1、完整版高考圆锥曲线经典真题高考圆锥曲线经典真题知识整合：直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及地点关系的判断，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等 . 突出观察了数形联合、分类谈论、函数与方程、等价转变等数学思想方法，要求考生解析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“品位” ，有益于选拔的功能 .1. （江西卷 15）过抛物线 x22 py( p0) 的焦点 F 作倾角为 30o 的直线，与抛物线AF1分别交于 A 、 B 两点（ A 在 y 轴左边），则 FB 32 (2008 年安徽卷 ) 若过点A(4,0) 的直线 l 与曲线 (x 2
2、) 2y21 有公共点 , 则直线 l 的斜率的取值范围为( )A. 3,3 B.(3,3)3 ,3 (3 ,3 )C.33D.33x2y23(2008 年海南 -宁夏卷 ) 设双曲线 91的右极点为 A, 右焦点为 F, 过点 F16平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B, 则三角形 AFB 的面积为 -_.热门考点研究：考点一：直线与曲线交点问题例 1. 已知双曲线 C： 2x2y2=2 与点 P(1 ，2)(1)求过 P(1 ，2) 点的直线 l 的斜率取值范围，使 l 与 C分别有一个交点，两个交点，没有交点 .解： (1) 当直线 l 的斜率不存在时， l 的方程为 x=1,
3、与曲线 C 有一个交点 . 当 l第1页 共12页的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y2=k(x 1), 代入 C的方程，并整理得(2 k2)x2+2(k2 2k)x k2+4k6=0 (*)( ) 当 2k2=0, 即 k= 2 时，方程 (*) 有一个根， l 与 C有一个交点( ) 当 2k20, 即 k 2 时=2(k2 2k) 24(2 k2)( k2+4k6)=16(3 2k)3当 =0, 即 3 2k=0,k= 2 时，方程 (*) 有一个实根， l 与 C有一个交点 .3 3当 0, 即 k 2 , 又 k 2 , 故当 k 2 或 2 k 2 或 2 k 2 时，方程 (*
4、) 有两不等实根， l 与 C有两个交点 .3当 0，即 k 2 时，方程 (*) 无解， l 与 C无交点 .3综上知：当 k= 2 , 或 k= 2 ，或 k 不存在时， l 与 C只有一个交点；3当 2 k 2 , 或 2 k 2 , 或 k 2 时， l 与 C 有两个交点；3当 k 2时， l 与 C没有交点 .(2) 假设以 Q 为中点的弦存在，设为AB，且 A(x1,y1),B(x2,y2)，则 2x12y12=2,2x22 y22=2 两式相减得： 2(x1 x2)(x1+x2)=(y1 y2)(y1+y2)又 x1+x2=2,y1+y2=22(x1 x2)=y1 y1y1 y
5、2即 kAB=x1 x2 =2但渐近线斜率为 2 , 联合图形知直线 AB与 C无交点，因此假设不正确，即以Q为中点的弦不存在 .第2页 共12页(2)若 Q(1， 1) ，试判断以 Q为中点的弦能否存在 .考点二：圆锥曲线中的最值问题关于圆锥曲线问题上一些动点，在变化过程中会引入一些互相联系、互相限制的变量，从而使变量与此中的参变量之间构成函数关系，此时，用函数思想与函数方法办理起来十分方便。例 2 直线 m ：y kx 1和双曲线 x 2 y 2 1 的左支交于 A、B两点，直线 l 过 P（ 2,0 ）和 AB线段的中点 M，求 l 在 y 轴上的截距 b 的取值范围。ykx11)解：由
6、 x22( x21) x2y1消去 y 得 ( k2kx 2 0 ，由题意，有：4k 28(1k 2 )0x1 x22k01 k 2x1 x2201k 21k2x0x1x2k21k2设 M（ x0 , y0 ），则y0kx0111k 22,0 ）、M（ 1k,1）、Q（ 0, b ）三点共线，可求得 b2由 P（k 21k 22k 2k 2设 f (k)2k 2k22(k1)21748 ，则 f ( k) 在 (1,2 ) 上为减函数。因此 f (2) f (k )f (1) ，且 f (k )0因此 (22 )f (k)1因此 b (22 ) 或 b2考点三：弦长问题涉及弦长问题，应娴熟地利
7、用韦达定理设而不求计算弦长，涉及垂直关系常常也是利用韦达定理，设而不求简化运算 .第3页 共12页例 3. 以以以下图，抛物线 y2=4x 的极点为 O，点 A 的坐标为 (5 ，0) ，倾斜角为 4 的直线 l 与线段 OA订交 ( 不经过点 O或点 A) 且交抛物线于 M、N两点，求 AMN面积最大时直线 l 的方程，并求 AMN的最大面积 .解：由题意，可设 l 的方程为 y=x+m,5m0.yx m由方程组 y24 x , 消去 y, 得 x2+(2m4)x+m2=0直线 l 与抛物线有两个不一样样交点 M、N，方程的鉴识式 =(2m4)2 4m2=16(1m) 0, 解得 m1, 又
