1、二次函数的图象与性质教案二次函数的图象与性质教案教学目标知识与技能1.能正确画出二次函数y=x2和y=-x2的图象，探究出二次函数的图象的形状；2.理解二次函数y=x2和y=-x2中y随x的变化规律及二次函数图象的对称性；3.掌握二次函数y=x2和y=-x2图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；4.通过操作、探究的过程，提高学生对知识的理解和应用能力.过程与方法1.通过动手操作画二次函数y=x2和y=-x2的图象，发展几何直观，培养学生的动手能力，掌握其操作方法和技巧；2通过对二次函数y=x2和y=-x2图象的探究，理解这种形式的二次函数的特征，掌握解题的方法和技巧.情感、态度与价值观经过操作、探
2、究、总结和应用等数学活动，让学生感受数学中数形变化美，让学生感受到数学的严谨性和科学性，让学生感受到数学的应用在生活中无处不在.教学重点与难点重点：使学生会画二次函数y=x2和y=-x2的图象，能概括它们的性质.难点：理解并把握二次函数y=x2和y=-x2的图象的形状和性质特征.教学过程一、知识回顾，导入新课问题1：什么叫做二次函数？生：一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a0)的函数叫做x的二次函数.问题2：画函数图象的主要步骤是什么？生：(1)列表，(2)描点，(3)连线问题3：你能说说我们已经学习过的一次函数有哪些性质吗？生：一次函数y=kx+b(k，b都是常数，且k0)
3、中，当k0时，y随x的增大而增大，当k0时，y随x的增大而减小.思考：在二次函数y=x2中，y随x的变化而变化的规律是什么？你想直观地了解它的性质吗？二、探究交流，获取新知操作：请你画出二次函数y=x2的图象.(1)观察y=x的表达式，选择适当的x值，并计算相应的y值，完成下表：x-3-2-10123y9410149(2)在直角坐标系中描点：(3)用光滑的曲线连接各点，便得到函数y=x的图象.议一议：对于二次函数y=x2的图象.(1)你能描述图象的形状吗？与同伴进行交流.生：抛物线(2)图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？生：图象与x轴有交点.交点坐标是 (0，0).(3)当 x0时，
4、随着x值的增大，y的值如何变化？当 x0时呢？生：当 x0 时，y随x的增大而减小；当x0时，y随x的增大而增大.(4)当x取什么值时，y的值最小？最小值是什么？你是如何知道的？生：当x=0时，y的值最小，最小值是0.因为抛物线上的最低点坐标是 ( 0，0 ) .(5)图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点，并与同伴进行交流.生：图象是轴对称图形. 它的对称轴是y轴.对称点：(-3，9)与(3，9)关于y轴对称；(-2，4)与(2，4)关于y轴对称师生共同总结：1.函数y=x2的图象是一条抛物线，它的开口向上，且关于y轴对称.2.对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，它
5、是图象的最低点.做一做：二次函数y=-x2的图象是什么形状？先想一想，然后作出它的图象，它与二次函数 y=x2的图象有什么关系？与同伴进行交流.(1)列表：x-3-2-10123y-9-4-10-1-4-9(2)在直角坐标系中描点：(3)用光滑的曲线连接各点，便得到函数y=-x的图象.议一议：说说二次函数y=-x的图象有哪些性质，与同伴交流.(1)图象与x轴交于原点(0，0).(2)y0.(3)当x0时，y随x的增大而增大；当x0时，y随x的增大而减小.(4)当x=0时，y最大值=0.(5)图象关于y轴对称.例1画二次函数的图象. 三、知识拓展1.画出二次函数y=2x2的图象，根据图象回答下列
6、问题：(1)抛物线y=2x2的开口方向是怎样的？(2)抛物线y=2x2顶点坐标、对称轴各是多少？(3)当x为何值时，y随着x的增大而增大；当x为何值时，y随着x的增大而减小. (4)函数y有最大值还是最小值？为什么？2.给出下列四个函数： y=x， y=-x， y=x2， y=，当x0时，y随x的增大而减小的函数有( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个四、自我小结，获取感悟1.二次函数y=x2的图象是什么形状？2.二次函数y=x2有哪些性质？(1)位置与开口方向；(2)顶点坐标与对称轴；(3)增减性与最值.五、布置作业课本习题1.2的第1、2题.二次函数的图象与性质教案(2)教学目标知识
7、与技能1.能正确画出二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象，并会比较这两种二次函数的图象的不同点；2.把握系数a、c对二次函数图象的影响，理解二次函数y=ax2和y=ax2+c中y随x的变化规律及抛物线的平移规律；3.能说出二次函数y=ax2和y=ax2+c图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；4.通过操作、探究的过程，提高学生对基础知识的理解和运用能力.过程与方法1.通过动手操作画二次函数y=ax2和y=y=ax2+c的图象，培养学生的比较、鉴别能力；2通过对二次函数y=ax2和y=ax2+c图象的探究，理解这两种形式的二次函数的性质特征.情感、态度与价值观经过操作、探究、总结和应用等数学活动
