22+23+24+268+269的值.17.先观察下面的解题过程，然后解答问题：
4、题目：化简(2+1) (22+1) ( 24+1).解：(2+1) (22+1) ( 24+1) = (2 - 1) (2+1) (22+1) (24+1) = (22 - 1) ( 22+1) (24+1) = (24 - 1) (24+1) =28 - 1 .18.门讨）肖吟）（吟）（1+盘）问题：化简(3+1) (32+1) ( 34+1) ( 38+1)-( 364+1).19. （2012?黄冈）已知实数 x满足x丄=3，则x2丄的值为 20. （2007?天水）若a2 - 2a+仁0.求代数式 /+丄的值.21. （2009?佛山）阅读材料：把形如 ax2+bx+c的二次三项式（或
5、其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法.配 方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即 a22ab+b2= （a b） 2.例如：（x- 1） 2+3、（x- 2） 2+2x、（*x-2） 2疔x2是x2 - 2x+4的三种不同形式的配方（即余项”分别是常数项、 一次项、二次项-见横线上的部分）请根据阅读材料解决下列问题：（1） 比照上面的例子，写出 x2- 4x+2三种不同形式的配方；（2） 将a2+ab+b2配方（至少两种形式）;（3） 已知 a2+b2+c2 - ab - 3b - 2c+4=0,求 a+b+c 的值.22. (2004?太原)已知实数 a、b 满足(a+b) 2=1, (
6、a- b) 2=25,求 a2+b2+ab 的值.2 +，223. (2001?宁夏)设 a- b=- 2，求 一的值.24.已知(x+y) 2=49, (x- y) 2=1，求下列各式的值：(1)x2+y2; (2) xy.25.已知x+丄=4,求x 的值.26.已知：x+y=3, xy=2，求 x2+y2 的值.27.已知 a+b=3, ab=2,求 a2+b2, (a- b) 2 的值.28 .若 x+y=2,且(x+2) (y+2) =5,求 x2+xy+y2 的值.29 -宀 11x+1=0，求 x2+；的值30.(1)求下列各式的值:平方差完全平方公式参考答案与试题解析一.选择题（
7、共1小题）1 . （1999?烟台）下列代数式2x2+x- 2,齢21? F3 2 _ n卩十卩，其中整式有3 2VA. 1个B. 2个C. 3个D. 4个考点： 整式.分析： 解决本题关键是搞清整式的 概念，紧扣概念 作出判断.解答： 解：整式有X2+x-2竺共22八个. 故选B.点评： 主要考查了整式的有关概 念.要能准确的 分清什么是整 式.整式是有理 式的一部分，在 有理式中可以 包含加，减，乘， 除四种运算，但 在整式中除式 不能含有字 母.单项式和多 项式统称为整 式.单项式是字 母和数的乘积， 只有乘法，没有 加减法.多项式 是若干个单项 式的和，有加减 法.二.填空题（共3小题
8、）2. （2011?湛江）多项式2x2- 3x+5是 二次三 项式.考点： 多项式.专题： 计算题.分析： 根据单项式的系数和次数的 定义，多项式的 定义求解.解答：解：由题意可 知，多项式2x2-3x+5是二次三项式.故答案为：二，点评：本题主要考查 多项式的定义， 解答此次题的 关键是熟知以 下概念： 多项式中的每 个单项式叫做 多项式的项； 多项式中不含 字母的项叫常 数项； 多项式里次数 最高项的次数， 叫做这个多项 式的次数.3. （2010?毕节地区）写出含有字母 x, y的四次单项式 科 （答案不唯一，只要写出一个）考点：单项式.专题：开放型.分析：单项式的次数 是指单项式屮 所
9、有字母因数 的指数和 x3y, x2y2, xy3等都是 四次单项式.解答：解：根据四次单 项式的定义， x2y2, x3y, xy3 等都符合题意（答案不唯A点评：）.考查了单项式 的次数的概 念.只要两个字 母的指数的和 等于4的单项式 都符合要求.4.（2004?南平）把多项式 2x2-3X+X3按x的降幕排列是 xZx2 3x考点：多项式分析：按照 x 的次数从 大到小排列即 可解答：解：按x的降幕排列是 x3+2x23x点评：主要考查降幂 排列的定义， 就 是按照x的次数 从大到小的顺 序排列， 操作时 注意带着每一 项前面的符号三解答题(共 26 小题)5计算：(1)(x y) (
