1、圆锥曲线知识点+例题+练习含答案整理讲解学习圆锥曲线一、椭圆：(1 )椭圆的定义：平面内与两个定点 Fi,F2的距离的和等于常数(大于 厅芾2| L 的点的轨迹。其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。注意：2a 时2|表示椭圆；2a 4F1F2 |表示线段F1 F2 ； 2a ：:| F1F2 |没有轨迹；(2)椭圆的标准方程、图象及几何性质:中心在原点，焦点在x轴上中心在原点，焦点在y轴上标准方程2 2冷+答=1(ab0)a b2 2爲心=1(ab:0)a b图形bxPA-kyA 2XIO A2xB1O B1F顶点A (-a，0), A2(a,0)B(0,b),B2(0,b)A
2、(-b,0),A2(b,0)B1(0,-a), B2 (0，a)对称轴x轴，y轴；短轴为2b，长轴为2a焦 占八、 八、R(-c,0), F2(c,0)F1(0-c), F2(0,c)焦距| RF2 |=2c(c 0) c2=a2b2离心率e=c(0cec1)(离心率越大，椭圆越扁)a通径空 (过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段)a精品资料(1)双曲线的定义：平面内与两个定点 F, F2的距离的差的绝对值等于常数(小于 | F,F2 |) 的点的轨迹。其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。注意：PFi- PF2 2a 与 | PF? | - | PFi = 2a ( 2
3、a ：| 叭 |)表示双曲线的一支。2a = F” 表示两条射线；2a 证没有轨迹;(2)双曲线的标准方程、图象及几何性质:中心在原点，焦点在x轴上中心在原点，焦点在y轴上标准方程2 x2 a2”(a Ob .O)A (-a,0), A2 (a,0)2 2y x2 2 - 1(a 0, b 0)对称轴X轴，y轴；虚轴为2b，实轴为2a焦 占八、 八、Fi(-c,0),F2(c,0)F1 (0, -c), F2(0, c)222F1F2H2c(c .0) c 二 a b离心率渐近线e=c(e 1) a.by xa(离心率越大，开口越大)2 b2a(3)双曲线的渐近线：求双曲线x2工“的渐近线，可
4、令其右边的1为0,即得工=0，因式分解得到A _X =0。a2 b2 a? a b2 2 22与双曲线汁汁1共渐近线的双曲线系方程是汁育.;(4)等轴双曲线为x2 - y2 =t2，其离心率为 2(4)常用结论：2 2(1)双曲线x2 y2 =1(a 0,b 0)的两个焦点为F1, F2，过F1的直线交双曲线a b的同一支于 代B两点，则：ABF2的周长=2 2(2)设双曲线 笃一爲=i(a 0,b 0)左、右两个焦点为FiE，过Fi且垂直于对称轴的 a b直线交双曲线于P,Q两点，则P,Q的坐标分别是|PQ卜三、抛物线:(1) 抛物线的定义：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的
5、轨迹。其中：定点为抛物线的焦点，定直线叫做准线(2)抛物线的标准方程、图象及几何性质:焦点在x轴上,焦点在x轴上,焦点在y轴上,焦点在y轴上,开口向右开口向左开口向上开口向下标准对称轴= 2pyyPyFO0(0,0)2 x2 =_2px焦 占八、 八、,0)F，0)pF(,专)“诗)离心率pyp2p焦半径|PF |十0 |PF冃小电焦点弦焦准距四、弦长公式:| AB|= 1 k2 |xi -X2(Xi X2)2 -4XiX2 2 Y 也=1k|A|其中，代也分别是联立直线方程和圆锥曲线方程，消去y后所得关于x的一元二次方程的判别式和X2的系数求弦长步骤：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2
6、）联立两方程，消去y,得关B于x的一元二次方程Ax2 Bx C =0,设A（Xi,yi），B（X22），由韦达定理求出 x?=ACx1x ；（ 3）代入弦长公式计算。A法（二）若是联立两方程，消去x,得关于y的一元二次方程Ay2 By C = 0,则相应的弦长公式是:IAB1= ”1 十（+）2 Iyi _y21= ”1 + G）2 J（yi+y2）24yy =卜Q2 岳注意（1）上面用到了关系式I X1 - X2 I二（X1 X2）2 - 4X1X2 二-| 和1 A 12% 二（ y2）-4y2I A|注意（2）求与弦长有关的三角形面积，往往先求弦长，再求这边上的高（点到直线的 距离），但
