1、第2篇 构件的强度、刚度和稳定性,第5章 基本知识与构件变形的基本形式,第6章 轴向拉伸和压缩,第7章 剪切与挤压,第8章 扭转,第9章 梁的内力,第10章 截面几何性质,第11章 梁的应力及强度计算,第12章 梁的变形,第13章 组合变形的强度条件,第14章 压杆稳定,第5章 基本知识与构件变形的基本形式,5.1 基本任务,5.2 关于变形固体的概念,5.3 基本假设,5.4 构件变形的基本形式,小结,5.1 基本任务5.1.1 强度要求：强度，是指材料或构件抵抗破坏的能力。,2007年6月，九江大桥约200米桥面坍塌,2008年2月，咸宁学院篮球馆被大雪压塌,5.1.2 刚度要求：刚度，是
2、指构件抵抗变形的能力。,美国Tacoma大桥在风荷载作用下的变形,起重臂变形过大影响起重机正常工作,5.1.3 稳定性要求：稳定性，是指细长受压构件保持直线平衡形式的能力。压杆失去直线平衡形式称为失稳。,18811897年间，世界上有24座较大金属桁架结构桥梁发生整体破坏；1907年，加拿大跨长548米的奎拜克大桥倒塌，研究发现是受压杆件失稳引起的。,5.2 关于变形固体的概念,变形固体：在外力作用下形状和尺寸发生变化的固体。,弹性变形：指变形固体上的外力去掉后可消失的变形。,塑性变形：指变形固体上的外力去掉后不可消失的变形。,完全弹性体：指在外力作用下只有弹性变形的固体。,部分弹性体：指在外
3、力作用下产生的变形由弹性变形和塑性 变形两部分组成的固体。,小变形：构件在荷载作用下产生的变形与构件本身尺寸相比 是很微小的。反之，称为大变形。本章研究内容限于小变形范围。,5.3 基本假设连续、均匀假设：假设物体在其整个体积内毫无空隙地充满了物质，且物体的性质各处都一样。各向同性假设：假设材料沿不同方向具有相同的力学性能。若材料沿不 同方向具有不同力学性能，则称为各向异性材料。弹性假设：假设作用于物体上的外力不超过某一限度时，可将物体看成 完全弹性体。总之，本篇把构件视为连续、均匀、各向同性的可变形固体，且只研究弹性阶段的小变形问题。,5.4 构件变形的基本形式杆件：指长度远大于横向尺寸的构
4、件，简称杆。等截面的直杆简称为等直杆。杆件变形的4种基本形式：1.轴向拉伸或压缩,F,F,在一对方向相反、作用线与杆轴线重合的外力作用下，杆件将发生长度的改变（伸长或缩短）,2.剪切,在一对相距很近，大小相等、方向相反的横向外力作用下，杆件的横截面将沿外力方向发生相对错动。,F,F,3.扭转,Me,Me,在一对大小相等、方向相反、位于垂直杆轴线的两平面内的力偶作用下，杆的相邻两横截面绕轴线发生相对转动。,4.弯曲,M,M,在一对大小相等、方向相反、位于杆的纵向平面内的力偶作用下，杆将在纵向平面内发生弯曲。,小结,基本任务 本篇研究对象是构件，研究的主要内容是构件的强度、刚度 和稳定性以及材料的
5、力学性能。,关于变性固体 1）具有可变形性质的固体称为可变形固体。2）变形固体上的外力去掉后可消失的变形叫弹性变形，变形固体上的 外力去掉后不可消失的变形叫塑性变形（残余变形）。3）在外力作用下只有弹性变形的固体叫完全弹性体。而在外力作用下 产生的变形由弹性变形和塑性变形两部分组成的固体叫部分弹性体。,构件变形的基本形式 轴向拉伸或压缩、剪切、扭转、弯曲。,基本假设 将构件视为连续、均匀、各向同性的可变形固体，且只研究 弹性阶段的小变形问题。,应注意的问题 区分第一篇和第二篇的基本概念。,第6章 轴向拉伸和压缩,6.1 轴向拉(压)杆横截面的内力、轴力图,6.2 应力和应力集中的概念,6.3
