1、复旦大学高等数学下册答案复旦大学高等数学下册答案【篇一：高等数学复旦大学出版社习题答案五】曲线所围图形的面积： （1） y=1 2 2 与x2+y2=8(两部分都要计算)； 解：如图d1=d2 ?y=1?22 解方程组得 交点a(2，2)x2+y2=8 (1) 2 d+d4 , d44 （2） y=1 x y=x及x=2； 22 解： d1=?x?1dx=?1x2?lnx?=3?ln2. 1?x?2?12 (2) （3） y=ex，y=e?x与直线x=1； 解：d=?1 ?ex?e?x)dx=e+10(e2 (3) （4） y=lnx，y轴与直线y=lna，y=lnb(ba0)； 解：d=?l
2、nb ?ylnaedy=b?a (4) 1 116（5） 抛物线y=x和y=?x?2； ?y=x解：解方程组?得交点 (1，1)，(?1，1) ?y=?x2?2 2 22 d=? 1 2 (?x2+2?x2)dx=4?(?x+1)dx=?0?1 1 8 3 44 4 ? 解：d=2?(sinx?cosx)dx =2?cosx?sinx?4=4 ?4 4 5? 5? (6) （7） 抛物线y=?x2+4x?3及其在(0，?3)和(3，0)处的切线； 解：y=?2x+4 y(0)=4，y(3)=?2 抛物线在点(0，?3)处切线方程是y=4x?3 在(3，0)处的切线是y=?2x+6 3 两切线交
3、点是(3)故所求面积为 2 (7) 3 d? ? 203 ?4x?3?x2?4x?3?dx?xdx? 2 ? 332 ?2x?6?x2?4x?3?dx ? ? 20 ?x 32 3 2 ?6x?9?dx 94 . （8） 摆线x=a(t?sint)，y=a(1?cost)的一拱 (0?t?2?)与x轴； 解：当t=0时，x=0, 当t=2?时，x=2?a 所以 117s? ? ? a?1?cost?da?t?sint? ?a 2 ?1?cost? 2 0dt . (8) 2 ? 解：d=3da12?3sin2 ? 2 = ?3 0 2 =?a 4 ? 解：d=2d22 1=2?22 0? =4
4、a2 ? ?2 0 =4a212? 2 ?a2 (10) (11) 118 2 26 3 (12) 21 2?02 ? ? 6 ? ? ? ?4? 6 2 ? = 6 92 3 已知曲线f(x)=x?x与g(x)=ax围成的图形面积等于a 2 ?f(x)=x?x2 解：如图13，解方程组?得交点坐标为(0，0)，(1?a，a(1?a) ?g(x)=ax 2 d=?0(x?x?ax)dx 1?a ?230=1 1?a)3 6 19(1?a)3= 62得a=?2 1?a 依题意得 (13) 4 设有一截锥体，其高为h，上、下底均为椭圆，椭圆的轴长分别为2a，2b和2a，2b，求这截锥体的体积。 解
5、：如图16建立直角坐标系，则图中点e，d的坐标分别为：e(a，h)， d(a，0)，于是得到ed所在的直线方程为：y= h (x?a) a?a 119(16) 对于任意的y0，h，过点(0，y)且垂直于y轴的平面截该立体为一椭圆，且该椭圆的半轴为： x1=a? a?ab?b y，同理可得该椭圆的另一半轴为： x2=b?y hh 故该椭圆面积为 a(y)=?x1x2=?a? a?a?b?b? b? h?h? 从而立体的体积为 ?a?a?ay?b?b?by?dy v=?0a(y)dy=?h?h?0? h h 1 =hba+ab+2(ab+ab) . 6 5. 计算底面是半径为r的圆，而垂直于底面一
6、固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积.见图17. (17) 解：以底面上的固定直径所在直线为x轴，过该直径的中点且垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则底面圆周的方程为：x2+y2=r2 过区间?r，r上任意一点x，且垂直于x轴的平面截立体的截面为一等边三角形，若设与x对应的圆周上的点为(x，y)，则该等边三角形的边长为2y，故其面积等于 (2y)2=y2=(r2?x2) (?rx?r) 4 从而该立体的体积为 a(x)= r 22?v=?a(x)dx=?3(r?x)dx ?rr r 43 3 6. 求下列旋转体的体积： = （1） 由y=x2与y2=x3围成的平面图形绕x轴旋转