8、 5m0, m的范围为 ( 5，0)设 M(x1,y1),N(x2,y2) 则 x1+x2=42m，x1x2=m2,|MN|=4 2(1 m) .5m点 A 到直线 l 的距离为 d= 2 .S=2(5+m) 1 m , 从而 S2=4(1 m)(5+m)22 2m 5m 5 m=2(2 2m)(5+m)(5+m) 2(3)3=128.S 8 2 , 当且仅当 22m=5+m,即 m= 1 时取等号 .故直线 l 的方程为 y=x1， AMN的最大面积为 8 2 .考点 4：圆锥曲线关于直线对称问题例 4. 已知椭圆的中心在圆点 , 一个焦点是 F(2,0), 且两条准线间的距离为( 4) ,
9、(I)求椭圆的方程 ;(II)若存在过点 A(1,0) 的直线 l , 使点 F 关于直线 l 的对称点在椭圆上 , 求 的取值范围 .第4页 共12页x2y21(ab0)【解析】 (I) 设椭圆的方程为 a2b2c2,且2a22c, 因此 a, b2a2c24由条件知x2y 21(4)故椭圆的方程是4(II)依题意 , 直线 l 的斜率存在且不为0, 记为 k , 则直线 l 的方程是 yk (x 1) , 设点 F(2,0) 关于直线 l 的对称点为 F / ( x0 , y0 ) , 则y0k ( x02 1)x01222解得k 2y02kk1y0x021k 2(22 ) 2(2k 2
10、)2/1k1k1( x0 , y0 ) 在椭圆上 , 因此4由于 F即 (4) k42 (6)k 2(4) 20故 k 2t , 则 (4)t 22 (6)t (4) 204, 因此(4) 20由于(4)2(6)24(4)30,2 (6)0, 当且仅当(4)(*)于是上述方程存在正实根, 即直线 l 存在 .16 ,因此41633解(*) 得 46即 的取值范围是规律总结41631. 判断直线与圆锥曲线地点关系时 , 应将直线 l 方程与圆锥曲线 C 的方程联立 ,第5页 共12页消去 y ( 也可消去 x ) 得一个关于变量 x 的一元方程 ax 2bx 2 0.当 a 0 时, 如有0,
11、则 l 与 C 订交 ; 若0, 则 l 与 C 相切 ; 若0 , 则 l 与 C 相离.当 a 0 时, 获得一个一元一次方程 , 若方程有解 , 则有直线 l 与 C订交 , 此时只有一个公共点 ; 若 C 为双曲线 , 则 l 平行于双曲线的渐近线 ; 若 C 为抛物线 , 则 l 平行于抛物线的轴 . 因此只有当直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时 , 直线与双曲线、抛物线可能相切 , 也可能订交 .2.“设而不求”的方法若直线 l 与圆锥曲线 C 有两个交点 A 和 B 时, 一般地 , 第一设出交点 A( x1, y1 ) 、 B( x2 , y2 ), 它们是过渡性参数 , 不
12、须求出 , 有时运用韦达定理解决问题 , 有时利用点在曲线上代入曲线方程整体运算求解 .3.韦达定理与弦长公式斜率为 k 的直线被圆锥曲线截得弦AB,若 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ) 则 | AB | | x1 x2| 1 k 2| y1 y2 | 112 (k 0), 此后再联合韦达定理可求出弦长等 .k专题能力训练：一、选择题x 21. 斜率为 1 的直线 l 与椭圆4 +y2=1 订交于 A、B 两点，则 |AB| 的最大值为 ( )45410810B.5C.5D.52.抛物线 y=ax2 与直线 y=kx+b(k 0) 交于 A、B 两点，且此两点的横坐标分别为x
13、1,x2, 直线与 x 轴交点的横坐标是 x3, 则恒有 ( )A.x3=x1+x2 B.x1x2=x1x3+x2x3第6页 共12页C.x1+x2+x3=0D.x1x2+x2x3+x3x1=045t24 102 5 .1. 解析：弦长 |AB|=5答案： Cyax2bbk2. 解析：解方程组 ykxb , 得 ax2kx b=0, 可知 x1+x2= a ,x1x2= a ,x3= k ,代入考据即可 .答案： Bx2y21(a 0, b 0)3. 斜率为 2 的直线 l 过双曲线 a2b2的右焦点 , 且与双曲线的左、右两支分别订交 , 则双曲线的离心率 e的取值范围是( D )A. e2