6、轴向拉(压)杆的强度计算,6.4 轴向拉(压)杆的变形计算,小结,6.5 材料在拉伸、压缩时的力学性能,6.6 轴向拉压超静定问题,6.1 轴向拉（压）杆横截面的内力、轴力图,A,B,C,F,F,F,D,E,G,K,H,轴向力：外力的作用线与杆的轴线重合。,轴向拉力（拉力）：使杆件伸长的轴向力。,轴向压力（压力）：使杆件缩短的轴向力。,F,F,F,F,拉杆,压杆,轴力：拉压杆横截面上的内力。,求解内力的方法截面法,1）用假想的垂直于轴线的截面沿所求内力处切开，将构件分为两部分。,2）取两部分中的任意部分为脱离体，用相应的内力代替另一部分对脱离 体的作用。,3）对脱离体建立静力平衡方程，求未知内
7、力的大小。,F,A,B,C,FR,FN,FN,C,C,例6-1 一杆件所受外力经简化后，其计算简图如图所示，试求各段截面上的轴力。,3kN,3kN,FN2,FN3,FN3,解：在第I段杆内，取左段为脱离体,在第III段杆内，若取右段为脱离体,在第II段杆内，取左段为脱离体,在第III段杆内，取左段为脱离体,6.2 应力和应力集中的概念,6.2.1 截面上一点的应力,应力：截面上的内力的分布集度。,C,一点处应力的两个分量：正应力：垂直于截面的分量；切应力：与截面相切的分量。,应力单位：Pa,1Pa=1N/常用单位：MPa,1MPa=106 Pa GPa，1MPa=109 Pa,由此，C点的应力
8、为,6.2.2 拉（压）杆横截面上的正应力,C,轴力：,FN,正应力：,证明:(1)平面假设（2）纵向纤维伸长量相等（3）正应力在横截面均匀分布,6.2.3 拉（压）杆斜截面上的应力,斜截面上的应力：,1,1,2,2,由横截面上的正应力：,得,斜截面上应力的两个分量为,正应力,切应力,当，,当，,6.2.4 应力集中的概念,应力集中:是指在构件截面突然变化处，局部应力远大于平均应力。这种应力在局部剧增的现象称为应力集中。,圆孔附近的变形,不同截面处的应力,1,F,F,d,b,理论应力集中系数,解：（1）求截面1-1和2-2的轴力。取截面1-1上部为脱离体 取截面2-2上部为脱离体（2）求应力,
9、例6-2 图为一正方形截面的阶形砖柱，柱顶受轴向压力F作用。上段柱重为W1，下段柱重为W2。已知F=15kN，W1=2.5kN,W2=10kN,l=3m。求上、下段柱的底截面1-1和2-2上的应力。,l,l,1,2,1,2,400,200,F,A,B,C,W1,W2,F,6.3 轴向拉（压）杆的强度计算极限应力：指材料丧失工作能力时的应力，记为 安全因数：设计构件时给构件的安全储备，许用应力：构件在工作时允许承受的最大工作应力。,确定安全因数的因素：（1）实际荷载与设计荷载的出入；（2）材料性质的不均匀性；（3）计算结果的近似性；（4）施工、制造和使用时的条件。,拉（压）杆的强度条件轴向拉压杆
10、满足强度条件，必须保证杆件的最大工作应力不超过材料的许用应力，即,求解工程实际中有关强度计算的3类问题（1）强度校核（2）选择截面（3）确定需用荷载,例6-3 一钢筋混凝土组合屋架的计算简图如图所示。其中F=13kN,屋架的上弦杆AC和BC由钢筋混凝土制成，下弦杆AB为圆截面钢拉杆，直径为2.2cm。钢的许用拉应力=170MPa,试校核该拉杆的强度。,以C为矩心建立平衡方程：,得,（3）求拉杆横截面上的正应力,故拉杆安全,解：,（1）由屋架及荷载对称求支座反力,（2）用截面法求拉杆轴力,F/2,F/2,F,A,FA,F,C,1440,1441,200,1442,1441,FN,FCx,FCy,
