1、知识点058 完全平方公式解答1、已知n是正整数，1+是一个有理式A的平方，那么，A=考点：完全平方式。专题：计算题。分析：先通分，分母n2（n+1）2是完全平方的形式，然后把分子整理成完全平方式的形式，从而即可得解解答：解：1+=，分子：n2（n+1）2+（n+1）2+n2=n2（n+1）2+n2+2n+1+n2，=n2（n+1）2+2n（n+1）+1，=n（n+1）+12，分子分母都是完全平方的形式，A=故答案为：点评：本题考查了完全平方式，先通分，然后把分子整理成完全平方公式的形式是解题的关键，难度较大，灵活性较强2、关于x的二次三项式：x2+2mx+4m2是一个完全平方式，求m的值考点
2、：完全平方式。专题：计算题。分析：这里首末两项是x和m这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和m积的2倍解答：解：x2+2mx+4m2是完全平方式，x2+2mx+4m2=（xm）2，4m2=m2，m=，即m1=，m2=点评：本题是完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式注意积的2倍的符号，避免漏解3、x，y都是自然数，求证：x2+y+1和y2+4x+3的值不能同时是完全平方考点：完全平方式。专题：证明题。分析：先假设x2+y+1和y2+4x+3的值能同时是完全平方，那么就可写成完全平方式，从而可求y=2x，x=y，而xy是自然数，则必是无理数，那么
3、就与已知相矛盾，故可得证解答：解：设x2+y+1和y2+4x+3的值能同时是完全平方，那么有x2+y+1=（x+1）2，y2+4x+3=（y+）2，y=2x，4x=2y，即y=2x，x=y，又x、y是自然数，y必是无理数，与已知矛盾，故x2+y+1和y2+4x+3的值不能同时是完全平方点评：本题考查了完全平方式、无理数、自然数的定义两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式4、（2003黄石）若x2+2xy+y2a（x+y）+25是完全平方式，求a的值考点：完全平方式。分析：先把前三项根据完全平方公式的逆用整理，再根据两平方项确定出这两个数，利用乘积二倍项列式求解即可解答：
4、解：原式=（x+y）2a（x+y）+52，原式为完全平方式，a（x+y）=25（x+y），解得a=10点评：本题考查了完全平方式，需要二次运用完全平方式，熟记公式结构是求解的关键，把（x+y）看成一个整体参与运算也比较重要5、将多项式4x2+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方则添加单项式的方法共有多少种？请写出所有的式子及演示过程考点：完全平方式。专题：开放型。分析：因为整式包括单项式和多项式两种情况，所以根据4x2是平方项，是乘积二倍项的情况利用完全平方公式添加，以及完全平方式是单项式的平方的情况添加一个单项式消去其中的一项即可解答：解：添加的方法有5种，其演示的过程分别是（1
5、分）添加4x，得4x2+1+4x=（2x+1）2；（2分）添加4x，得4x2+14x=（2x1）2；（3分）添加4x4，得4x2+1+4x4=（2x2+1）2；（4分）添加4x2，得4x2+14x2=12；（5分）添加1，得4x2+11=（2x）2（6分）点评：本题主要考查完全平方公式，应充分理解整式的完全平方既可以是一个单项式的平方，也可以是一个多项式的平方，针对上述两种情况来进行考虑，可防止漏解6、多项式x2+1加上一个整式后是含x的二项式的完全平方式例题：x2+1+2x=（x+1）2（1）按上例再写出两个加上一个单项式后是含x的二项式的完全平方式的式子（不能用已知的例题）：x2+1+2x
6、=（x1）2；x2+1+x4=（x2+1）2（2）按上例写出一个加上一个多项式后是一个含x的二项式的完全平方式x2+1+x4+x2=（x2+1）2考点：完全平方式。专题：阅读型。分析：把等式右边根据完全平方公式展开即可求解完全平方公式（ab）2=a22ab+b2解答：解：例题（x+1）2=x2+2x+1，应填入2x；（1）（x1）2=x22x+1，应填入2x；（x2+1）2=x4+x2+1，应填入x4；（2）（x2+1）2=x4+2x2+1=x4+x2+x2+1，应填入的多项式是x4+x2故应填：2x；2x；x4；x4+x2点评：本题考查了完全平方式的运用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2