7、； ?y=x解： 求两曲线交点?得(0，0)，(1，1) ?y2=x3 34 v=?0(x?x)dx 1 2 11 =?x4?x5? 45?0 = ? （14） 20 1 （2）由y=x3，x=2，y=0所围图形分别绕x轴及y轴旋转； 120【篇二：高等数学复旦大学出版社习题答案一】数是否相等,为什么? (1)f(x)?(3)f(x)? g(x)?x; (2)y?sin(3x?1),u?sin(3t?1);x?1x?1 22 2 ,g(x)?x?1. 解: (1)相等. 因为两函数的定义域相同,都是实数集r;由两函数相等. (2)相等. 因为两函数的定义域相同,都是实数集r,由已知函数关系式显
8、然可得两函数的对应法则也相同,所以两函数相等. (3)不相等. 因为函数f(x)的定义域是xx?r,x?1,而函数g(x)的定义域是实数集r,两函数的定义域不同,所以两函数不相等. 2. 求下列函数的定义域(1)y?(3)y? arctanxx?1 2 ?x知两函数的对应法则也相同;所以 1x ; (2)y?1lg(1?x) ; ; (4)y?arccos(2sinx). 解: (1)要使函数有意义,必须 ?4?x?0?x?4 即 ? ? x?0x?0? 所以函数的定义域是(?,0)?(0,4. (2)要使函数有意义,必须 ?x?3?0 ? ?lg(1?x)?0 即 ?1?x?0? ?x?3?
9、 ?x?0 ?x?1? 所以函数的定义域是-3,0)(0,1). (3)要使函数有意义,必须 2 x?1?0 即 x?1 所以函数的定义域是(?,?1)?(?1,1)?(1,?). (4)要使函数有意义,必须?1?2sinx?1 即 ? 12 ?sinx? 12 即? 所以函数的定义域是? 1?sin,? 3. 求函数y?x ?0,? x?0x?0 的定义域与值域. 解: 由已知显然有函数的定义域为(-,+),又当x?0时,时,sin 1x 1x 可以是不为零的任意实数,此 可以取遍-1,1上所有的值,所以函数的值域为-1,1. 1?x1?x 4. 没f(x)?,求f(0),f(?x),f()
10、. x 1 解: f(0)? 1?01?0 ?1,f(?x)? 1?(?x)1?(?x) ? 1?x 1,f()? x1?x ?x?1. 1x?11? x 1? 1 5.设f(x)? ?1,?x?1, ?1?x?00?x?2 ,求f(x?1). ?1, 解: f(x?1)? ?(x?1)?1, x ?1?x?1?00?x?1?2 1,0?x?1? ?. x,1?x?3? 6. 设f(x)?2,g(x)?xlnx,求f(g(x),g(f(x),f(f(x)和g(g(x). 解: f(g(x)?2 g(x) ?2 xlnx , x x x g(f(x)?f(x)lnf(x)?2?ln2?(xln2
11、)?2, f(f(x)?2 f(x) ?2, 2 x g(g(x)?g(x)lng(x)?xlnxln(xlnx). 3 7. 证明:f(x)?2x?1和g(x)? . 3 证:由y?2x?1解得x?故函数f(x)?2x3?1的反函数是y? x?r),这与g(x)? 是同一个函 数,所以f(x)?2x3?1和g(x)? . 8. 求下列函数的反函数及其定义域: (1)y? 1?x1?x 2x?5 3 (3)y?3 解: (1)由y? 1?x1?x 解得x? 1?y1?y , 1?x1?x 所以函数y? 1?x1?x 的反函数为y?(x?1). (2)由y?ln(x?2)?1得x?ey?1?2,
12、 所以,函数y?ln(x?2)?1的反函数为y?ex?1?2 (x?r). (3)由y?32x?5解得x? 12 (log3y?5) 12 (log3x?5) (x?0). 所以,函数y?32x?5的反函数为y? (4)由y?1?cos3x得cosx?故x?arccos. 3 又由?1?cosx?1得0?1?cosx?2,数为y?arccos 3 (0?x?2). 9. 判断下列函数在定义域内的有界性及单调性: (1)y? x1?x 2 ; (2)y?x?lnx x1?x 2 解: (1)函数的定义域为(-,+), 当x?0时,有故?x?(?,?),有y?又因为函数y? x1?x 2 ?0,当