10、x+y) (x2+y2)(2)(a 2b+c) ( a+2b- c)考点：平方差公式； 完 全平方公式分析：(1) (xy)与(x+y)结合， 可运用平方差 公式， 其结果再 与(x2+y2)相结 合，再次利用平 方差公式计算；( 2 )先运用平 方差公式， 再应 用完全平方公 式解答：解：( 1 )( x y)( x+y)( x2+y2)， =( x2 y2)( x2+y2)，=x4 y4；( 2)( a 2b+c) ( a+2b c)，=a2( 2b c)2， =a2 4b2+4bc c2点评：本题主要考查 了平方差公式 与完全平方公 式，熟记公式是 解题的关键平方差公式：(a+b) (a
11、- b) =a2- b2.完全平 方公式：(a b) 2=a2 2ab+b2.6 计算：1232 - 124 X 122 .考点：平方差公式.分析：先把 124 X 122 写成(123+1)X(123- 1), 利用平方差公 式计算，去掉括 号后再合并即 可.解答：解：1232 - 124X 122,=1232-(123+1) (123-1),=1232-( 1232 -12),=1.点评：本题考查平方 差公式的实际 运用，构造成平 方差公式的结 构形式是解题 的关键.7 计算：200420042- 2005X2003考点：平方差公式.分析：观察可得：2005=2004+1 ,2003=20
12、04 - 1, 将其写成平方 差公式代入原 式计算可得答 案.解答：解：2004 12004 2 - 2005 X 2003200420042 - (2004+13 X (2004-1)20042004 2 - 2004 2+1=2004.点评：本题考查平方 差公式的实际 运用，注意要构 造成公式的结 构形式，利用公 式达到简化运 算的目的.8. (x- 2y+z)(-x+2y+z).考点：平方差公式.专题：计算题.分析：把原式化为Z+(x- 2y) z -(x-2y)，再 运用平方差公 式计算.解答：解：(x- 2y+z) (-x+2y+z), =Z+ (x-2y) z -(x- 2y),
13、=- ( x-2y )2, =-( x2- 4xy+4y ), =z2 - Y+4xy - 4y2.点评：本题考查了平 方差公式，整体 思想的利用是 利用公式的关 键，注意运用公 式计算会减少 运算量.9 运用乘法公式计算.(1)(x+y) 2-(x-y) 2;(2)(x+y- 2) (x- y+2);(3)x；(4).考点：平方差公式专题 ：计算题分析：(1) (x+y) 2 -(x-y) 2可以利用平方差公 式进行计算；( 2)( x+y- 2 )(x- y+2)转化 成 x+( y- 2) x -( y- 2) 的形 式，利用平方差 公式以及完全 平方公式进行 计算；(3 )x可以转 化
14、成( 80-)( 80+)的形式， 利用平方差公 式计算；(4)可以转化 为( 20-) 2 进 行简便计算解答：解：(1) (x+y)2-( x- y) 2=( x+y+x- y)( x+y- x+y)，=4xy；(2)( x+y- 2)(x- y+2)，=x+( y- 2) x -( y- 2) ， =x2- y2+4y- 4；(3 )x, =(80-)(80+)，=；( 4) =( 20-)2=400 - 2 X 20X + ,点评：本题主要考查 平方差公式和 完全平方公式 的运用， 利用完 全平方公式以 及平方差公式可以使计算更 加简便.10 .化简：(m+n- 2)(m+n+2).考
15、点：平方差公式.分析：把(m+n)看作 整体，m+n是相 同的项， 互为相 反项是- 2 与 2， 然后利用平方 差公式和完全 平方公式计算 即可.解答：解：( m+n- 2)( m+n+2 )，=( m+n) 2- 22，22=m +n +2mn- 4.点评：本题主要考查 了平方差公式 的应用. 运用平 方差公式 ( a+b)( a - b) =a2- b2 计算时， 关键 要找相同项和 相反项， 其结果 是相同项的平 方减去相反项 的平方.11. (x - 2y - m) (x 2y+m)考点：平方差公式.专题 ：计算题.分析：把 x- 2y 当成一 个整体， 利用两 数的和乘以这 两数的
16、差， 等于 它们的平方差 计算即可.解答：解：( x- 2y- m )(x- 2y+m)，=( x- 2y) 2- m2，=x2- 4xy+4y2 - m2 .点评：本题主要考查 了平方差公式，整体思想的利用比较关键12计算(1)(a b+c d) (c a - d - b);(2) (x+2y) (x 2y) (x4 8x2/+l6y4) 考点：平方差公式专题 ：计算题分析：根据平方差公 式以及完全平 方公式即可解 答本题解答：解：( 1 )原式 =( cb d) +a( cb d) a =( c b d) 2a2 =c2+b2+d2+2bd2bc 2cd a2，(2 )T x4 8x2y2