7、倍，就构成了一个完全平方式，熟练掌握完全平方公式并会逆用是求解的关键7、有一个多项式，它的中间项是8ab，前后两项被墨水污染了看不清，请你把前后两项补充完整，使它成为完全平方式（要求写出两种不同方法）多项式：（）+8ab+（）考点：完全平方式。专题：开放型。分析：根据完全平方公式，乘积二倍项为8ab，所以两个数的积是4ab，可以分解出因式2a、2b，2、2ab，a、4b，4a、b，ab、4，4ab、1，选择两种情况填入平方项即可解答：解：由于（4ab+1）2=16a2b2+8ab+1；（2ab+2）2=4a2b2+8ab+4故本题答案为：16a2b2，1；4a2b2，4点评：本题考查了完全平方
8、式，根据完全平方公式的结构特征来进行分析，对乘积二倍项8ab的不同分解是求解的关键8、一个正整数a恰好等于另一个正整数b的平方，则称正整数a为完全平方数如64=82，64就是一个完全平方数；若a=29922+2992229932+29932求证：a是一个完全平方数考点：完全平方式。专题：证明题。分析：本题考查是的完全平方公式的应用，考虑29922、29932都是数值较大的数，计算起来很不方便，因此可采用换元法，设x=2992，则2993=2992+1=x+1，然后再根据所设及题意对原式进行变形配成完全平方式解答：证明：令2992=m，则2293=m+1，于是a=m2+m2（m+1）2+（m+1
9、）2，=m4+2m3+3m2+2m+1，=m4+2m3+2m2+m2+2m+1，=（m2）2+2m2（m+1）+（m+1）2，=（m2+m+1）2，所以是a一个完全平方数点评：本题考查了完全平方式，在计算中巧用换元法灵活应用公式可化繁为简，起到简便计算的作用9、小明和小强平时是爱思考的学生，他们在学习整式的运算这一章时，发现有些整式乘法结果很有特点，例如：（x1）（x2+x+1）=x31，（2a+b）（4a22ab+b2）=8a3+b3，小明说：“这些整式乘法左边都是一个二项式跟一个三项式相乘，右边是一个二项式”，小强说：“是啊！而且右边都可以看成是某两项的立方的和（或差）”小明说：“还有，我
10、发现左边那个二项式和最后的结果有点像”小强说：“对啊，我也发现左边那个三项式好像是个完全平方式，不对，又好像不是，中间不是两项积的2倍”小明说：“二项式中间的符号、三项式中间项的符号和右边结果中间的符号也有点联系”亲爱的同学们，你能参与到他们的讨论中并找到相应的规律吗？（1）能否用字母表示你所发现的规律？（2）你能利用上面的规律来计算（x2y）（x22xy+4y2）吗？考点：完全平方式。专题：阅读型。分析：左边为一个二项式与一个三项式相乘，左边二项式中间加减号与三项式前两项加减号正好相反，二项式两项为三项式第一第三项的一次项解答：解：（1）（a+b）（a2ab+b2）=a3+b3；（ab）（a
11、2+ab+b2）=a3b3；（2）（x2y）（x22xy+4y2）=（x）3+（2y）3=x38y3点评：本题考查了完全平方式，是信息题，两数的和乘以这两个数的平方和减去它们的差，等于这两个数的立方和（或两数的差乘以这两个数的平方和加上它们的和，等于这两个数的立方差），读懂题目信息是求解的关键10、阅读下列材料：一个自然数a恰好等于另一个自然数b的平方，则称自然数a为完全平方数已知a=20042+2004220052+20052，试说明a是一个完全平方数考点：完全平方式。专题：阅读型。分析：本题考查是的完全平方公式的应用，考虑20042、20052都是数值较大的数，计算起来很不方便，因此可采用
12、换元法，设x=2004，则2005=2004+1=x+1，然后再根据所设及题意对原式进行变形配成完全平方式解答：解：设x=2004，则2005=2004+1=x+1，故有：a=x2+x2（x+1）2+（x+1）2，=x22x（x+1）+（x+1）2+2x（x+1）+x2（x+1）2，=x（x+1）2+2x（x+1）+x2（x+1）2，=1+2x（x+1）+x2（x+1）2，=1+x（x+1）2，=1+x+x22，=（1+2004+20042）2，=40180212a是一个完全平方数点评：本题考查了完全平方式，在计算中巧用换元法灵活应用公式可化繁为简，起到简便计算的作用11、已知a24a+4+9
