1、数列通项公式前n项和求法总结一数列通项公式求法总结：1定义法一一直接利用等差或等比数列的定义求通项。特征：适应于已知数列类型（等差或者等比）.例.等差数列%是递增数列,前n项和为S”,且也,5成等比数列,S5=a;.求数列%的通项公式.变式练习：1.等差数列陽中,吗=4,如=2為,求匕的通项公式2.在等比数列%中2特征：已知数列的前项和s“与的关系例2已知下列两数列色的前n项和S“的公式，求的通项公式。变式练习：1.已知数列%的前n项和为且S产2n2+m nGN*,数列满足山=41。审化+3, nN*.求色，b2.已知数列的前门项和S”= 丄“2+如(2皿)，且久的最大值为8,试确泄常数k并求
2、0”。 23.已知数列仏的前项和$“=伫卩，心.求数列仏的通项公式。23 由递推式求数列通项法类型1特征：递推公式为如=”+/()对策：把原递推公式转化为an+1 -a= f(n),利用累加法求解。 例3.已知数列 满足a=, % = an + -J,求a”。2 ir +n变式练习：1.已知数列色满足a=an+2n + 9 q=l,求数列色的通项公式。2已知数列: = 皿 =5 +漆通项公式类型2特征：递推公式为勺屮=/（） 对策：把原递推公式转化为组 = /（），利用累乘法求解。例4.已知数列仏满足=-, an=an9求3 ” + 1变式练习：1已知数列%中,q=2, anl=3nan9求通
3、项公式。2设仏是首项为1的正项数列,且S + 1）心一碣+如陽=0 （n=l9 2, 3,），求数列的通项公式是类型3特征：递推公式为a=patl+q （其中p, q均为常数）对策：（利用构造法消去q）把原递推公式转化为由a,=pan+q得”=皿灯+处亠2）两式相减并整理得小一=，构成数列。”+| d”以2 -!为首项，以P为公比的等比数列求岀S+| 的通项再转化 an Cln-为类型1 （累加法）便可求出5例5已知数列仏中，q=l, an = 2an + 3,求.变式练习：1数列心满足!=1, 3% +%_7 = 0,求数列仏的通项公式。2.已知数列满足严1, %=3+1.证明”+寻是等比数
4、列，并求“”的通项公式。类型4特征：递推公式为a = pan + f（n）（英中p为常数） 对策：（利用构造法消去p）两边同时除以可得到銅二予+样，令卡=6,则!治=叽+牛工,再转化为类型1 （累加法），求出4之后得山=叫例6已知数列满足%=2色+43心,q=l,求数列的通项公式。变式练习：已知数列仏满足q=l,山=3+2仏| （n 2）.求心.二数列的前n项和的求法总结丄公式法（1） 等差数列前n项和：S” =川他+丝）=加+川+ 1）22（2） 等比数列前n项和：q=l 时，Sn = naxag H 1, S” = _例1已知log3X = ,求x +疋+F + x +的前n项和.log?
5、 3变式练习：1.设等比数列“”的前II项和为S” 已知勺=6, 6q + = 30,求和S“.2设勺是等差数列，是各项均为正数的等比数列,且勺=勺=1,偽+代=21，他+$T3o（1） 求 b沁（2） 求数列如的前n项和S八2.错位相减法1若数列为等差数列，数列”为等比数列，则数列%-b的求和就要采用此法.2将数列abn的每一项分别乘以亿的公比，然后在错位相减，进而可得到数列也的前”项和.例 2.求1 + 2乂 + 3乂2+4兀3 + + 的和变式练习：1.已知数列的前n项和为S“,且S” = 2n2 +nzneN*，数列bn满足a=4log? + 3 n丘N * .求心；(72 = 3,4
6、,)（2）求数列仏心的前n项和7； 2.若公比为c的等比数列的首项为 = 1 ,且满足=（1）求C的值；（2）求数列的前门项和3倒序相加法如果一个数列d”,与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写与倒着写的两个和式相加,就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法。特征：4+5 =+- =把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。+ a2 +a)+ (ai +an)2Sn =(a1+an) + (a2+an_1) +例 3.已知f(x) = ,贝ljf(l) + f(2) + fg) + f(3) + + f(4) + 石| = 变式练习：4r l2 22 32 IO
7、2 .z ni1. :k r r s r + ； r 丨丨寸彳卄12 + 102 22 +92 32 +82 102 + 122.求sin2 f+sin2 2 +sin2 3 + + sii? 88 +sin2 89 的值。1 =丄(丄_L).n(n + k) k S? n + k 八1 1 1 1 1 = 7-一 T- 1 :nn +1)(/? + 2) 2 nn +1) (n +1)(/? + 2)2( J + -n) = 7=_已 ， -4= k1 伙一1冰 k_ k1 1 r 1 1变式练习:2.等比数列的项均为正数，且2q +3勺=%2绻(I)求数列“的通项公式.(II)设 bn =
8、 log3 ax + log3 + + log3 an,求数列 的前项和.IA J5分组求和法有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列, 然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：找通向项公式由通项公式确定如何分组.例5求数列2丄,4丄6丄,2? +丄，的前项和S卄4 8 16 2/|+,变式练习: 】求数叫，2討寻4茶的前项和2若数列qj的通项公式 = 2al +3na-l(a HO),求马?的前n项和6记住常见数列的前项和：11 + 2 + 3 + . + = 2;221 + 3 + 5 + (2川一1)=沪;31 +2+3- + + /厂= ( +1)(2/? +1).6712+22+322n +1 12 + 22+-.( wN)的和.变式练习:求数列n(n +1)(277 +1)的前n项和.