8、，有趣的实际问题，使学生能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲.教学重点与难点重点：使学生会画二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象，并会进行比较异同，能根据图象概括出它们的性质特征.难点：正确理解二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象与系数的关系，能灵活运用其性质解决相关函数问题.教学过程一、知识回顾，导入新课1.如图是二次函数y=x2和y=-x2的图象，填写下表：函数图象形状开口方向对称轴顶点坐标y=x2抛物线向上y轴(0，0)y=-x2抛物线向下y轴(0，0)2.画一画在同一坐标系中，画出二次函数y=x2和y=2x2，x-3-2-10123y=x29410149y=2x218
9、8202818二、探究交流，获取新知思考：二次函数y=2x2的图象是什么形状？它与二次函数y=x2的图象有什么相同和不同？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？函数图象形状开口方向对称轴顶点坐标y=2x2抛物线向上y轴(0，0)y=2x2抛物线向上y轴(0，0)画一画：在刚才的坐标系中再画出二次函数y=x2的图象.探索交流：二次函数y=x的图象与y=2x、y=x的图象有什么相同和不同？相同点：函数图象形状开口方向对称轴顶点坐标y=x2抛物线向上y轴(0，0)y=2x2抛物线向上y轴(0，0)y=x2抛物线向上y轴(0，0)不同点：a的绝对值越大，抛物线的开口越小.做一做：在下列平面直角坐标
10、系中，作出y=-x2和y=-2x2的图象.生：动手操作画图，思考：它们与二次函数y=x2和y=2x2的图象又有什么异同？生：它们形状、对称轴和顶点坐标都是相同的，只是y=-x2和y=-2x2的图象开口向下.探究：函数y=3x2及y=-3x2的图象会有哪些特点？点拨：从二次函数的形状、开口方向、对称轴和顶点坐标几个方面回答.师生共同总结：y=ax2 (a0)的图象与性质特征，探究：二次函数y=2x2+2、y=2x2-2与二次函数y=2x2的图象有什么相同与不同？你是怎样想的，动手验证你的想法.生：学生动手操作，老师巡视，结论：1.二次函数y=2x2+2由二次函数y=2x2的图象向上平移2个单位；
11、2.二次函数y=2x2-2由二次函数y=2x2的图象向下平移2个单位.共同交流：二次函数y=-3x2+， y=-3x2-的图象与二次函数y=-3x2的图象有什么关系？生：让学生总结出它们之间的关系.思考：二次函数y=ax2 (a0) 的图象与y=ax2+c (a0) 的图象有什么异同？老师点拨：y=ax2及y=ax2+c(a0)的图象和性质：y=ax2+c的图象是由y=ax2的图象上下平移得到的，当c0 时，向上平移c个单位；当c0 时，向下平移c个单位.函数图象形状开口方向对称轴顶点坐标y=ax2抛物线a0向上a0向下y轴(0，0)y=ax2+c抛物线a0向上a0向下y轴(0，c)四、随堂练
12、习1.将抛物线y=-x2向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是( ).A. y=-(x+2)2 B.y=-x2+2 C.y=-x2+2 D. y=-(x-2)2 2.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-1 与x轴的交点的个数是( )A3 B2 C1 D03.坐标平面上有一函数y=24x2-48的图象，其顶点坐标为( )A. (0，-2) B. (1，-24) C.(0，-48) D.(2，48)4将抛物线y=x2+1向下平移2个单位，则此时抛物线的解析式是_5小汽车刹车距离s(m)与速度v(km/h)之间的函数关系式为，一辆小汽车速度为100km/h，在前方80m处停放一辆故障车，此时刹车
13、_有危险(填“会”或“不会”).例2、画二次函数的图象.五、自我小结，获取感悟1对自己说，你在本节课中学习了哪些知识点？有何收获？ 2.对同学说，你有哪些学习感悟和温馨提示？3.对老师说，你还有哪些困惑？六、布置作业习题1.2.二次函数的图象与性质教案(3)教学目标知识与技能1.能正确画出形如y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的二次函数的图象，并能理解它与y=ax2的图象的关系，理解a、h、k对二次函数图象的影响；2.能正确地说出y=a(x-h)2+k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；3.能灵活运用二次函数的图象和性质解决相关问题；4.通过对知识点的探究以达到灵活运动知识解答相关问题的
14、技能.过程与方法1.通过对二次函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象的画法的操作，性质的探究，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解； 2.经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程，培养学生的探索能力.情感、态度与价值观1.经历观察、猜想、总结等数学活动过程，培养学生合情推理能力和初步的演绎推理能力，能在条理地、清晰地阐述自己的观点；2.让学生学会与人合作，并能与他人进行交流思维的过程和结果.教学重点与难点重点：使学生能准确地作出这两种形式的二次函数图象，理解它们与y=ax2的图象关系，理解a、h、k对二次函数图象的影响，能正确说出y=a(x-h)2+k图象的开口方向、