11、例6-4 一空心铸铁短圆筒柱，顶部受压力F=500kN,筒的外径D=25cm，如图所示。已知铸铁的许用应力=30MPa，试求筒壁厚度。圆筒自重可略去不计。,则筒的内径值为,由此得筒壁厚度的最小尺寸为,最后选用=2.5cm,即筒的内径为20cm。,因此,圆环面积为,解：先求出所需横截面面积A,例6-5 如图所示某三脚架。钢拉杆AB长2m，其截面积为 A1=6cm2，许用应力为。BC为木杆，其截面积为A2=100cm2，许用应力为。试确定该结构的许用荷载F。,解：（1）截取节点B为脱离体,求出两杆轴力与力F之间的关系：,联立可得,（2）求杆件允许的最大轴力。,先让杆1充分发挥作用，求出最大轴力为,
12、所以许用荷载为,FN1,FN2,由此值求杆2的应力，并带入强度条件，有,故杆2应力已超过许用应力，所以必须降低许用荷载。为此，若让杆2充分发挥作用，有,求得杆2的许用荷载为,故此三脚架的许用荷载值由杆2确定，其大小为F=40.4kN。,6.4 轴向拉（压）杆的变形计算6.4.1 线变形和线应变,F,F,拉杆,压杆,l,l,l,l,杆件的变形,l,l,线应变：指杆件单位长度的变形。,线应变是无量纲量，拉应变为正，压应变为负。,6.4.2 胡克定律,比例常数E为弹性模量，是反映材料在弹性阶段抵抗变形的能力的一个量。其值由试验确定。,弹性模量的纲量与应力相同：,胡克定律：由试验证明，大多数建筑材料，
13、在变形不超过弹性范围时，其正应力与相应的纵向线应变成正比。即,Pa,MPa,GPa,6.4.3 拉（压）杆的轴向变形,根据胡克定律有,因为,得,即拉压杆的轴向变形与轴力和杆长成正比，与弹性模量和截面面积成反比。EA反映了杆件抵抗变形的能力，称为拉压杆的抗拉压刚度。,6.4.4 拉（压）杆的横向变形,F,F,F,F,拉杆,压杆,d1,l1,l1,d1,d,d,l,l,杆件的横向变形,横向线应变：,在弹性范围内，杆件的横向线应变与轴向线应变的比值，称为泊松比。,弹性模量和泊松比都是表征材料弹性的常量，其值由试验确定。,例6-6 图为一两层的排架，横木搁在立柱上，作用于横木上的荷载全传给立柱。设在由
14、横木传给柱子的荷载作用下，柱子在轴向受力状态下工作，其中一根柱子的计算简图如图所示。柱的截面是20cm20cm的正方形。求柱子上段及下段的内力、应力、应变及变形，并求柱的总形变。设木材顺纹受压的弹性模量E=10GPa。,100kN,100kN,解：（1）上段（图c）,或,（2）下段（图d）,100kN,100kN,100kN,100kN,100kN,FN1,FN2,b),c),d),或,（3）全柱的总变形,负号表示柱子的变形为缩短。,100kN,100kN,b),例6-7 某等截面柱高l，横截面面积A，材料重度。求整个杆件由自重引起的线变形l。,解：以柱顶O为坐标原点建立x轴，向下为正。取x截