7、若三角形被过顶点的一条线段分成两个三角形，且线段的长度为定值，求面积一 般用分割法五、弦的中点坐标的求法法（一）：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去y,得关于xB的一元二次方程Ax2 Bx = 0,设A（X1,yJ，B（X2,y2），由韦达定理求出X1 X2 ；（3）A设中点M（xo，yo），由中点坐标公式得空；再把x = x 0代入直线方程求出y = yo。2法（二）：用点差法，设 A（x1，y1）， B（X2, y2），中点M （xo, yo），由点在曲线上，线段的中点坐标公式，过A、B两点斜率公式，列出5个方程，通过相减，代入等变形，求出Xo, yo。六、求离心率
8、的常用方法：法一，分别求出 a,c，再代入公式法二、建立a,b,c满足的关系，消去b,再化为关于e的方程，最后解方程求e （求e时, 要注意椭圆离心率取值范围是 0 e 1）例1:设点P是圆x2 y4上的任一点，定点 D的坐标为（8，0），若点M满足T TPM =2MD 当点P在圆上运动时，求点 M的轨迹方程.T T解设点M的坐标为x,y，点P的坐标为xo,yo，由PM =2MD，得 x -x0, y -y0 = 2 8 - x, -y，即 x = 3x -16 , y = 3y .因为点 P（x0, y0 ）在圆 x2 +y2 =4上，所以 x +y02 =4 .即（3x_16（ +（3y
9、）=4 ,2 即ix-16 j y2 ，这就是动点M的轨迹方程.i 3丿 丫 9例2:已知椭圆的两个焦点为（-2, 0）,（ 2,0）且过点（5,-?），求椭圆的标准方程2 22 2 解法1因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为 笃爲=1（a b 0）, a b由椭圆的定义可知：2a二5 -、2（2+2）+（ _ 2 _o）+ （亍 _2）+（3一0)2*=a2 -c2 =6所以所求的标准方程为2 2x y 110 6解法 2 7 c = 2,. b2 = a2 _c2二a2 -4，所以可设所求的方程为2 2仔七，将点(|-|)a a - 4 2 22 2代人解得：a10 所以所求的标准
10、方程为 - =110 6例3 -I上有一恵化 它到带冏的左虫点近的距离为気 求XPFR眄而取. 100 36 絡 由椭阅钓定义，PF-PF: |= 2a = 2O t所以|P=12.2x|Pf；仪|F%| 2x8x12sinZF.PE - . JMS/f总二丄xSxI2x- 12JiTFiyz民例 4一 - -设血春”几AB的中点Mhyh则尸且灯+卯=弘 4.t/ + 9才-36 .-得 4(1 - x, X-v - )+ 9( j - ” + y,) - 0.y-Si _ 4空+如 4,y y* * - 乂Xj - x2 9(jj + 冏) i-即斫求射软逊方樫为4-r- 9j- =高二圆锥
11、曲线练习题1 b0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若a bN F1 PF2 =60，则椭圆的离心率为（ ）A.辽 B . 3 C . 1 D . 12 3 2 310、 “ m . n . 0 ”是“方程mx2 ny2 =1 ”表示焦点在y轴上的椭圆的 （）（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充要条件 （D） 既不充分也不必要条件11、 写出满足下列条件的椭圆的标准方程：（1）长轴与短轴的和为18，焦距为6; . 焦点坐标为（=3,0）, （.3,0）,并且经过点（2，1）;.（3）椭圆的两个顶点坐标分别为（-3,0） , （3,0）,且短轴是长轴的1 ；
