1、均值不等式含答案课时作业 15 均值不等式时间： 45分钟 满分： 100 分课堂训练531已知 xy1(x0，y0)，则 xy 的最小值是 ( )xyA15C60 【答案】【解析】 xy 60，B6D1 C5 3 15 12 ，x y xy当且仅当 3x5y 时取等号42函数 f(x)xx3 在(， 2上( )A无最大值，有最小值 7 B无最大值，有最小值 1 C有最大值 7，有最小值 1D有最大值 1，无最小值 【答案】 D4【解析】 x2， f(x)x 3x44 x 32 x 3 xx4 1，当且仅当 x4x，即 x2 时，取等号，x f(x)有最大值 1，无最小值143已知两个正实数
2、x，y满足 xy4，则使不等式 xym 恒成所以 y立的实数 m 的取值范围是 【答案】9 ，4【解析】1 4 x y 1 4 5 y x 5 1 9 1xy4 4 xy 544yxxy542 4194.4求函数x27x10y x1 （x1）的最小值【分析】对于本题中的函数，可把 x 1 看成一个整体，然后将函数用 x1来表示，这样转化一下表达形式，可以暴露其内在的形式特点，从而能用均值定理来处理【解析】因为 x1，所以 x10.x27x10 x125x 14x1 x 14当且仅当 x1x4 1，即 x1 时，等号成立当 x1 时，函数 yx x7x1 10（x1），取得最小值为 9.规律方法
3、】ax2bxc形如 f(x) mxn (m0， a0或) 者 g(x)mxnax2bxc（m0， a 0的） 函数，可以把 mxn 看成一个整体，设 mxnt，那么 f（x）与 g（x）都可以转化为关于 t 的函数课后作业、选择题 （每小题 5 分，共 40 分）11设 x0，则 y33xx的最大值是 （ ）B 33 2D1A3C 3 2 3 【答案】 C11【解析】 y33xx3（3xx） 3 32 3.当且仅当 3x1x，即 x 33时取 “”x32下列结论正确的是 （ ）1A当 x0 且 x1时， lgxlgx2B当 x0 时， x 1x 21C当 x2时， xx的最小值为 21D当 0
4、0且 x1时，lgx的正负不确定， lgxlgx1 1 52或 lgxlgx2；C中，当 x2时，（x x）min2；D中当 0x2时，1 1 3 yx x在（0,2上递增， （xx）max2.13如果 a，b满足 0a2 ab， ab1 22，即 a2b22.1 2 4 5方法二：特值检验法：取 a31，b23，则 2ab 94，a2b295，1 bcac12bcbc0， a b0， b c0， a c0，11(ab)(bc) abb1cb c ab2abbcb c ab22 abbc4.5下列函数中，最小值为4 的是 (4Af(x)xxBCf(x)3x43xD)f(x)lgxlogx10f
5、(x)2xx24答案】 C1 1 4 2 abbcacacx25能取等号， f(x)2xx2542 x24取等号，必须 x24 x214，即 x241，这是不可能的， 排除故 选 C.6今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确有人说要用它 称物体的重量，只需将物体放在左、右托盘各称一次，则两次称量结 果的和的一半就是物体的真实重量 设物体放在左右托盘称得的重量 分别为 a， b(ab)，则物体的实际重量为多少实际重量比两次称量的 结果的一半大了还是小了 ( )；小；小；大；大答案】 D解析】 设物体真实重量为 m，天平左、右两臂长分别为 l1，l2，则ml1al2ml2bl1 得 m2l1l2a
6、bl1l2 m aba b a b又 2 ab且 ab，等号不能取得，故 m0，y0，x2y2xy8，则 x 2y的最小值是 ( )A 3 B4【答案】 B8x【解析】 x2y2xy8， y2x20， 1x”“ 1时，不等式 xx1a 恒成立，则实数 a 的取值范围 x1是 【答案】 (， 31【解析】 x1， x 0，x111要使 x a恒成立，设 f (x) x (x1)，则 af(x)min对 x1x 1 x 1恒成立1 1 1又 f(x)x x1 12 x 1 13，当且x 1 x1 x11仅当 x1 1 即 x2 时取“ ”x1 a 3.三、解答题 (每小题 20 分，共 40 分解
7、答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 )11设 x，y R，且 xyxy2，(1)求 xy 的取值范围；(2)求 xy 的取值范围xy【解析】 (1)2 xyxyxy( 2 )2，当且仅当 xy 时取“”(xy)24(xy)80.(xy)2212. xy0， xy2 12.xy232，当且仅当 xy 31 时取“ ”故 x y 的取值范围是 2 32， )(2)2xyxy2xyxy，当且仅当 xy 31 时取 “” ( xy)22 xy2. ( xy1)2 3.又 x、y0， xy10. xy 1 3. 0 xy 3 1.0xy42 3，即 xy 的取值范围是 (0,42 312某渔业公
8、司今年初用 98 万元购进一艘渔船用于捕捞，每一 年需要各种费用 12 万元从第二年起包括维修费在内每年所需费用 比上一年增加 4 万元该船每年捕捞总收入 50 万元(1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少(2)问捕捞几年后的平均利润最大，最大是多少【解析】 (1)设船捕捞 n 年后的总盈利 y 万元则nn1y50n9812 n 2 4 2n240n98 2(n10)2102捕捞 10 年后总盈利最大，最大是 102 万元22n4n920 12当且仅当49n49，即 n7 时上式取等号 n(2)年平均利润为y n 2 n4n920n所以，捕捞 7 年后的平均利润最大，最大是 12万元【规律方法】 在应用均值不等式解决实际问题时， 应注意如下 思路和方法：(1)先理解题意，设出变量 ，一般把要求最值的量定为函数；(2)建立相应的函数关系， 把实际问题抽象成函数的最大值或最小 值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案