15、面上部为脱离体如图所示，得轴力方程为,应力方程为,应变方程为,在x截面临近取一微段dx，如图所示，其变形为,l,O,x,dx,O,FN,FN,FN,全柱的线变形为,另外，柱的总重为，假设把柱的总重作为一个集中 荷载加于柱顶，如图所示，则全柱的变形为,6.5 材料在拉伸、压缩时的力学性能6.5.1 试件简介,标准拉伸试验试件：对于直径为d的圆截面试件，规范中规定L=10d 或 L=5d，对于面积为A的扁矩形截面试件，规范中规定 或,标准压缩试件：圆截面或方截面短柱体的长度与直径或边长的比值取1-3。,试验设备：,万能试验机,电阻应变仪,试验名称：材料在常温、静载下的拉伸与压缩试验。,6.5.2
16、材料在拉伸时的力学性能,1.低碳钢拉伸时的力学性能,应力-应变图,A,B,C,D,B,O,b,p,s,荷载-变形图,（1）拉伸曲线,（2）变形发展的4个阶段,第一阶段弹性阶段（OA）,应力与应变呈线性关系，材料服从虎克定律，OA线的斜率为材料的弹性模量E。应力应变呈线性关系的最大应力称为比例极限 p另外，材料还存在弹性极限，其值略高于比例极限，由于二者十分接近，所以工程上很少提及。,b,第二阶段屈服阶段（BB）,b,此阶段应力几乎不变，而变形却急剧增大，这种现象称为屈服或流动。材料发生屈服时的应力用 s表示，称为屈服极限。此阶段杆件表面45方向出现滑移线。,F,F,第三阶段强化阶段（BC）,b
17、,经历了屈服之后，材料的内部结构重新得到了调整，抵抗变形的能力又有所回复，此时，要使试件继续变形，需要增大应力，这种现象称为强化。强化阶段材料产生弹性和塑性变形，强化阶段的最高点，所对应的应力称为强度极限，用b 表示。,第四阶段颈缩阶段（CD）,b,此阶段试件中某一薄弱截面显著收缩成颈，称为颈缩现象。材料变形增大，应力反而下降，最后导致材料在D点拉断。,（3）材料的塑性指标,1）断后伸长率d：试件断裂后的长度L1减去原长L除以原长的百分比。,2）断面收缩率：试件原面积A减去断裂后断口处的面积A1除以原 面积的百分比。,A,B,C,D,B,O,（4）卸载定律,冷拉时效 构件卸载后在室外放置一段时
18、间后再加载，将获得更高的强度指标，材料的弹性极限得到进一步提高，这种现象称作冷拉时效。,冷作硬化 在低碳钢拉伸过程中，首次加载到超过弹性阶段的某一时刻卸载，则卸载曲线mn 基本上与OA平行，卸载后弹性变形消失，卸去的应力与卸去的应变成正比，即,这叫卸载规律。,卸载后继续加载，此时应力应变曲线为mnCD,材料的弹性极限有所提高，这种现象称作冷作硬化。,n,m,2.其它几种材料拉伸时的力学性能,对于没有明显屈服阶段的塑性材料，取塑性变形为0.2%时所对应的应力值作为条件屈服极限，以 表示。,铸铁的拉伸图,典型的脆性材料铸铁，没有变形的四个阶段，在较小的变形下发生脆断破坏。由于没有明显的弹性阶段，故
19、其弹性模量用一条割线的斜率代替，称作割线弹性模量。,脆性材料的强度指标为：抗拉强度,6.5.3 材料在压缩时的力学性能,1.塑性材料压缩时的力学性能,低碳钢材料在屈服阶段前，拉伸和压缩曲线基本重合，拉压弹性模量和屈服点相同。进入强化阶段后，试件压缩时的应力随着应变的增长急剧增大。试件变为鼓形，不可能压碎。,2.脆性材料压缩时的力学性能,脆性材料受压时的变形和强度远高于受拉情况。铸铁受压时大致沿与轴线成45方向的斜面上发生剪切破坏。,其它常用材料的力学性能,混凝土材料 由水泥、沙子、石子、添加剂、水混合而成，属于脆性材料。,上下表面不加润滑剂受压时的破坏形式。,上下表面涂抹润滑剂受压时的破坏形式