12、3离心率为仝，经过点（2，0）;22 212、 与椭圆 y 1有相同的焦点，且短轴长为2的椭圆方程是： 9 413、 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F2在x轴上，离心率为辽.过2F1的直线I交C于代B两点，且 ABF2的周长为16,那么C的方程为： 2 214、 已知 F2为椭圆1 1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若25 9 1F2A|+|F2B =12，贝U AB = .2 215、 已知F1、F2是椭圆C:笃-=1（ a b 0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且PR _ PF?，a b若厶PF1F2的面积是9,则b= .16、 求心在原点，焦点在坐标轴上，
13、且经过 P （ 4，- -3 ），Q （ 2.2,3 ）两点的椭圆方程。圆锥曲线练习题221抛物线y -10x的焦点到准线的距离是（ ）A . (7, _14) B . (14, _.帀)C . (7, _2.、14) d . (_7, _2.,14)2 23.以椭圆汁1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程(2 2x y A . 116 482 2x y B . 19 27C.2 2 2 2x_i_=1 或 乂一 z=116 48 9 27D .以上都不对4.以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆2y -2x 6y 0的圆心的抛物线的方程是 (A . y = 3x2 或 y-3x2c 2B .
14、y 二 3x2 2C . y 9x 或 y = 3xD . y 二-3x2 或 y2 = 9x5.若抛物线y2二x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点 P的坐标为(4，-B.(8-C. (4,4D. G6.椭圆2 2x y1上一点P与椭圆的两个焦点F2的连线互相垂直，则厶PF1F249 24的面积为(20 B. 22 C. 28 D . 247 .若点A的坐标为(3,2) , F是抛物线 y =2x的焦点，点在抛物线上移动时，使MF +|MA取得最小值的M的坐标为(A . 0,0 B .2,1 b 0)a b的左焦点Fi作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若Fi PF2= 60则椭
15、圆的离心率为A.10.“ m n 0 ”是“方程 mx2 ny=1 ”表示焦点在y轴上的椭圆的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(1)长轴与短轴的和为18,焦距为6; _)2 213 椭圆的两个顶点坐标分别为(-3,0) , (3,0),且短轴是长轴的1 ;3，_ 92x- y22 21或三丄=1;9 81离心率为空，经过点(2 , 0);22y2 = 1 或1 1 .4 16_ 2解析：将方程mx2 ny2 =1转化为 =1,根据椭圆的定义，要使焦点在y轴上必须满足1 1m n-0,1 0,所以 1 -,m n n m11、写出满足下列条件的
16、椭圆的标准方程:2 2 2 2x y x y .1或 1;25 16 16 25(2)焦点坐标为(-.3,0), (.3,0),并且经过点(2 , 1);2 2y2 = 112、与椭圆 y 1有相同的焦点，且短轴长为2的椭圆方程是:9 4213、在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F,”在X轴上，离心率为飞2F1的直线I交C于代B两点，且ABF2的周长为16,那么C的方程为：(話2 214、已知F1, F2为椭圆釘斜1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若精品资料F2A| +|F2B =12，则 AB =_82 215、已知Fi、F2是椭圆C:笃爲a b=1（ a b 0
