1、时间序列分析法3. 时间序列分析法对于预测，有定性和定量两类方法，定性的方法主要是作一些趋势性或转折点的判定。常用的方法有专家座谈会法，德尔菲法等。常用的定量预测方法有两种，一种是回归分析法，另一种常用方法就是时间序列分析法。这一章主要介绍有关时间序列分析法的有关内容。3.1 基本概念所谓时间序列就是一组按照一定的时间间隔排列的一组数据。这一组数据可以表示各种各样的含义的数值，如对某种产品的需求量、产量，销售额，等。其时间间隔可以是任意的时间单位，如小时、日、周、月等。通常，对于这些量的预测，由于很难确定它与其他因变量的关系，或收集因变量的数据非常困难，这时我们就不能采用回归分析方法进行预测，
2、或者说，有时对预测的精度要求不是特别高，这时我们都可以使用时间序列分析方法来进行预测。当然，时间序列分析法并非只是一种简单的预测分析方法，其实，基本的时间序列分析法确实很简单，但是也有一些非常复杂的时间序列分析方法。采用时间序列分析进行预测时需要用到一系列的模型，这种模型统称为时间序列模型。在使用这种时间序列模型时，总是假定某一种数据变化模式或某一种组合模式总是会重复发生的。因此可以首先识别出这种模式，然后采用外推的方式就可以进行预测了。采用时间序列模型时，显然其关键在于假定数据的变化模式（样式）是可以根据历史数据识别出来；同时，决策者所采取的行动对这个时间序列的影响是很小的，因此这种方法主要
3、用来对一些环境因素，或不受决策者控制的因素进行预测，如宏观经济情况，就业水平，某些产品的需求量；而对于受人的行为影响较大的事物进行预测则是不合适的，如股票价格，改变产品价格后的产品的需求量等。这种方法的主要优点是数据很容易得到。相对说来成本较低。而且容易被决策者所理解。计算相对简单。（当然对于高级时间序列分析法，其计算也是非常复杂的。）此外，时间序列分析法常常用于中短期预测，因为在相对短的时间内，数据变化的模式不会特别显著。1关于在预测中误差的一些常用表示方法：其中xi表示i时刻的真实值或观察值；Fi表示i时刻的预测值；ei表示i时刻的误差。平均误差(Mean error)平均绝对误差(Mea
4、n absolute deviation)均方差(Mean squared error)标准差（Standard deviation of errors）百分比误差（percentage error）平均百分比误差（Mean percentage error）平均百分比绝对误差（Mean absolute percentage error）2时间序列的基本样式所有有规律的时间序列，都是由一种或几种基本类型的时间序列样式或模式构成的。这些基本样式有：水平型，线性趋势型，非线性趋势型，季节型和周期型。因此对于一个实际时间序列，可以根据其类型的不同，采用不同的模型进行预测和分析。3.2 平滑法这是时
5、间序列分析方法中最简单的一种。3.2.1. 简单滑动平均法(simple moving average) （1）其中xt表示t时刻的真实值或观察值；Ft+1表示t+1时刻的预测值；上式也可以写成如下形式： （2）由此式可以看出，随着所使用的历史数据或样本点的数量n的增加，平滑作用逐渐加强。简单滑动平均法显然只适合于水平样式的数据，如果历史数据中存在明显的上升或下降趋势，或者有季节性波动则这种方法是不适用的。因此它只能用来对一些变化平衡或缓慢量进行预测，如对需求量稳定的商品的销量进行预测。对于（1）或（2）式，如果其中的n等于1，则成为：也就是说，t+1时刻的预测值就是t时刻的观察值，或者说是用
6、当前的观察值来预测下一期的数值。这种方法称为naive（天真）预测法。这种方法虽然过于简单，可以说是没有进行预测，但是它可以作为评价其他时间序列法预测结果好坏的一个标准。如果你使用了一个非常复杂的时间序列分析模型来对某一个问题进行预测，其误差比这种简单的天真预测法还糟糕，则这个模型显然不是一个好的预测模型。3.2.2. 单指数平滑法由于（1）或（2）式在实际应用中存在许多缺点，如零权值问题，数据存贮量大问题。因此人们希望有一种简单的法来用于实际预测，这样就提出来了指数平滑法，其中最简单的就是单指数平滑法。由于数据是呈水平趋势变化，因此在（2）式中用Ft来代替xt-1不会引起太大误差，因此有下式
7、，或者说，令则有， （3）这就是所谓的单指数平滑法公式。其中为预测值的平滑系数。上式不仅计算简便，而且所需历史数据极少，只有一个。同时，上式中实际上包含了所有的历史数据，也就是说克服了所谓零权值的问题，因为将（3）式展开后可以写如下形式， （4）（3）式也可以写成如下形式，由于，所以 （5）由（5）式可以看出，预测值实际上就是在上一次预测值的基础上加上乘以上次预测的误差。显然，如果，则在预测值中包含很大的调整，相反如果，调整量变小，预测值或预测曲线趋于平缓。因此，单指数平滑法适用的范围与简单平滑法相同，只适用于水平样式的数据。例：罗宾逊拆卸公司生产的取钉器的需求量预测。观察值及预测值如下表所示