20、。,3.木材的力学性能,木材属各向异性材料，其顺纹方向的强度要比横纹方向的强度高的多，且其抗拉强度高于抗压强度。,顺纹拉伸,顺纹压缩,横纹压缩,4.塑性材料和脆性材料比较,1）塑性材料在弹性范围内，应力应变成正比，而脆性材料不具有严格 线性关系。,2）塑性材料断裂时伸长率大，塑性好，而脆性材料伸长率小，塑性差。,3）塑性材料屈服前，抗拉和抗压性能基本相同，而脆性材料抗压强度 远高于抗拉强度。,4）塑性材料承受动荷载的能力强，而脆性材料承受动荷载的能力差。,5）塑性材料的力学性能指标有弹性极限、屈服极限、强度极限、伸长 率、截面收缩率等，而脆性材料只有强度极限。,6）塑性材料屈服时发生较大塑性变
21、形，虽没产生断裂破坏，但变形过,大将影响构件的正常工作；脆性材料的破坏形式为突发性脆断。,6.6 轴向拉压超静定问题,基本概念,静定结构 结构的反力和内力可利用静力平衡方程求得，该类问题称为静定问题，其结构称为静定结构。,超静定结构 单凭静力平衡方程不能求解结构的全部反力和全部内力，这类问题称为超静定问题，其结构称为超静定结构。,多余约束 维持结构平衡的多余约束或构件，称为多余约束。其对应的支反力或内力，称为多余未知力。,超静定次数 指多余未知力的个数。,超静定问题的解法,C,FA,FB,（1）静力方面,（2）几何方面,（3）物理方面,（3）代入（2）得,代入（1）得,三方面,超静定问题的一般
22、解法,1）判断超静定次数n。,2）根据静力平衡原理列出独立的平衡方程。,3）根据变形与约束情况应互相协调的要求列出变形几何方程。,4）根据胡克定律列出相应的物理方程。,5）将物理方程代入几何变形方程并化简得到补充方程。,6）联立解平衡方程和补充方程，即可得出全部未知力。,例6-8 图示结构由刚性杆AB及两弹性杆EC及FD组成，在B端受力F作用。两弹性杆的刚度分别为E1A1和E2A2。试求杆EC和FD的轴力。,F,E,a,D,C,B,F,A,F,A,B,C,D,FN1,FN2,FAy,FAx,C,D,解：受力分析 该结构为一次超静定,（1）静力方面。取脱离体如图有,（2）几何方面,（3）物理方面
23、,解得,小结,轴向拉（压）杆的轴向内力称为轴力，截面法求解内力。,正应力应力集中的概念,轴向拉（压）杆的强度计算,（1）截面上一点的应力,（2）正应力,（3）斜截面上的应力,（4）应力集中的概念,强度计算一般有三类问题,（）强度校核,（）设计截面,（）确定许用荷载,（1）变形分4个阶段：弹性阶段屈服阶段强化阶段颈缩阶段（2）3个强度指标：（3）弹性模量（4）两个塑性指标,轴向拉（压）杆的变形计算,轴向拉（压）杆的轴向线应变,轴向拉（压）杆的横向线应变,泊松比,胡克定律,轴向拉（压）杆的变形利用胡克定律求得,材料在拉伸压缩时的力学性能,（5）卸载定律冷作硬化拉冷时效,解超静定问题的一般步骤：（）
24、根据约束性质，正确分析约束反力，确定超静定次数。（）根据静力平衡原理列出全部独立的平衡方程。（）根据变形几何关系，列出变形协调方程。（）将物理关系式代入变形协调方程，得出补充方程。（）将平衡方程与补充方程联立，求出全部未知力。,轴向拉（压）超静定问题,第7章 剪切与挤压,7.1 剪切与挤压的概念及工程实例,7.2 剪切的实用计算,7.3 挤压的实用计算,小结,7.1 剪切与挤压的概念及工程实例,当杆件受到大小相等、方向相反、作用线与轴线垂直且相距很近的横向力作用下，杆件的横截面将沿外力方向发生相对错动，产生剪切变形。,F,F,剪切面,切应变，横截面与纵向线形成的直角的改变量。,工程实例连接构件