15、对称轴和顶点坐标，准确把握二次函数的性质特点.难点：理解并把握二次函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象的性质特征，并会运用性质解决相关问题.教学准备多媒体课件教学过程一、知识回顾，导入新课问题1：根据你所学知识回答下列各问题，1.函数y=x2+3的图象的顶点坐标是_；开口方向是_；最_值是_.2.函数y=-2x2+3的图象可由函数_的图象向_平移_个单位得到.3.把函数y=-3x2的图象向下平移2个单位可得到函数_的图象.问题2：你会用类比法画二次函数y=2(x-1)2的图象吗？它与y=2x2有什么异同吗？它有哪些性质呢？二、探究交流，获取新知请你在同一坐标系中画出下列函数的图
16、象：(1)y=2x2 (2)y=2(x-1)2完成下表：x-4-3-2-1012342x22(x-1)2观察上表，你能发现2(x-1)2与2x2的值有什么关系？生：在同一坐标系中画出这两个函数图象，议一议：(1)二次函数y=2(x-1)2的图象与y=22的图象有什么关系？生：二次函数y=2(x-1)2的图象是由二次函数y=2x2的图象向右平移1个单位得到的.(2)二次函数y=2(x-1)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？生：开口向上，对称轴为x=1，顶点坐标为(1，0)(3)二次函数y=2(x-1)2当x取何值时，y的值随x值的增大而增大？当x取何值时，y的值随x值的增大而减小？
17、生：当x1时，y的值随x值的增大而增大；当x1时，y的值随x值的增大而减小.(4)你能发现二次函数y=2(x-1)2的图象与二次函数y=2x2的图象有什么关系吗？生：二次函数y=2(x-1)2的图象是由二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位得到的.结论：二次函数y=2x2，y=2(x-1)2，y=2(x+1)2的图象都是抛物线，并且形状相同，只是位置不同. 将函数y=2x2的图象向右平移1个单位长度，就得到函数y=2(x-1)2的图像；将函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度，就得到函数y=2(x+1)2的图像.想一想：由二次函数y=2x2的图象，你能得二次函数y=2x2-，y=2(x+3
18、)2，y=2(x+3)2-的图象吗？生：由二次函数y=2x2的图象向下平移个单位长度可得二次函数y=2x2-的图象；由二次函数y=2x2的图象向左平移3个单位长度能得二次函数y=2(x+3)2的图象；由二次函数y=2x2的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移个单位长度，能得二次函数y=2(x-3)2-的图象.归纳总结：二次函数y=a(x-h)2+k与二次函数y=ax2的图象有什么关系？二次函数y=a(x-h)2+k的图象是由二次函数y=ax2的图象先向左(或向右)平移|h|个单位长度，再向上(或向下)平移|k|个单位长度得到的.H0时，图象向左平移；h0时，图象向右平移.k0时，图象向下平移
19、；k0时，图象向上平移.一般地，平移二次函数y=ax2的图象便可得到二次函数y=a(x-h)2+k的图象.因此，二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条抛物线，它的开口方向、对称轴和顶点坐标如下表所示：开口方向对称轴顶点坐标y=a(x-h)2+k向上(a0)直线x=h(0，0)向下(a0)三、随堂练习1.回答下列问题：(1)二次函数y=3(x+2)2的图象与二次函数y=-3x2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？(2)对于二次函数y=-3(x+2)2当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大？当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小？2.下列二次函数中
20、，图象以直线x=2为对称轴、且经过点(0，1)的是( )A.y=(x-2)2+1 B.y=(x+2)2+1 C.y=(x-2)2-3 D.y=(x+2)2-33.将抛物线y=2(x-1)2向左平移1个单位后所得到的新抛物线的表达式为_.4.将抛物线y=-x2先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后，得到的抛物线的表达式为_5.若把函数y=x的图象用 E(x，x)记，函数y=2x+1的图象用 E(x，2x+1)记，则E(x，x2-2x+1)可以由 E(x，x2)怎样平移得到( )A.向上平移1个单位 B.向下平移1个单位 C.向左平移1个单位 D.向右平移1个单位例3、画函数y=(x-2)2的图
21、象.六、自我小结，获取感悟1.y=a(x-h)2+k的图象特征.2.y=a(x-h)2+k的图象与y=ax2的图象的关系.七、布置作业习题1.2.二次函数的图象与性质教案(4)教学目标知识与技能1.会用配方法将y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k形式，体会建立二次函数的对称轴和顶点坐标公式的必要性；2.能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决有关函数问题；3.掌握系数a、b、c对二次函数图象的影响和作用；4.通过操作、探究的过程，提高学生对知识的理解和把握能力.过程与方法1.通过对二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质的探究，培养学生的概括能力，解决实际问题的能力；2通过学生的合