13、b2+6b+1=0，求a、b的值考点：完全平方式；非负数的性质：偶次方。分析：本题考查完全平方公式的应用，可逆向应用完全平方公式和平方数非负数的性质解答：解：a24a+4+9b2+6b+1=（a2）2+（3b+1）2=0，而（a2）20，（3b+1）20，a2=0，3b+1=0，解得a=2，b=点评：本题考查了两个知识点：完全平方公式的逆用；平方数非负数的性质12、试求出所有整数n，使得代数式2n2+n29的值是某两个连续自然数的平方和考点：完全平方式。专题：计算题；配方法。分析：先设两个连续自然数是x、x+1，然后根据题意列出方程，然后解以x为未知数的一元二次方程，然后利用多次方程有整数根的
14、条件来解解答：解：设两个连续自然数是x、x+1，则根据题意知2n2+n29=x2+（x+1）2，化简为2x2+2x+302n2n=0 x=因为x是自然数，所以4n2+2n59必为某个整数的平方（完全平方数），因此设4n2+2n59=k2n=因为n是整数，所以4k2+237必为某个整数的平方（完全平方数），设4k2+237=a2则有a24k2=237，即（a+2k）（a2k）=237，所以有或，解之得或由式得4k2+237=1192或412，代入式得n1=10，n2=30，符合条件的整数n是10或30点评：本题主要考查了利用完全平方式的应用两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全
15、平方式13、试说明：（a2+3a）（a2+3a+2）+1是一个完全平方式考点：完全平方式。专题：证明题。分析：把a2+3a看成整体，先利用单项式和多项式的乘法法则展开，再写成完全平方公式的形式即可解答：证明：（a2+3a）（a2+3a+2）+1，=（a2+3a）2+2（a2+3a）+1，=（a2+3a+1）2，（a2+3a）（a2+3a+2）+1是一个完全平方式点评：本题主要考查了完全平方公式的运用，整体思想使求解更加简便，把a2+3a看成整体是关键14、已知a=2002，b=2003，c=2004，求a2+b2+c2abacbc的值考点：完全平方式。分析：题中出现两个数的平方和及两个数积时，
16、考虑把它们组合整理为完全平方的形式，以简便运算解答：解：2（a2+b2+c2abacbc），=a2+b22ab+a2+c22ac+b2+c22bc，=（ab）2+（ac）2+（bc）2，=（20022003）2+（20022004）2+（20032004）2=1+4+1，=6，a2+b2+c2abacbc=3点评：本题考查了完全平方式，对原式扩大2倍求解是解答本题的关键，也渗透了分组和配方法的思想15、一个单项式加上多项式9（x1）22x5后等于一个整式的平方，试求所有这样的单项式考点：完全平方式。专题：综合题。分析：先化简原式，得到9x220x+4，由于一个单项式加上多项式9（x1）22x5
17、后等于一个整式的平方，故这个单项式可能是常数项，可能是一次项，可能是二次项，分三种情况讨论即可解答：解：9（x1）22x5=9x220x+4，又个单项式加上9（x1）22x5后等于一个整式的平方，此单项式可能是常数项，可能是一次项，可能是二次项，9x220x+4+=（3x）2，故此单项式是；9x220x+4+8x=（3x2）2，故此单项式是8x；9x220x+4+32x=（3x+2）2，故此单项式是32x；9x220x+4+16x2=（5x2）2，故此单项式是16x2；故答案是、8x、32x、16x2点评：本题是完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式
18、注意积的2倍的符号，避免漏解16、是否存在一个三位数（a，b，c取从1到9的自然数），使得为完全平方数？考点：完全平方式。专题：推理填空题。分析：假设存在，那么三数之和可写成111（a+b+c），由于111（a+b+c）完全平方数，而111=337，且3、37是质数，故可知a+b+c中必有因数3和37，又0a+b+c27，说明a+b+c中不含因数37，从而不是完全平方数，这样的三位数不存在解答：解：假设存在，根据题意得=100a+10b+c+100b+10c+a+100c+10a+b=111（a+b+c），111=337，而3、37是质数，a+b+c的和中必有因数3和37，又a，b，c取从1到
19、9的自然数，0a+b+c27，a+b+c中不含因数37，不是完全平方数故这样的三位数不存在点评：本题考查的是完全平方数、质数、不等式的有关知识17、已知，求值：（1） （2）考点：完全平方式。分析：（1）利用完全平方和公式（a+b）2=a2+2ab+b2解答；（2）利用（2）的结果和完全平方差公式（ab）2=a22ab+b2解答解答：解：（1）x+3=0，x+=3，=（x+）22=92=7，即=7；（2）由（1）知，=7，（x）2=2=72=5，x=点评：此题是完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式注意积的2倍的符号，避免漏解18、（1）当a=2，b
