1、高考数学选修 不等式高考数学选修 不等式课 题：第01课时 不等式的基本性质一、引入：不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。列子?汤问中脍炙人口的两小儿辩日：远者小而近者大、近者热而远者凉，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?、电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？、用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。本专题将介绍一些重
2、要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的。还可从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a克糖水中含有b克糖(ab0)，若再加m(m0)克糖，则糖水更甜了，为什么?分析：起初的糖水浓度为，加入m克糖 后的糖水浓度为，只要证即可。怎么证呢? 二、不等式的基本性质：1、实数的运算性质与大小顺序的关系： 数轴上右边的点
3、表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知： 得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。2、不等式的基本性质：、如果ab，那么ba，如果bb。(对称性)、如果ab，且bc，那么ac，即ab，bcac。、如果ab，那么a+cb+c，即aba+cb+c。推论：如果ab，且cd，那么a+cb+d即ab， cd a+cb+d、如果ab，且c0，那么acbc；如果ab，且c0，那么acb 0，那么 (nN，且n1)、如果ab 0，那么 (nN，且n1)。三、典型例题：例1、已知ab，cb-d例2已知ab0，c，对一切实数都成立，求实数的取值范围。四、练习：解不等式
4、1、 2、3、 . 4、 . 5、 6、 .7、 8、 9、 10、 选修4_5 不等式选讲课 题：第02课时 含有绝对值的不等式的证明一、引入：证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质： （1） （2） （3） （4） 请同学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理？ 实际上，性质和可以从正负数和零的乘法、除法法则直接推出；而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。因此，只要能够证明对于任意实数都成立即可。我们将在下面的例题中研究它的证明。现在请同学们讨论一个问题：设为实数，和哪个大？显然，当且仅当时等
5、号成立（即在时，等号成立。在时，等号不成立）。同样，当且仅当时，等号成立。含有绝对值的不等式的证明中，常常利用、及绝对值的和的性质。二、典型例题：例1、证明 （1）， （2）。证明（1）如果那么所以 如果那么所以 （2）根据（1）的结果，有，就是，。 所以，。例2、证明 。例3、证明 。思考：如何利用数轴给出例3的几何解释？（设A，B，C为数轴上的3个点，分别表示数a，b，c，则线段当且仅当C在A，B之间时，等号成立。这就是上面的例3。特别的，取c0（即C为原点），就得到例2的后半部分。）探究：试利用绝对值的几何意义，给出不等式的几何解释？含有绝对值的不等式常常相加减，得到较为复杂的不等式，这
6、就需要利用例1，例2和例3的结果来证明。例4、已知 ，求证 证明 （1） ， （2） 由（1），（2）得：例5、已知 求证：。证明 ，由例1及上式，。注意： 在推理比较简单时，我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写法，只能用于不等号方向相同的不等式。四、练习：1、已知求证：。2、已知求证：。链接：不等式的图形借助图形的直观性来研究不等式的问题，是学习不等式的一个重要方法，特别是利用绝对值和绝对值不等式的几何意义来解不等式或者证明不等式，往往能使问题变得直观明了，帮助我们迅速而准确地寻找到问题的答案。关键是在遇到相关问题时，能否准确地把握不等式的图形，从而有效地解决问题。我们再来通过几个具体问
7、题体会不等式图形的作用。1解不等式。题意即是在数轴上找出到与的距离之和不大于到点的距离的所有流动点。首先在数轴上找到点，（如图）。 -1 0 1 2 3从图上判断，在与之间的一切点显示都合乎要求。事实上，这种点到与的距离和正好是1，而到的距离是。现在让流动点由点向左移动，这样它到点的距离变，而到点与的距离增大，显然，合乎要求的点只能是介于与之间的某一个点。由可得再让流动点由点向右移动，虽然这种点到与的距离的和及到的距离和都在增加，但两相比较，到与的距离的和增加的要快。所以，要使这种点合乎要求，也只能流动到某一点而止。由可得从而不等式的解为2画出不等式的图形，并指出其解的范围。先考虑不等式在平面