22、作交流来解决函数问题，培养学生的合作交流能力.情感、态度与价值观1.经历将一些实际问题抽象为数学问题的过程，掌握数学的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题；2.初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用.教学重点与难点重点：使学生会运用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决实际问题.难点：理解并把握数学问题与实际问题相联系的过程.教学准备：多媒体课件教学过程一、知识回顾，导入新课问题1：二次函数y=-2(x-3)2+5的开口_，对称轴是_，顶点坐标是_.当x=_时，y有最_值，是_；当x_时，y随x的增大而增大；当x_时，y随x的增大而减小. 它是由二次函数y=-2x2先向_平移_个
23、单位长度，再向_平移_个单位长度得到的.问题2：对于二次函数y=a(x-h)2+k (1)当a0时，它的开口_，对称轴是_，顶点坐标是_.当x=_时，y有最_值是_；当x_时，y随x的增大而增大；当x_时，y 随x的增大而减小. (2)当a0时，它的开口_，对称轴是_，顶点坐标是_.当x=_时，y有最_值是_；当 x_时，y随x的增大而增大；当x_时，y随x的增大而减小. 问题3：我们已经认识了形如y=a(x-h)2+k的二次函数的图象和性质，你能研究二次函数y=2x2-4x+5的图象和性质吗？二、探究交流，获取新知请你利用已学过的知识将二次函数y=2x2-4x+5化成y=a(x-h)2+k的
24、形式.解： y=2x2-4x+5=2(x2-2x)+5=2(x2-2x+1-1)+5=2(x-1)2-2+5=2(x-1)2+3三、例题讲解例1：求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点坐标.解析：要求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点坐标. 只需将它化为y=a(x-h)2+k的形式.解：y=2x2-8x+7=2(x2-4x)+7=2(x2-4x+4)-8+7=2(x-2)2-1因此，二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴是直线x=2，顶点坐标为(2，-1).做一做：确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：(1)y=3x2-6x+7 (2)y=2x2-12x+8生：学生解
25、答，教师巡视，发现问题即时解答.例2:求二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴和顶点坐标.生：指点一名学生上黑板解答，教师点拨.解：把二次函数y=ax2+bx+c的右边配方，得：y=ax2+bx+c=a(x2+x)+c=ax2+2x+()2-()2+c=a(x+)2+ 因此，二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴是直线 x=-，顶点坐标为(-，).点拨：由此我们把此称之为求二次函数图象的对称轴和顶点坐标的公式四、随堂练习1.如图2-6所示，桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线，按照图中的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用y=x2+x+10表示，而左、右两条抛物线关于y轴对称.(1)钢缆的最低点到
26、桥面的距离是多少？(2)两条钢缆最低点之间的距离是多少？2.用配方法确定下列函数的对称轴和顶点坐标(1)y=2x2-12x+3； (2)y=-5x2+80x-319；(3)y=2(x-)(x-2)； (4)y=3(2x+1)(2-x).合作交流：二次函数图象与系数a、b、c之间有何关系？a决定抛物线的形状、开口方向当a0时，抛物线开口向上，当a0时，抛物线开口向下，越大抛物线的开口越小.b影响对称轴的位置当ab0时，抛物线的对称轴在y轴的左侧；当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，当ab0时，抛物线的对称轴在y轴的右侧.c确定抛物线与y轴的交点位置当c0时，抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，当c
27、=0时，抛物线经过坐标原点，当c0时，抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上例4、画二次函数的图象.例5、已知某抛物线的顶点坐标为(-2，1)，且与y 轴相交于点(0，4)，求这个抛物线所表示的二次函数的表达式. 例6、求二次函数的最大值. 五、挑战自我：1.对于二次函数y=2(x+1)(x-3)，下列说法正确的是( )A.图象的开口向下 B.当x1时，y随x的增大而减小C.当x1时，y随x的增大而减小 D.图象的对称轴是直线x=-12.(2014遵义)已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是( ) A. B. C. D.3.若一次函数y=x2-2x+c的图象与y轴的交为(0，-3)，则此二次函数有( )A.最小值-2 B.最小值-3 C.最小值-4 D.最大值-44.二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴交于点A(-1，0)，B，顶点为P，求PAB的面积.六、自我小结，获取感悟1对自己说，你在本节课中学习了哪些知识点？有何收获？2.对同学说，你有哪些学习感悟和温馨提示？3.对老师说，你还有哪些困惑？七、布置作业习题1.2