13、x?0时,有 x1?x 2 ? x2x ? 12 , 12 .即函数y? x1?x 2 有上界. 为奇函数,所以函数的图形关于原点对称,由对称性及函数有上界知,函 x1?x 2 数必有下界,因而函数y?有界.又由y1?y2? x11?x 21 ? x21?x 22 ? (x1?x2)(1?x1x2)(1?x)(1?x) 21 22 知,当x1?x2且x1x2?1时,y1?y2,而 当x1?x2且x1x2?1时,y1?y2. 故函数y? x1?x 2 在定义域内不单调. (2)函数的定义域为(0,+), ?m?0,?x1?0且x1?m;?x2?e m ?0,使lnx2?m. 取x0?maxx1,
14、x2,则有x0?lnx0?x1?lnx2?2m?m, 所以函数y?x?lnx在定义域内是无界的. 又当0?x1?x2时,有x1?x2?0,lnx1?lnx2?0 故y1?y2?(x1?lnx1)?(x2?lnx2)?(x1?x2)?(lnx1?lnx2)?0. 即当0?x1?x2时,恒有y1?y2,所以函数y?x?lnx在(0,?)内单调递增. 10. 判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)? (2)y?e 2x ?e ?2x ?sinx. 解: (1)? f(?x)? ?f(x)? ? ? ?2x ?f(x) . 2x (2)?f(?x)?e ?函数y?e ?e?sin(?x)?e ?2x ?
15、e 2x ?sinx?(e 2x ?e ?2x ?sinx)?f(x) 2x ?e ?2x ?sinx是奇函数. 11. 设f(x)定义在(-,+)上,证明: (1) f(x)?f(?x)为偶函数; (2)f(x)?f(?x)为奇函数. 证: (1)设f(x)?f(x)?f(?x),则?x?(?,?), 有f(?x)?f(?x)?f(x)?f(x) 故f(x)?f(?x)为偶函数. (2)设g(x)?f(x)?f(?x),则?x?(?,?), 有g(?x)?f(?x)?f(?x)?f(x)?f(?x)?g(x)故f(x)?f(?x)为奇函数. 12. 某厂生产某种产品,年销售量为106件,每批
16、生产需要准备费103元,而每件的年库存费为0.05元,如果销售是均匀的,求准备费与库存费之和的总费用与年销售批数之间的函数(销售均匀是指商品库存数为批量的一半). 解: 设年销售批数为x, 则准备费为10x; 又每批有产品 10x 6 3 件,库存数为 10 6 2x 件,库存费为 10 6 2x ?0.05元. 设总费用为,则y?10x? 3 10?0.05 2x 6 . 13. 邮局规定国内的平信,每20g付邮资0.80元,不足20 g按20 g计算,信件重量不得超过2kg,试确定邮资y与重量x的关系. 解: 当x能被20整除,即 x20? x20x20 时,邮资y? x20 x20 ?0
17、.80? x25 ; 当x不能被20整除时,即?时,由题意知邮资y? ?x? ?0.80. ?1?20? ?x ?25,? 综上所述有y? ?x?1?0.80,?20 0?x?2000且0?x?2000且 x?x? ?;?20?20?x?x? ?.?20?20 其中 xx?x?x? ?1的最大整数. ,分别表示不超过,?1?2020?20?20?. 图1-1 解: s0? 12 h(ad?bc)? 12 h(2hcot?bc?bc)?h(bc?hcot?) 从而 bc? s0h ?hcot?. l?ab?bc?cd (ab?cd)?2 hsin? ?bc?2 hsin?s0h ?s0h ?hcot? ? ? s0h 2?cos?sin? h? 2?cos40sin40 ? h【篇三：复旦大学出版社_高等数学上_第四版_答案】 第四章，一元函数积分学， 习题 第四小题，利用换元法，求下列不定积分。案 东风冷雪 有些换元我省略了，因为多此一举，自己体会。 本答案，只是为了赚点经验，如果喜欢，给好评， 那么我将继续提供。1 / 10 （4） 2 / 10 （8） 3 / 10 4 / 10 5 / 10