25、中的剪切变形,7.2 剪切的实用计算,连接件的三种破坏形式,1）连接件被剪坏,2）连接处局部挤压引起连接松动,3）被连接件被拉断,F,F,1.剪切面的剪力和切应力实用计算,F,F,F,FS,Fs 剪切面上的剪力A 剪切面面积,F,F,F,F,一个剪切面上的平均剪力,一个剪切面上的平均剪力,F,F/2,F/2,F,F,2.剪切强度条件,钢材的许用切应力,F,切应力,切应力强度条件,7.3 挤压的实用计算,挤压面积,名义挤压应力,挤压强度条件,挤压面积,材料的许用挤压应力,钢材的许用挤压应力,材料的许用压应力,例7-1 两块钢板用3个直径相同的铆钉连接，如图所示。已知钢板宽度b=100mm，厚度=
26、10mm，铆钉直径d=20mm，铆钉许用切应力=100MPa,铆钉许用挤压应力bs=300MPa，钢板许用拉应力=160MPa。试求许用荷载F。,解：,由此可得许用剪力,即,（1）按剪切强度条件求F,每个铆钉所受剪力为,据切应力强度条件,（2）按挤压强度条件求F,每个铆钉承受的挤压力为,据挤压强度条件,由此可得许用挤压力,即,（3）按连接板拉伸强度条件求F。,如图，1-1为危险截面。有,由此可得,式中，,故应选取最小的荷载值作为此连接结构的许用荷载，取 F=94.2kN,即,例7-2 如图所示为一普通螺栓连接接头，受拉力F作用。已知：F=100kN。钢板厚=8mm，宽b=100mm，螺栓直径d
27、=16mm。螺栓许用应力=145MPa,bs=340MPa,钢板许用拉应力=170MPa。试校核该接头的强度。,解：（1）螺栓的剪切强度校核。,沿螺杆的剪切面切开，受力分析,假定每个螺栓所受的力相同，则剪力为,由于,所以满足强度要求。,得,（2）螺杆同板之间的挤压强度校核。,由,式中每个螺杆所收到的挤压力,所以,因此，安全。,根据轴向拉伸强度的校核公式,得,也满足强度要求。,第2排有两个孔，截面被削弱得较多，需校核。,(3）板的拉伸强度校核。,板的圆孔对板的截面面积的削弱，故对板需进行拉断校核。沿第1排孔的中心线偏右将板截开，取右部为脱离体，假定拉应力均匀分部，有平衡条件,第3排孔的截面积受到
28、的内力比第2排孔小，而截面积大，所以更安全。,所以，安全。,于是有平衡条件,如图截面2-2，取脱离体如图示,所以,而,小结,剪切变形是杆件的基本变形之一。剪切时的内力的方向总是作用与横截面内。与剪切对应的切应力 作用在横截面内。以两个作用力间的横截面为分界面，构件两部分沿该面（剪切面）发生相对错动。了解铆接和螺栓联接构件的实用计算。（1）铆钉的剪切强度条件：（2）铆钉或连接板钉孔壁的挤压强度条件：（3）连接板的拉伸强度条件：在求解此类问题的过程中，关键在于确定剪切面和挤压面。,第8章 扭转,8.1 概述,8.2 扭矩的计算及扭矩图,8.3 薄壁圆筒扭转时横截面上的切应力,8.4 切应力互等定理
29、和剪切胡克定律,8.5 实心圆轴扭转时的应力和强度条件,小结,8.6 等直圆杆的扭转变形、刚度条件和 扭转超静定问题,8.1 概述扭转受力：作用面垂直于杆件轴线、等值、反向的两个力偶 作用，杆件发生扭转变形。变形特点：横截面绕轴线发生转动。,门过梁,相对扭转角：两个截面的相对转角。,工程实例,8.2 扭矩的计算及扭矩图8.2.1 外力偶矩的计算,外力偶矩：使杆件产生扭转变形的力偶矩。记为Me,一般情况下，已知传动轴的功率P（kW),传动轴的转数 n(r/min)。,由此得外力偶矩 Me=9549P/n(Nm),则由功率计算每分钟做功：W=P100060,外力偶矩每分钟所做的功 W=Me=Me
