1、高等数学复习提纲同济大学下册完整版高等数学复习提纲同济大学下册高等数学复习提纲、考试题型1 填空题6题2计算题8题二、知识点1平面及其方程。例题：一平面过点(1 O 1)且平行于向量(2 1 1)和1 0)试求这平面 方程解所求平面的法线向量可取为i J kn=ab=2 1 1 =i+j-3k ?1 -1 0所求平面的方程为(xl)(y0)3(zl)0 即 xy3zA02空间直线及其方程。例题：求过点(2 0 3)且与直线E聲垂直的平面方程解所求平面的法线向量死可取为已知直线的方向向量即i j kH=(I,-2,4)(3,5,-2)=1 -2 4 =-16i+14/+11?3 5-2所平面的方
2、程为16(x2) 14Cyo)II(Z3)0即 16xl4yllz650例题：求过点(3 12)且通过直线宁=中=彳的平面方程解所求平面的法线向量与直线宁=耳=彳的方向向量(5 2 1)垂 直因为点(3 1 2)和(4 3 0)都在所求的平面上所以所求平面的法线向量与 向量盹(4 3 0)(3 1 2)(1 4 2)是垂直的因此所求平面的法线向量可取为i j kn=SiXSi = 5 2 1 =Si-9j-22k? 1 -4 2所求平面的方程为8(x3)9(yl)22(z2)0即 8x9y22z5903 .旋转曲面。例题：将ZOX坐标面上的抛物线去5兀绕兀轴旋转一周求所生成的 旋转曲面的方程解
3、将方程中的Z换成的？得旋转曲面的方程 论25兀例题：将ZoX坐标面上的圆“刊绕Z轴旋转一周求所生成的旋转 曲面的方程解将方程中的兀换成土声得旋转曲面的方程x2294多元复合函数求导，隐函数求导。例题：求函数的全微分解 dz=rdx+Ldy=- exdx-exdyOX Oy X- X例题：设zw2ln V而U=丄v3x2y求企鼻y OX Oy解生=乞.西+虫.空 xuxv x= 2ilnv-+-3 =(3-2y)+-_7 y V y2 J (3x-2y)y2=2WInV(-+-(-2) =Vln(3x-2y)2x2 9(3x-2y)y2 例题：设ze-x2y而XSin / yp求第解孚=李羊+务
4、字=严COSk2几(_2)安 dt x Clt 6 dt=ev2y(cosr-&2)=湎-2?(cos/&2)?例题：设Sin yy20求芈ClX解 令 F(X y)sin yexxy2 则 FXeXyI FVCOS y2xy dy _ FX _ e2-y2 _ y2-ex 9dx FX COSy-2xy CoSy-2xy例题：设InJX? + y2 =arctan丄求 X dx解 令 F(x,y) = nyx2 + y2 -arctan 则1()=Wl + g)2妒宀护XL 1 Wyx2 + y2 2xx2 + y2dy= FY围成的闭区域为底而以曲面 为顶的曲顶柱体的体积解曲顶柱体在兀Oy
5、面上的投影区域为D(xy)x2y2ax在极坐标下 D=p)-ps 7 71莎 27OO I而级数JIF收敛故所给级数收敛3 32 33 32 + 222 +2 + + n2r, +3nU = 解级数的一般项为n n.2n因为Iim 也=Iim Iim = -l 9S Hn s (h+1)2,7+1 3川 is 2 +l 2 ?oo OTI 厶Q/? H = I 所以级数发散(2)解因为Iim 如乩=Iim (P)?.码=Iirn 丄.徑1)2=丄 Vl h Un ns 3 TI ns 3 Tl 39所以级数收敛解因为股1=黒签辟芫r 2,刖命）Y tan /?=!解因为9所以级数收敛例题：判定
6、下列级数是否收敛？如果是收敛的是绝对收敛还是 条件收敛？(I)I+OC 00解这是一个交错级数(-i)-,=(-rl4=其中讣+W=I =l n yji因为显然仏心+1并且IinW严0所以此级数是收敛的l又因为(-l),11=-7=是Pl的#级数是发散的=l /2=1所以原级数是条件收敛的(2)c-r,rW=I J解 -r,rrH=I 3 K=I3料+1因为|1所以级数希是收敛的n_n_ 3 z=13n3心从而原级数收敛并且绝对收敛7 幕级数。例题：求下列幕级数的收敛域1-+(T)z+?n2OC 1因为当Xi时幕级数成为皆Ir是收敛的当幻时幕级数成S 为1+S也是收敛的所以收敛域为1 1r2z
7、I解这里级数的一般项为=(j)冷Tr I + I r I x2,+3 2n+l I 2 C因为hl=由比值审敛法当“1即LXII时幕级数绝对收敛当X2I即IXlI时幕级数发散故收敛半径为RIOC I因为当幻时幕级数成为若(T)茹了是收敛的当幻时幕级数X 1成为若(T)E石石 也是收敛的所以收敛域为1 18 .函数展开成幕级数。例题：将下列函数展开成兀的幕级数并求展开式成立的区间(l)sin2x解 因 sin2x=-cosZx E喀(P誌兀()所以 si2=” (_1)“岁韦=(_1)“ 2岁T %()厶n=O (勿貝 =l兰)_兰3 3例题:将函数/(Qcos兀展开成(“却的幕级数cosy+sin(x+y)siiy=岳(T)+評+云舗號严十)5例题:将函数/(X)=丄展开成(x3)的幕级数X解丄=Pr 冷一J=扭(-1)”(罟)”(-1 VFVI) X 3+x3 3 十夫3 3 ZZ=O 3 3I-即 丄 1)(写)(0vxv6)X d “=0 3例题：将函数心击 展开成X)的幕级数1 1X +3x+2 x+1 x+2丄=!=-1一 =-l(+4r (+lkl)x+1 -3+(x+4) 3 _x+4 3,5)3 33占/) = -2(a-4) =4 r l ?21 “+4) / Q m齐rW(gv因此/7喀泮喀泮= -)(-4(-6a-2)?注意复习书上习题刘华
