1、高中数学第三章指数函数对数函数和幂函数32对数函数的概念以及一些常见的解题方法素材苏教版必修1对数函数1对数的概念 如果a(a0，且a1)的b次幂等于N，即ab=N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：logaN=b,其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 由定义知： 负数和零没有对数; a0且a1,N0; loga1=0,logaa=1,alogaN=N,logaab=b. 特别地，以10为底的对数叫常用对数，记作log10N,简记为lgN；以无理数e(e=2.718 28)为底的对数叫做自然对数，记作logeN，简记为lnN. 2对数式与指数式的互化 式子名称abN指数式ab=N(底数)(指数
2、)(幂值)对数式logaN=b(底数)(对数)(真数) 3对数的运算性质 如果a0,a1,M0,N0,那么 (1)loga(MN)=logaM+logaN. (2)logaM/N=logaM-logaN. (3)logaMn=nlogaM (nR). 问：公式中为什么要加条件a0,a1，M0,N0? logaan=? (nR) 对数式与指数式的比较.(学生填表) 式子ab=NlogaN=b名称a幂的底数 b Na对数的底数 b N运 算 性 质aman=am+n aman= (am)n= (a0且a1,nR)logaMN=logaM+logaN logaMN= logaMn=(nR) (a0,
3、a1,M0,N0) 难点疑点突破 对数定义中，为什么要规定a0,，且a1? 理由如下： 若a0，则N的某些值不存在，例如log-28 若a=0，则N0时b不存在；N=0时b不惟一，可以为任何正数 若a=1时，则N1时b不存在；N=1时b也不惟一，可以为任何正数 为了避免上述各种情况，所以规定对数式的底是一个不等于1的正数 解题方法技巧 1 (1)将下列指数式写成对数式： 54=625；2-6=164；3x=27；13m=5 73. （2）将下列对数式写成指数式： log1216=-4；log2128=7； log327=x；lg0.01=-2； ln10=2.303；lg=k. 解析由对数定义
4、：ab=N logaN=b. 解答(1)log5625=4.log2164=-6. log327=x.log135.73=m. 解题方法 指数式与对数式的互化，必须并且只需紧紧抓住对数的定义：ab=N logaN=b.(2)12-4=16.27=128.3x=27. 10-2=0.01.e2.303=10.10k=. 2 根据下列条件分别求x的值： (1)log8x=-23；(2)log2(log5x)=0； (3)logx27=31+log32；(4)logx(2+3)=-1. 解析(1)对数式化指数式，得：x=8-23=? (2)log5x=20=1. x=? (3)31+log32=33
5、log32=?27=x? (4)2+3=x-1=1x. x=? 解答(1)x=8-23=(23)-23=2-2=14. (2)log5x=20=1，x=51=5. (3)logx27=33log32=32=6， x6=27=33=(3)6,故x=3. (4)2+3=x-1=1x,x=12+3=2-3. 解题技巧 转化的思想是一个重要的数学思想，对数式与指数式有着密切的关系，在解决有关问题时，经常进行着两种形式的相互转化. 熟练应用公式：loga1=0,logaa=1,alogaM=M,logaan=n.3 已知logax=4,logay=5，求A=x3x-1y212的值. 解析思路一，已知对数
6、式的值，要求指数式的值，可将对数式转化为指数式，再利用指数式的运算求值； 思路二，对指数式的两边取同底的对数，再利用对数式的运算求值 解答解法一logax=4,logay=5, x=a4,y=a5, A=x512y-13=(a4)512(a5)-13=a53a-53=a0=1. 解法二对所求指数式两边取以a为底的对数得 logaA=loga(x512y-13) =512logax-13logay=5124-135=0, A=1. 解题技巧 有时对数运算比指数运算来得方便，因此以指数形式出现的式子，可利用取对数的方法，把指数运算转化为对数运算.4 设x,y均为正数，且xy1+lgx=1(x110