17、）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且PF_ PF2 ,若厶PF1F2的面积是9，则b = 3 16、求心在原点，焦点在坐标轴上，且经过 P（ 4，- ,3 ），Q （ 2、一 2,3 ）两点的椭圆方 程。2 2解：设椭圆方程为 笃每，将P, Q两点坐标代入，解得a =20,=15a b2 2故-1为所求。20 15圆锥曲线练习题2i抛物线y -10x的焦点到准线的距离是（b ）5 厂 15 “A .一 B. 5 C. D. 102 222若抛物线y =8x上一点P到其焦点的距离为9，则点P的坐标为（ C ）。A. （7,初） B. （14, _、14） C . （7, _2、一 14） D. （
18、-7,_2、初）2 23.以椭圆 - 1的顶点为顶点，离心率为 2的双曲线方程（ C ）25 162 x2y=12 2x y A.B .116489 272222C .xy=1或x-1 1 D.以上都不对164892722.F1,F2是椭圆xy=1的两个焦点，A为椭圆上一点，且/ AF1F2二450，则 AF1F2的面积为97(C )7777.5A .BC . - D .4222 25以坐标轴为对称轴， 以原点为顶点且过圆 x y -2x 6y 0的圆心的抛物线的方程是 （D ）2 2C . y 二-9x 或 y = 3x2 2D. y 二-3x 或 y = 9x6.若抛物线y2 =x上一点P
19、到准线的距离等于它到顶点的距离，则点 P的坐标为（B ）A.(丄,一4C. (4,D.(冷8 42 2x y7.椭圆 1上一点P与椭圆的两个焦点 F1、F2的连线互相垂直，则厶PF1F2的面积为（ D ）49 24A. 20 B. 22 C.8 .若点A的坐标为（3,2）,28 D. 242F是抛物线y =2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使 MF| + | MA取得最小值的M的坐标为（D0,0 B.1,1；2丿1, 一2 D. 2,22x 29.与椭圆 y =1共焦点且过点4Q（2,1）的双曲线方程是（2 2X 2 , x 2a . y t B . y2 42 2=1 C . 13 322
20、y D. x 1210若椭圆x2 my2 = 1的离心率为上3，则它的长半轴长为21,或22 2120 511.双曲线的渐近线方程为 x_2y =0，焦距为10,这双曲线的方程为212抛物线y =6x的准线方程为 x =13.椭圆5x2 ky2 =5的一个焦点是（0,2），那么k =L14 椭圆丄t+f =1的离心率为丄，则k的值为_4,或- 5k+8 9 2 415.双曲线8kx2 ky2 =8的一个焦点为（0,3），则k的值为 -1 。216 若直线x-y=2与抛物线y =4x交于A、B两点，则线段 AB的中点坐标是 _（4, 2）17. k为何值时，直线y =kx 2和曲线2x2 3y2
21、 =6有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？y = kx 2 2 2 2 2解：由 2 2 ，得 2x2 3（kx 2）2 =6，即（2 3k2）x2 12kx 6=02x 3y =62 2 2-144k-24(2 3k2) =72k2 482.：=72k-48 .0,即弓时，直线和曲线有两个公共点;=7永2-4 8 二,0即至时，直线和曲线有一个公共点;3=7永2-4 8 : ,0即于”于时，直线和曲线没有公共点。18.在抛物线2y = 4x上求一点，使这点到直线 y =4x-5的距离最短。解：设点P(t,4t2)，距离为d , d二4t -4t2 -524t- 4t 51 1当t 时，d
22、取得最小值，此时 P(,1)为所求的点。2 22 2佃.双曲线与椭圆- y 1有相同焦点，且经过点 C.15, 4)，求其方程。27 362 2y x解：椭圆 1的焦点为(0, _3),c=3，设双曲线方程为 七 3=136 27 a 9 - a过点(、15,4)，则 % =1，得 a2 =4,或36，而 a2 9 ,a 9 a-a2 =4，双曲线方程为20.设F1,F2是双曲线9 16-1的两个焦点，点 P在双曲线上，且.斤卩卩2 = 600,求厶F1PF2的面积。2 22解：双曲线 x y 1 的 a=3,c=5,不妨设 PF1 PF2，则 PF|-PF2=2a=69 162 2 2 0F1F2 PF1 PF2 -2PF1 PF2 cos60，而 FrF2 =2c=10得 PF12 PF22 - PR PF2 =(PF P