8、直角坐标系内第一象限的情况。在第一象限内不等式等价于： ，.其图形是由第一象限中直线下方的点所组成。同样可画出二、三、四象限的情况。从而得到不等式的图形是以原点O为中心，四个等点分别在坐标轴上的正方形。不等式解的范围一目了然。探究：利用不等式的图形解不等式 1. ; 2A组1解下列不等式：（1） （2） 1（3） （4） 2解不等式： （1） （2）3解不等式： （1） （2）4利用绝对值的几何意义，解决问题：要使不等式1 整理得：解之，不等式的解集为x|-3x2或 不等式的解集为x|x2或例3、解不等式： (当a1时 当0a1时)例4、解不等式： (-1x3)选修4_5 不等式选讲课 题：第
9、04课时 对数不等式的解法二、典型例题：例1、解不等式。解：原不等式等价于 或 解之得：4x5原不等式的解集为x|41时有 （其实中间一个不等式可省） 当0a1时不等式的解集为；当0a1时有0xa 当0aa 原不等式的解集为x|0x1或x|xa, 0a1例4、解不等式。 解：两边取以a为底的对数： 当0a1时原不等式化为： 原不等式的解集为 或四、练习：解下列不等式 1 (-2x1或4x7)2当，求不等式： (ax1)3，求证： 4 (-1x1 ，若0a1时 当m=1时 x? 当0m1时 当m0时 x2或x1 当即?=时 x? 当即?(,)时 1x1时 B=1,a 当a2时 A?B当1a2时
10、A?B当a1时 AB仅含一个元素例6、方程有相异两实根，求a的取值范围。 解：原不等式可化为，令： 则 设 又a0 五、作业：1 2 若 求a的取值范围 (a1) 3 4 5当a在什么范围内方程：有两个 不同的负根 6若方程的两根都大于2，求实数m的范围。 选修4_5 不等式选讲课 题：第07课时 不等式的证明方法之一：比较法一、引入：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可，即利用不等式的性质：二、典型例题：例1、设，求证：。例2、若实数，求证：证明：采用差值比较法： = = = = 讨论：若题设中去掉这一限制条件，要求证的结论如何变换？例3、已知求证本题可以尝试使用差值比较和商值比
11、较两种方法进行。 证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于对称，不妨设，从而原不等式得证。2）商值比较法：设 故原不等式得证。注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。例4、甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。甲有一半时间以速度行走，另一半时间以速度行走；乙有一半路程以速度行走，另一半路程以速度行走。如果，问甲、乙两人谁先到达指定地点。分析：设从出发地点至指定地点的路程是，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为。要回答题目中的问题，只要比较的大小就可以了。解：设从出发地点至指定地点的路程是，甲、乙两人走完这段路程所
12、用的时间分别为，根据题意有，可得，从而，其中都是正数，且。于是，即。从而知甲比乙首先到达指定地点。讨论：如果，甲、乙两人谁先到达指定地点？例5、设求证；对任意实数，恒有 （1）证明 考虑（1）式两边的差。 （2） 即（1）成立。五、作业：1比较下面各题中两个代数式值的大小：（1）与；（2）与.2已知 求证：（1） （2） 3若，求证 4比较a4-b4与4a3(a-b)的大小解： a4-b4 - 4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2) -4a3(a-b)= (a-b)(a3+ a2b+ab2+b3-4a3) = (a-b)(a2b-a3)+(ab3-a3)+(b3-a3)= - (
13、a-b)2(3a3+2ab+b2) = - (a-b)2 (当且仅当db时取等号) a4-b44a3(a-b)。5比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小6已知x0，比较(x2+1)2与x4+x2+1的大小7如果x0，比较与的大小8已知a0，比较与的大小9设x1，比较x3与x2-x+1的大小说明：变形是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是变形的常用方法。 阅读材料：琴生不等式例5中的不等式有着重要的数学背景，它与高等数学中的一类凸函数有着密切的关系，也是琴生（Jensen）不等式的特例。琴生在1905年给出了一个定义：设函数的定义域为a,b，如果对于a,b内
14、任意两数，都有 （1）则称为a,b上的凸函数。若把（1）式的不等号反向，则称这样的为a,b上的凹函数。凸函数的几何意义是：过曲线上任意两点作弦，则弦的中点必在该曲线的上方或在曲线上。其推广形式是：若函数的是a,b上的凸函数，则对a,b内的任意数，都有 （2） 当且仅当时等号成立。一般称（2）式为琴生不等式。 更为一般的情况是：设是定义在区间a,b上的函数，如果对于a,b上的任意两点，有其中，则称是区间a,b上的凸函数。如果不等式反向，即有则称是a,b上的凹函数。其推广形式 ，设，是a,b上的凸函数，则对任意有，当且仅当时等号成立。若是凹函数，则上述不等式反向。该不等式称为琴生（Jensen）不