17、+16y4=( x24y2 ) 2原式=(x2 4y2)( x2 4y2) 2=( x2 4y2) 3=( x2) 3 3( x2) 2( 4y2) +3x2?(4y2) 2( 4y2)3=x6 12x4y2+48x2y464y6点评：本题考查了平 方差公式以及 完全平方公式 的运用， 难度适 中13 计算：20082 20072+20062 20052+22 12.考点：平方差公式分析：分组使用平方 差公式， 再利用 自然数求和公 式解题解答：解：原式 =( 2008220072)+(20062-20052) + +(22 - 12),=( 2008+2007 )( 2008 - 2007)
18、 +( 2006+2005)点评：( 2006- 2005) +(2+1)(2- 1)， =2008+2007+20 06+2005+ +2+1， =2017036 本题考查了平 方差公式的运 用，注意分组后 两数的差都为1 ，所有两数的 和组成自然数 求和14利用乘法公式计算： ( a- 3b+2c) (a+3b- 2c) 472 - 94 X 27+272.考点：平方差公式； 完 全平方公式.分析：可用平方差 公式计算： 找出 符号相同的项 和不同的项， 结 合再按公式解 答，把 94 写成 2X 47 后，可用完 全平方公式计 算.解答：解：原式=a -( 3b- 2c)a+ ( 3b
19、- 2c) =a2 -( 3b- 2c) 2=9b2+12bc- 4c2；原式 =472- 2X 47X 27+272= (47- 27)2=400.点评：本题考查了平 方差公式， 完全 平方公式， 熟记公式是解题的 关键.1把(3b - 2c) 看作一个整体 是运用平方差 公式的关键；2把94写成2X 47是利用完 全平方公式的 关键.15.已知：x2 - y2=20, x+y=4,求 x - y 的值. _5考点：平方差公式.分析：本题是平方差 公式的应用.解答：解：a2 - b2=(a+b) (a- b), x2- y2= (x+y) ( x -y) =20 把x+y=4代入求 得 x-
20、 y=5.点评：运用平方差公 式计算时，关键 要找相同项和 相反项，其结果 是相同项的平 方减去相反项 的平方.把 x+y=4代入求得 x- y的值，为5.16.观察下列各式：(x- 1) (x+1) =x2 - 1； (x- 1) (x2+x+1) =x3- 1 ； (x- 1) (x3+x2+x+1) =x4- 1 (1) 根据上面各式的规律得： (x- 1) (xm-1+xm-2+xm-3+x+1) = xm- 1 ；(其中n为正整数)；(2) 根据这一规律，计算 1+2+22+23+24+268+269的值.考点：平方差公式.分析：(1 )认真观察 各式，等式右边 x的指数比左边 x的
21、最高指数大 1,利用此规律 求解填空；(2 )先根据上 面的式子可得：1+x+x2+x3+ +x= (xn+1 - 1 ) + ( x- 1 ),从而得出1+2+22+268+269= (?69+1-1) r2-1), 再进行计算即 可.解答：解：(1) ( x- 1 )(xm-1+xm-2+xm- 3+x2+x+1) =xm -1;(2 )根据上面 的式子可得：2 31+x+x +x + +宀(xn+1 - 1 ) 十(X- 1 ), 1+2+22+268+269= (269+1-1)-( 2 - 1)=270- 1 .点评：本题考查了平 方差公式，认真 观察各式，根据 指数的变化情 况总结
22、规律是 解题的关键.17.先观察下面的解题过程，然后解答问题：题目化简(2+1) (22+1) ( 24+1).解：(2+1) (22+1) ( 24+1) = (2 - 1) (2+1) (22+1) (24+1) = (22 - 1) ( 22+1) (24+1) = (24 - 1) (24+1) =28 - 1 . 问题：化简(3+1) (32+1) ( 34+1) ( 38+1)(364+1).考点：平方差公式.分析：根据题意，整式 的第一个因式 可以根据平方 差公式进行化 简，然后再和后 面的因式进行 运算.解答：解：原式J (3-1) (3+1)(32+1) (34+1)(38+