7、),求lg(xy)的取值范围. 解析一个等式中含两个变量x、y，对每一个确定的正数x由等式都有惟一的正数y与之对应，故y是x的函数，从而lg(xy)也是x的函数.因此求lg(xy)的取值范围实际上是一个求函数值域的问题，怎样才能建立这种函数关系呢?能否对已知的等式两边也取对数? 解答x0,y0,xy1+lgx=1, 两边取对数得：lgx+(1+lgx)lgy=0. 即lgy=-lgx1+lgx(x110,lgx-1). 令lgx=t, 则lgy=-t1+t(t-1). lg(xy)=lgx+lgy=t-t1+t=t21+t. 解题规律 对一个等式两边取对数是解决含有指数式和对数式问题的常用的有
8、效方法；而变量替换可把较复杂问题转化为较简单的问题.设S=t21+t,得关于t的方程t2-St-S=0有实数解. =S2+4S0，解得S-4或S0, 故lg(xy)的取值范围是(-,-40,+). 5 求值： (1)lg25+lg2lg50+(lg2)2； (2)2log32-log3329+log38-52log53； (3)设lga+lgb=2lg(a-2b)，求log2a-log2b的值; (4)求7lg2012lg0.7的值. 解析(1)25=52,50=510.都化成lg2与lg5的关系式. (2)转化为log32的关系式. (3)所求log2a-log2b=log2ab由已知等式给
9、出了a,b之间的关系，能否从中求出ab的值呢? (4)7lg2012lg0.7是两个指数幂的乘积，且指数含常用对数， 设x=7lg2012lg0.7能否先求出lgx，再求x? 解答(1)原式=lg52+lg2lg(105)+(lg2)2 =2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2 =lg5(2+lg2)+lg2+(lg2)2 =lg102(2+lg2)+lg2+(lg2)2 =(1-lg2)(2+lg2)+lg2+(lg2)2 =2-lg2-(lg2)2+lg2+(lg2)2=2. (2)原式=2log32-(log325-log332)+log323-5log59 =2log32-5lo
10、g32+2+3log32-9 =-7. (3)由已知lgab=lg(a-2b)2 (a-2b0), ab=(a-2b)2, 即a2-5ab+4b2=0. ab=1或ab=4，这里a0,b0. 若ab=1，则a-2b0,a1,c0,c1,N0)； (2)logablogbc=logac； (3)logab=1logba(b0,b1)； (4)loganbm=mnlogab. 解析(1)设logaN=b得ab=N,两边取以c为底的对数求出b就可能得证. (2)中logbc能否也换成以a为底的对数. (3)应用(1)将logab换成以b为底的对数. (4)应用(1)将loganbm换成以a为底的对数
11、. 解答(1)设logaN=b，则ab=N,两边取以c为底的对数得：blogca=logcN, b=logcNlogca.logaN=logcNlogca. (2)由(1)logbc=logaclogab. 所以 logablogbc=logablogaclogab=logac. (3)由(1)logab=logbblogba=1logba. 解题规律 (1)中logaN=logcNlogca叫做对数换底公式，(2)(3)(4)是(1)的推论，它们在对数运算和含对数的等式证明中经常应用. 对于对数的换底公式，既要善于正用，也要善于逆用.(4)由(1)loganbm=logabmlogaan=m
12、logabnlogaa= mnlogab. 7 已知log67=a,3b=4,求log127. 解析依题意a,b是常数，求log127就是要用a,b表示log127，又3b=4即log34=b，能否将log127转化为以6为底的对数，进而转化为以3为底呢? 解答已知log67=a,log34=b, log127=log67log612=a1+log62. 又log62=log32log36=log321+log32, 由log34=b,得2log32=b. log32=b2,log62=b21+b2=b2+b. log127=a1+b2+b=a(2+b)2+2b. 解题技巧 利用已知条件求对数
13、的值，一般运用换底公式和对数运算法则，把对数用已知条件表示出来，这是常用的方法技巧 8 已知x,y,zR+，且3x=4y=6z. (1)求满足2x=py的p值； (2)求与p最接近的整数值； (3)求证：12y=1z-1x. 解析已知条件中给出了指数幂的连等式，能否引进中间量m，再用m分别表示x,y,z?又想，对于指数式能否用对数的方法去解答? 解答（1）解法一3x=4y log33x=log34y x=ylog34 2x=2ylog34=ylog316, p=log316. 解法二设3x=4y=m,取对数得： xlg3=lgm，ylg4=lgm, x=lgmlg3,y=lgmlg4,2x=2