15、等式。把琴生不等式应用于一些具体的函数，可以推出许多著名不等式。选修4_5 不等式选讲课 题：第08课时 不等式的证明方法之二：综合法与分析法一、引入：综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方法，也是不等式证明中的基本方法。由于两者在证明思路上存在着明显的互逆性，这里将其放在一起加以认识、学习，以便于对比研究两种思路方法的特点。所谓综合法，即从已知条件出发，根据不等式的性质或已知的不等式，逐步推导出要证的不等式。而分析法，则是由结果开始，倒过来寻找原因，直至原因成为明显的或者在已知中。前一种是由因及果，后一种是执果索因。打一个比方：张三在山里迷了路，救援人员从驻地出发，逐步寻找，直至找到他，
16、这是综合法；而张三自己找路，直至回到驻地，这是分析法。以前得到的结论，可以作为证明的根据。特别的，是常常要用到的一个重要不等式。二、典型例题：例1、都是正数。求证：证明：由重要不等式可得本例的证明是综合法。例2、设，求证证法一 分析法要证成立.只需证成立，又因，只需证成立，又需证成立，即需证成立.而显然成立. 由此命题得证。证法二 综合法 注意到，即，由上式即得，从而成立。议一议：根据上面的例证，你能指出综合法和分析法的主要特点吗？ 例3、已知a，b，m都是正数，并且求证： （1） 证法一 要证（1），只需证 （2） 要证（2），只需证 （3） 要证（3），只需证 （4） 已知（4）成立，所以
17、（1）成立。上面的证明用的是分析法。下面的证法二采用综合法。证法二 因为 是正数，所以 两边同时加上得两边同时除以正数得（1）。读一读：如果用或表示命题P可以推出命题Q（命题Q可以由命题P推出），那么采用分析法的证法一就是 （1）而采用综合法的证法二就是 如果命题P可以推出命题Q，命题Q也可以推出命题P，即同时有，那么我们就说命题P与命题Q等价，并记为在例2中，由于都是正数，实际上 例4、证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。分析：当水的流速相同时，水管的流量取决于水管横截面面积的大小。设截面的周长为，则周长为的圆的半径为
18、，截面积为；周长为的正方形为，截面积为。所以本题只需证明。证明：设截面的周长为，则截面是圆的水管的截面面积为，截面是正方形的水管的截面面积为。只需证明：。为了证明上式成立，只需证明。两边同乘以正数，得：。因此，只需证明。上式显然成立，所以 。这就证明了：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。 例5、证明：。 证法一 因为 （2） （3） （4）所以三式相加得 （5）两边同时除以2即得（1）。 证法二 因为 所以（1）成立。例6、证明： （1）证明 （1） （2） （3） （4） （5） （5）显然成立。因此（1）成立。例7、已知
19、都是正数，求证并指出等号在什么时候成立？分析：本题可以考虑利用因式分解公式 着手。证明： = = 由于都是正数，所以而，可知 即（等号在时成立）探究：如果将不等式中的分别用来代替，并在两边同除以3，会得到怎样的不等式？并利用得到的结果证明不等式： ，其中是互不相等的正数，且.三、小结： 解不等式时，在不等式的两边分别作恒等变形，在不等式的两边同时加上（或减去）一个数或代数式，移项，在不等式的两边同时乘以（或除以）一个正数或一个正的代数式，得到的不等式都和原来的不等式等价。这些方法，也是利用综合法和分析法证明不等式时常常用到的技巧。四、练习：1、已知求证：2、已知求证3、已知求证4、已知求证：（
20、1）（2） 5、已知都是正数。求证：（1） （2）6、已知都是互不相等的正数，求证选修4_5 不等式选讲课 题：第09课时 不等式的证明方法之三：反证法一、引入：前面所讲的几种方法，属于不等式的直接证法。也就是说，直接从题设出发，经过一系列的逻辑推理，证明不等式成立。但对于一些较复杂的不等式，有时很难直接入手求证，这时可考虑采用间接证明的方法。所谓间接证明即是指不直接从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假，或转而证明它的等价命题为真，以间接地达到目的。其中，反证法是间接证明的一种基本方法。反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾。具体地说，反证法不直接证明命题若p则q
21、，而是先肯定命题的条件p，并否定命题的结论q，然后通过合理的逻辑推理，而得到矛盾，从而断定原来的结论是正确的。利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；第二步 作出与所证不等式相反的假定；第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立。二、典型例题：例1、已知，求证：（且）例1、设，求证证明：假设，则有，从而 因为，所以，这与题设条件矛盾，所以，原不等式成立。例2、设二次函数，求证：中至少有一个不小于.证明：假设都小于，则 （1） 另一方面，由绝对值不等式的性质，有 （2） （1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。注意：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行。议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？ 例3、设0 a, b, c 1，求证：(1 ? a)b, (1 ? b)c, (1 ? c)