23、1)(364+1), (4分)丄(32 - 1)(32+1)(34+1)(38+1)(364+1),丄(34 - 1)1(34+1) (38+1)(364+1),丄(38 - 1)1(38+1)(364+1),二(364 - 1 )(364+1), (8分)=1 (3128-=(3点评:1). ( 10 分) 本题主要考查 了平方差公式， 关键在于把(3+1)化简为(3 - 1) (3+1)考点： 专题： 分析：平方差公式.计算题.由平方差公式，（1+2）（ 1 -丄）2=1 2寺（1-解答:丄22-,依此类推，从而得出结 果.解：原式=（1 - 丄22(1 +)(1=1的形式，考点：完全平方
24、公式.专题：计算题.分析：将x+=3两边平方,然后移项即可得出答案.解答：解：由题意得，1 ox+=3,两边平方得：+2+ ：=9,19 . （2012?黄冈）已知实数 x满足二=3,则x2+ 的值为 7故 x2+ =7.X故答案为：7.点评： 此题考查了完全平方公式的知识，掌握完全平方公式的展 开式的形式是 解答此题的关 键，属于基础 题.20 . （2007?天水）若a2 - 2a+仁0.求代数式 /+岂的值考点：完全平方公式.分析：根据完全平方 公式先求出a的 值，再代入求出 代数式的值.解答：解：由a2-2a+1=0 得（a -1） 2=0, a=1;把a=1代入a4+=1+1=2故答
25、案为：2.点评：本题考查了完 全平方公式，灵 活运用完全平方公式先求出a 的值，是解决本 题的关键.21. （2009?佛山）阅读材料：把形如 ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法.配 方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即 a22ab+b2=（a b） 2.例如：（x- 1） 2+3、（x-2） 2+2x、（丄x-2） 2芒x2是x2- 2x+4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、 2 4一次项、二次项-见横线上的部分）请根据阅读材料解决下列问题：（1） 比照上面的例子，写出 x2- 4x+2三种不同形式的配方；（2） 将a2+ab+b2配方（至
26、少两种形式）;（3） 已知 a2+b2+c2- ab - 3b - 2c+4=0,求 a+b+c 的值.考点：完全平方公式.专题：阅读型.分析：（1） （2）本题考查对完全平方公式的灵活 应用能力，由题 中所给的已知 材料可得x2-4x+2 和a2+ab+b2 的配方也可分别常 数项、一次项、 二次项三种不 同形式；(3 )通过配方后，求得a，b， c的值，再代入 代数式求值.解答： 解：(1)X2- 4x+2的三种配方分 别为：x2 - 4x+2= (x -2) 2- 2,X2 - 4x+2=(x+ . ：) 2(2, f+4) x,x2- 4x+2= C Zx-:：)2 -x2;(2)a2
27、+ab+b2=(a+b) 2 - ab,2 2a +ab+b =(F r(3)a2+b2+c2-ab - 3b -2c+4,=(a2 - ab+丄b2)( 4+ (上b2- 3b+3)+ (c2- 2c+1),+ (c2- 2c+1),=(a-亍b)2(b-2) 2+ (c- 1)2=0,从而有a-=b=0, b - 2=0,c- 1=0,即 a=1, b=2, c=1,a+b+c=4.点评：本题考查了根据完全平方公式：a2 2ab+b2=(a b) 2进行 配方的能力.22. (2004?太原)已知实数 a、b 满足(a+b) 2=1, (a- b) 2=25,求 a2+b2+ab 的值.考
28、点：完全平方公式.分析：先由已知条件 展开完全平方 式求出ab的值， 再将 a2+b2+ab 转化为完全平 方式(a+b) 2和 ab的形式，即可 求值.解答：解：( a+b)2=1, ( a- b)2=25,.a2+b2+2ab=1 , a2+b2 - 2ab=25.4ab= - 24,ab= - 6, .a2+b2+ab=(a+b) 2 - ab=1 -(-6) =7.点评：本题考查了完 全平方公式，利 用完全平方公 式展开后建立 方程组，再整体 代入求解.23. (2001?宁夏)设a- b=- 2，求* 严 -命 的值.考点：完全平方公式.分析：对所求式子通 分，然后根据完 全平方公式把 分子整理成平 方的形式，把a -b= - 2代入计 算即可.解答：解：原式/ + b2 - 2ab=2 G-b):1 2/ a - b_- 2 ,原式_(-22_