30、2n,8.2.2 扭矩及扭矩图,1.扭矩：由截面法计算横截面上的扭矩,T=Me,由平衡方程 Mx=0,得,正负号：右手螺旋法则，使四指沿扭矩的转向握住圆杆，若拇指的指向离开截面向外为正，反之为负。,2.扭矩图：横坐标平行于轴线，纵坐标代表扭矩的大小。正扭矩位于轴线上方，负扭矩位于轴线下方。,例8-1 试作出图示圆轴的扭矩图。,解：（1）截面法,在1-1处切开，取左段分离体，,根据平衡方程,得,在2-2处切开，取左段分离体。,得,在3-3处切开，取右段为分离体。,（2）根据各段扭矩值绘图,由,得,由,例8-2 如图所示传动轴，A轮为主动轮，输入功率 从动轮B、C的输出功率为，从动轮D的输出功率，
31、传动轮的转速为n=300r/min。试画出此轴的扭矩图。,解：（1）计算外力偶矩,（2）计算各段扭矩,BC段,CA段：,AD段：,（3）画扭矩图可以看出,8.3 薄壁圆筒扭转时横截面上的切应力,线弹性、小变形范围内，薄壁圆筒受扭变形：平面假设：各圆周线形状、大小不变，变形前为平面的横截面，变形后仍为平面；圆周只绕轴线转动一个角度，圆筒没有横向和纵向线应变。各纵向线倾斜相同角度，横截面上有切应力，薄壁构件切应力沿壁厚均匀分布。,横截面上的切应力：,8.4 切应力互等定理和剪切胡克定律8.4.1 切应力互等定理,从薄壁圆筒中取一单元体，由单元体平衡方程得：,即,切应力互等定律 在两个互相垂直的截面
32、上的切应力必然成对存在，而且大小相等，其方向或共同指向两平面的交线，或共同背离两截面的交线。,8.4.2 剪切胡克定律,纯剪切应力状态：单元体侧面上只有切应力而无正应力的应力状态。,剪切胡克定律：在线弹性范围内，切应力与切应变成正比。,G材料的切变模量,在弹性范围内，切变模量，弹性模量和泊松比之间的关系为：,8.5 实心圆轴扭转时的应力和强度条件8.5.1 应力计算,1.试验现象的观察与分析,平截面假定：各圆周线绕轴线转 动，且大小，形状不变。纵向线倾斜相同角度。由几何关系和物理关系可知横 截面切应力的分布规律。,2.圆轴扭转时横截面内的切应力,圆轴扭转时横截面上的切应力公式,切应力在横截面上
33、的分布如图所示。即切应力沿半径方向按直线规律变化，在与圆心等距离的各点处，切应力均相等。,实心圆轴,称为极惯性矩。,空心圆轴,8.5.2 强度条件,塑性材料受扭：试件在最大切应力处产生屈服破坏。即沿横截面产生剪断破坏。,脆性材料受扭：沿最大拉应力作用的斜截面发生拉断破坏。,塑性材料极限应力：屈服应力脆性材料的极限应力：抗剪强度,许用切应力,n 安全系数,在常温下，材料的许用切应力和拉伸许用应力的关系为,塑性材料：脆性材料：,圆轴扭转的强度条件,抗扭截面系数,实心圆轴,空心圆轴,8.6 等直圆杆的扭转变形、刚度条件和扭转超静定问题8.6.1 等直圆杆的扭转变形计算,计算扭转角的公式,扭转刚度,截面扭转角（单位：rad),例8-3 如图所示空心圆轴，外径D=40mm，内径d=20mm，杆长l=1m，外力偶，材料的切变模量G=80GPa。试求：（1）=15mm的K点处的切应力。（2）横截面上的最