14、lgmlg3,py=plgmlg4. 由2y=py, 得 2lgmlg3=plgmlg4, p=2lg4lg3=lg42lg3=log316. (2)2=log39log316log327=3, 2p3. 又3-p=log327-log316=log32716, p-2=log316-log39=log3169, 而2716169, log327163-p. 与p最接近的整数是3. 解题思想 提倡一题多解.不同的思路，不同的方法，应用了不同的知识或者是相同知识的灵活运用，既发散了思维，又提高了分析问题和解决问题的能力，何乐而不为呢? (2)中涉及比较两个对数的大小.这是同底的两个对数比大小.因
15、为底31，所以真数大的对数就大，问题转化为比较两个真数的大小，这里超前应用了对数函数的单调性，以鼓励学生超前学习，自觉学习的学习积极性.(3)解法一令3x=4y=6z=m,由于x，y，zR+， k1，则 x=lgmlg3,y=lgmlg4,z=lgmlg6, 所以1z-1x=lg6lgm-lg3lgm=lg6-lg3lgm=lg2lgm，12y=12lg4lgm=lg2lgm， 故12y=1z-1x. 解法二3x=4y=6z=m， 则有3=m1x,4=m1y，6=m1z， ，得m1z-1x=63=2=m12y. 1z-1x=12y. 9 已知正数a,b满足a2+b2=7ab.求证：logma+
16、b3=12(logma+logmb)(m0且m1). 解析已知a0,b0,a2+b2=7ab.求证式中真数都只含a,b的一次式，想：能否将真数中的一次式也转化为二次，进而应用a2+b2=7ab? 解答logma+b3=logm(a+b3)212= 解题技巧 将a+b3向二次转化以利于应用a2+b2=7ab是技巧之一. 应用a2+b2=7ab将真数的和式转化为ab的乘积式，以便于应用对数运算性质是技巧之二.12logma+b32=12logma2+b2+2ab9. a2+b2=7ab, logma+b3=12logm7ab+2ab9=12logmab=12(logma+logmb), 即logm
17、a+b3=12(logma+logmb). 思维拓展发散 1 数学兴趣小组专门研究了科学记数法与常用对数间的关系.设真数N=a10n.其中N0,1a10,nZ.这就是用科学记数法表示真数N.其科学性体现在哪里?我们只要研究数N的常用对数，就能揭示其中的奥秘. 解析由已知，对N=a10n取常用对数得，lgN=n+lga.真数与对数有何联系? 解答lgN=lg(a10n)=n+lga.nZ,1a10， lga0,1). 我们把整数n叫做N的常用对数的首数，把lga叫做N的常用对数的尾数，它是正的纯小数或0. 小结：lgN的首数就是N中10n的指数，尾数就是lga,0lga0,lgN的首数和尾数与a
18、10n有什么联系？ 有效数字相同的不同正数其常用对数的什么相同？什么不同？ 2 若lgx的首数比lg1x的首数大9，lgx的尾数比lg1x的尾数小0 380 4，且lg0.203 4=1.308 3,求lgx,x,lg1x的值. 解析lg0.203 4=1 308 3,即lg0.203 4=1+0.308 3，1是对数的首数，0.308 3是对数的尾数，是正的纯小数；若设lgx=n+lga，则lg1x也可表出. 解答设lgx=n+lga,依题意lg1x=(n-9)+(lga+0.380 4). 又lg1x=-lgx=-(n+lga), (n-9)+(lga+0 380 4)=-n-lga，其中
19、n-9是首数，lga+0 380 4是尾数，-n-lga=-(n+1)+(1-lga),-(n+1)是首数1-lga是尾数，所以： n-9=-(n+1) lga+0.380 4=1-lga n=4, lga=0.308 3. lgx=4+0.308 3=4.308 3, lg0.203 4=1.308 3,x=2.034104. lg1x=-(4+0.308 3)=5.691 7. 解题规律 把lgx的首数和尾数，lg1x的首数和尾数都看成未知数，根据题目的等量关系列方程.再由同一对数的首数等于首数，尾数等于尾数，求出未知数的值，是解决这类问题的常用方法.3 计算： (1)log2-3(2+3