20、=1时，求两个代数式（a+b）2与a2+2ab+b2的值；（2）当a=2，b=3时，再求以上两个代数式的值；（3）你能从上面的计算结果中，发现上面有什么结论结论是：（a+b）2=a2+2ab+b2；（4）利用你发现的结论，求：19652+196570+352的值考点：完全平方式；代数式求值。分析：（1）、（2）将a、b的值分别代入以上两个代数式求值即可；（3）根据（1）、（2）的计算结果推导出完全平方和公式；（4）利用完全平方和公式计算解答：解：（1）当a=2，b=1时，（a+b）2=1，a2+2ab+b2=1（2分）（2）当a=2，b=3时，（a+b）2=25，a2+2ab+b2=25（4分
21、）（3）（a+b）2=a2+2ab+b2（6分）故答案是：（a+b）2=a2+2ab+b2 （4）原式=19652+2196535+352=（1965+35）2=4000000（10分）点评：本题是完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式注意积的2倍的符号，避免错解19、如果x2+2（m2）x+9是完全平方式，那么m的值等于m1=5，m2=1考点：完全平方式。专题：计算题。分析：根据完全平方公式，中间一项为6，依此可求出m的值解答：解：x2+2（m2）x+9是一个完全平方式，这两个数是x和3，2（m2）=6，解得m=5或1，故答案为m1=5，m2=1点
22、评：本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式注意积的2倍的符号，避免漏解，难度适中20、当a=2，b=3时，求下列各代数式的值（1）a2+2ab+b2（2）（a+b）2考点：完全平方式；代数式求值。专题：计算题。分析：（1）代数式满足完全平方的形式，先用完全平方公式化成完全平方的形式，再把a，b的值代入求出代数式的值；（2）直接把a，b的值代入代数式求出代数式的值解答：解：（1）a2+2ab+b2=（a+b）2=（23）2=1（2）（a+b）2=（23）2=1点评：本题考查的是代数式求值，（1）先化成完全平方的形式，再把a，b的值代入代数式求出代
23、数式的值（2）代数式是一个完全平方的形式，把a，b的值代入可以求出代数式的值21、已知多项式4x2+1，添上一项，使它成为一个完全平方式，你有哪几种方法？考点：完全平方式。专题：计算题。分析：这里可以认为首末两项是2x和1这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去2x和1积的2倍；也可以认为首项是2x的平方，中间一项1是2x与末项的2倍解答：解：解：设所求的一项是y，则当y是中间项时，4x2+1y是完全平方式，4x2+y+1=（2x+1）2，4x2y+1=4x2+4x+1，y=4x；当y是尾项时，1=22x，则y=点评：本题是完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一
24、个完全平方式注意积的2倍的符号，避免漏解22、将多项式x2+9添上一个单项式后，使它能运用完全平方公式进行因式分解，请写出两种情况，并对其分别进行因式分解考点：完全平方式。专题：计算题。分析：本题考查完全平方公式的灵活应用，这里首末两项是x和3的平方，那么中间项为加上或减去x和3的2倍解答：解：添加6x，得x2+6x+9=（x+3）2添加6x，得x26x+9=（x3）2故添加的单项式为6x和6x点评：本题主要考查完全平方公式，根据两平方项确定出这两个数，再根据乘积二倍项求解23、当a=3，b=1，时，分别求代数式（ab）2与a22ab+b2的值，并比较计算结果；你有什么发现？利用你发现的结果计算：20122220122011+20112考点：完全平方式；代数式求值。专题：计算题。分析：把a、b的值代入进行计算即可；根据发现的结果，整理求解即可解答：解：当a=3，b=1时，（ab）2=（31）2=16，a22ab+b2=（3）22（3）1+12=9+6+1=16，（ab）2=a22ab+b2；根据结果，20122220122011+20112=（20122011）2=1点评：本题主要考查了完全平方式，代数式求值，代入数据进行计算即可，是基础题，比较简单