14、B. 1 e 3 C. 1 e5D. e54.过点 A(4,0) 的直线与抛物线 y2 4x 交于其余两点 B、C,O 是坐标原点 , 则三角形BOC是 (C)A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D.形状不确立二、填空题5 55. 已知两点 M(1，4 ) 、N(4， 4 ) ，给出以下曲线方程： 4x+2y1=0, x2+y2=3,x2x2 2+y2=1, 2 y2=1, 在曲线上存在点P 满足 |MP|=|NP| 的全部曲线方程是_. 解析：点 P 在线段 MN的垂直均分线上，判断 MN的垂直均分线于所给曲线能否存在交点 .答案：6. 正方形 ABCD的边 AB在直线 y
15、=x+4 上，C、D两点在抛物线 y2=x 上，则正方形第7页 共12页ABCD的面积为 _.7.在抛物线 y2=16x 内，经过点 (2 ，1) 且在此点被均分的弦所在直线的方程是_.6 解析：设 C、D所在直线方程为 y=x+b, 代入 y2=x, 利用弦长公式可求出 |CD| 的长，利用 |CD| 的长等于两平行直线 y=x+4 与 y=x+b 间的距离，求出 b 的值，再代入求出 |CD| 的长 .答案： 18 或 507. 解析：设所求直线与 y2=16x 订交于点 A、B，且 A(x1,y1),B(x2,y2), 代入抛物线方程得 y12=16x1,y22=16x2, 两式相减得，
16、 (y1+y2 ）(y1 y2)=16(x1 x2).y1y216即 x1x2y1y2 kAB=8.故所求直线方程为 y=8x15.答案： 8xy15=0三、解答题8.已知抛物线 y2=2px(p 0), 过动点 M(a,0) 且斜率为 1 的直线 l 与该抛物线交于不一样样的两点 A、B，且 |AB| 2p.(1) 求 a 的取值范围 .(2) 若线段 AB的垂直均分线交 x 轴于点 N，求 NAB面积的最大值 .219. 知中心在原点，极点 A1、A2 在 x 轴上，离心率 e= 3 的双曲线过点 P(6，6).第8页 共12页(1)求双曲线方程 .(2)动直线 l 经过 A1PA2的重心
17、 G，与双曲线交于不一样样的两点M、N，问：能否存在直线 l, 使 G均分线段 MN，证明你的结论 .10.已知双曲线 C 的两条渐近线都过原点，且都以点A( 2 ，0) 为圆心， 1 为半径的圆相切，双曲线的一个极点 A1与 A 点关于直线 y=x 对称 .(1)求双曲线 C 的方程 .(2)设直线 l 过点 A，斜率为 k, 当 0k1 时，双曲线 C的上支上有且仅有一点B 到直线 l 的距离为 2 ，试求 k 的值及此时 B 点的坐标 .x2 y211.已知过双曲线方程 4 21(1)过 M(1,1) 的直线交双曲线于 A、B 两点 , 若 M为弦 AB的中点 , 求直线 AB的方程;(
18、2) 能否存在直线 l , 使N (1,1)2 为 l 被双曲线所截得弦的中点 , 若存在 , 求出直线 l 的方程 ; 若不存在 , 请说明原由 .8 解： (1)设直线 l 的方程为： y=xa, 代入抛物线方程得 (x a)2=2px, 即 x22(a+p)x+a2=0|AB|=2 4(a p)24a22p. 4ap+2p2p2, 即 4ap p2p又 p0, a 4 .(2) 设 A(x1,y1) 、B(x2,y2) ，AB的中点 C(x,y),由(1) 知， y1=x1 a,y2=x2 a,x1+x2=2a+2p,x1x2ay1 y2 x1x22a则有 x=p, y=p.222线段
19、AB的垂直均分线的方程为yp= (x ap), 从而 N点坐标为 (a+2p,0 ）第9页 共12页| a2 pa |2 p点 N到 AB的距离为214(ap)24a22 p2 p 2app22 2从而 SNAB=p当 a 有最大值 4时， S 有最大值为2 p2.x 2y 262621,e2a2b 2219. 解： (1) 如图，设双曲线方程为 a 2b2 =1. 由已知得 a 2b2a23 , 解得 a2=9,b2=12.x 2y2因此所求双曲线方程为912=1.(2)P 、A1、A2 的坐标挨次为 (6,6)、(3 ，0) 、( 3，0），其重心 G的坐标为 (2 ， 2）假设存在直线
20、l ，使 G(2，2) 均分线段 MN，设 M(x1,y1) ，N(x2,y2).则有12x129 y1210812x229 y22108 y1y2124x1x24x1x29 34y1y24， kl= 34l 的方程为 y= 3 (x 2)+2,12x 29 y 2108y4(x2)由3, 消去 y, 整理得 x24x+28=0. =16 428 0, 所求直线 l 不存在 .| 2k |10. 解： (1)设双曲线的渐近线为y=kx, 由 d= k 21 =1, 解得 k=1.第 10页 共12页即 近 y=x, 又点 A 关于 y=x 称点的坐 (0 ， 2 ).a= 2 =b, 所求双曲 C的方程 x2y2=2.(2) 直 l ：y=k(x 2 )(0 k1 ) , 依 意 B 点在平行的直 l 上，且 l 与l 的距离 2 .