20、)+log6(2+3+2-3); (2)2lg(lga100)2+lg(lga). 解析(1)中.2+3与2-3有何关系?2+3+2-3双重根号，如何化简? (2)中分母已无法化简，分子能化简吗? 解题方法 认真审题、理解题意、抓住特点、找出明确的解题思路和方法，不要被表面的繁、难所吓倒.解答(1)原式=log2-3(2-3）-1+12log6(2+3+2-3)2 =-1+12log6(4+22+32-3) =-1+12log66 =-12. (2)原式=2lg(100lga)2+lg(lga)=2lg100+lg(lga)2+lg(lga)=22+lg(lga)2+lg(lga)=2. 4
21、已知log2x=log3y=log5z0,比较x,3y,5z的大小. 解析已知是对数等式，要比较大小的是根式，根式能转化成指数幂，所以，对数等式应设法转化为指数式. 解答设log2x=log3y=log5z=m0.则 x=2m,y=3m,z=5m. x=(2)m,3y=(33)m,5z=(55)m. 下面只需比较2与33,55的大小： (2)6=23=8,(33)6=32=9，所以255. 55233. 又m0, 图2-7-1考查指数函数y=(2)x,y=(33)x,y=(55)x在第二象限的图像，如图2-7-1 解题规律 转化的思想是一个重要的数学思想，对数与指数有着密切的关系，在解决有关问
22、题时要充分注意这种关系及对数式与指数式的相互转化. 比较指数相同，底不同的指数幂(底大于0)的大小，要应用多个指数函数在同一坐标系中第一象限(指数大于0)或第二象限(指数小于0)的性质进行比较 是y=(55)x,是y=(2)x,是y=(33)x.指数m0时，图像在第二象限从下到上，底从大到小.所以(33)m(2)m(55)m,故3yx0,b0,M1),且logMb=x，则logMa的值为() A若log63=0.673 1，log6x=-0.326 9, 则x为() A若log5log3(log2x)=0，则x=. 98log87log76log65=. 10如果方程lg2x+(lg2+lg3
23、)lgx+lg2lg3=0的两根为x1、x2,那么x1x2的值为. 11生态学指出：生物系统中，每输入一个营养级的能量，大约只有10%的能量流到下一个营养级.H1H2H3H4H5H6这条生物链中 (Hn表示第n个营养级，n=1，2，3，4，5，6).已知对H1输入了106千焦的能量，问第几个营养级能获得100千焦的能量? 12已知x，y，zR+且3x=4y=6z，比较3x，4y，6z的大小. 13已知a,b均为不等于1的正数，且axby=aybx=1，求证x2=y2. 14已知2a5b=2c5d=10，证明(a-1)(d-1)=(b-1)(c-1). 15设集合M=x|lgax2-2(a+1)
24、x-10，若M ，M x|x0且x+11;真数x+10. 6.A点拨：对ab=M取以M为底的对数. 7.C点拨：注意0.673 1+0.326 9=1,log61x=0.326 9， 所以log63+log61x=log63x=1.3x=6, x=12. 8.x=8点拨：由外向内.log3(log2x)=1, log2x=3, x=23. 9.5点拨：log87log76log65=log85, 8log85=5. 10.16点拨：关于lgx的一元二次方程的两根是lgx1,lgx2. 由lgx1=-lg2,lgx2=-lg3，得x1=12,x2=13. 11.设第n个营养级能获得100千焦的能
25、量， 依题意:10610100n-1=100, 化简得:107-n=102,利用同底幂相等，得7-n=2, 或者两边取常用对数也得7-n=2. n=5,即第5个营养级能获能量100千焦. 12 设3x=4y=6z=k,因为x，y，zR+， 所以k1.取以k为底的对数，得： x=1logk3,y=1logk4,z=1logk6. 3x=3logk3=113logk3=1logk33, 同理得：4y=1logk44,6z=1logk66. 而33=1281,44=1264,66=1236, logk33logk44logk66. 又k1,3344661, logk33logk44logk660,3x4y6z. 13.axby=aybx=1,lg(axby)=lg(aybx)=0, 即xlga+ylgb=ylga+xlgb=0.() 两式相加,得x(lga+lgb)+y(lga+lgb)=0. 即(lga+lgb)(x+y)=0.lga+lgb=0 或x+y=0. 当lga+lgb=0时,代入xlga+ylgb=0,得: (x-y)lga=0, a是不为1的正数lga0,x-y=0. x+y=0或x-y=0,x2=y2. 14.2a5b=10,2a-1=51-b.两边取以2