8、。表现9-1取钉器的简单移动平均和指数平滑平均值的计算指数平滑滑动平均值时期需求（单位：千）四个月的移动平均a=0.4a=0.11145214331354158145.25 145.25 145.25 5155147.75 149.15 146.23 6145148.25 147.49 146.10 7136148.50 142.89 145.09 8139143.75 141.34 144.48 9159144.75 148.40 145.93 10137142.75 143.84 145.04 11156147.75 148.70 146.14 12152151.00 150.02 146
9、.72 在表7-1中计算了两组指数平滑平均值，它们分别采用不同的值。当0.4时，第11和12两个月的平均值计算如：S110.4(156)+0.6(143.84)=148.70 (第12月的预测值)S120.4(152)+0.6(148.70)=150.02 (第13月的预测值) 注意在第12月未，新得到的数据152与以前计算出的平均值148.70来共同计算下一个平均值。指数平滑法的突出优点是只需要一个实际数据来计算新的平均值。使用指数平滑法时的几个应注意的问题与移动平均法的相似性 从表91中可以看到，在所有的时间里0.4时的指数平滑平均值与四个月的移动平均值非常相似。然而0.1时其结果是大不相
10、同的。下述公式说明了在指数平滑法中如何选择使之具有与移动平均法中取时间周期数为N值时相似的结果： （6）假设0.4则N1.6/0.44，若0.1则N1.9/0.119。因此0.4时的指数平滑值类似于四周期的移动平均值，而0.1时的结果则会类似于19周期的移动平均值。增大来调整权值 在指数平滑法中以前的数据作用是逐步衰减人，或者说老的数据被逐渐地遗忘。值越大数据衰减地越快，就象在移动平均法中使用的数据越少。这是因为在方程1中老的平均值被乘以（1），因此老的数据的权值随着的增大而迅速衰减。也就是说，越是大的，在预测中老数据（St1）的影响越小。（问题17和19表明了当数据逐步变老时其作用是呈指数减
11、小的，这也是为什么这种方法称为指数平滑法的原因。）平滑与响应 减小值会导致平均值更加平滑（减少波动），而增大值会导致平均值对新数据的响应更快。从表7-1中可以看出值越小平均值的变化越慢，越平滑。例如，实际数据在第九个月达到其最大值159，当=0.4时，平均值从141变到148来响应实际值的最大值；与之相对的是，=0.1时，平均值仅仅增大一个单位来响应实际值的最大值。平滑与响应是相矛盾的，但它们有各自的优点。我们将在后面多次讨论这个问题。初值 在计算指数平滑法的第一个值或初值时我们需要进行一些特殊的处理。因为在方程1中我们需要一个“老平均值”，而没有以前的数据怎么办呢？这个问题称为初始化，而且是
12、在指数平滑法中常常不为人们所重视的问题。然而，在后面我们将看到这是一个极为重要的问题。注意目前我们用前四个月的平均值作为指数平滑法的初值（见表7-1）。3.2.3. 线性指数平滑法（Holts）如果时间序列呈现一种趋势（上升或下降），则单指数平滑法会有一种滞后性。因此在这种情况下要采用其他方法。如果这种趋势是一种线性上升或下降的趋势，则可采用Holts的方法， （7） （8） （9）其中，St为预测值的平滑值；为预测值的平滑系数；Tt为趋势值（斜率）的平滑值；为趋势值的平滑系数；Ft+m为t+m时刻的预测值。注意这里可以进行m步以后的预测，而简单平滑法或单指数平滑法只能进行一步以所的预测。例：
13、对下表中的观察值进行预测。时间观察值单指数平滑值=1.0误差1326333963412935151236181537211838242139272431030273假如在此，则对于时期2有， 对于时期3有， 继续照此方法计算下去，对于时期10有， 由此可以看出，在计算过程中，每次首先更新S的值，然后再更新T的值。有了这现两项数值，就可以进行预测值的计算。例如对时期11，有，与此类似，还可以对12，13，14期的数据进行预测，它们分别为，当然在上述例子中，观察值中不包含随机成份，所以平滑系数值都取的是1且误差为0。如果实际观察值是包含随机成份的，则平滑系数值要小于1，且预测误差也不会等于0。在上
14、面的这一组公式中，（7）式实际上就是对取平滑值。而（8）式与单指数平滑法的（3）式相比较可以看出，只是在第二项中多了前一步的趋势增加值St-1。而预测值就是当前的平滑值再加上趋势增加值。由于，且所以（7）至（9）式也可以写成下列形式， （7） （8） （9）上述公式可用于实际计算使用。注意，其参考值为：3.2.4. 季节性指数平滑法（Winters）在实际工作中，常常会遇到一些带有季节性变动的数据，对此可以使用Winters的季节性指数平滑法模型进行预测。其模型为， （10） （11） （12） （13）其中，St为消除了季节因素影响的平滑值；为预测值的平滑系数；Tt为趋势值（斜率）的平滑值；
15、为趋势值的平滑系数；It为季节因素的平滑值；为趋势值的平滑系数；L为季节的长度（如在一年中一个季节中所包含的月数）；Ft+m为t+m时刻的预测值。注意这里也可以进行m步以后的预测，与Holt的方法相同。季节系数实际上就是：它表明了季节因素的影响，其含义可以通过下图看出，St例：现有如下按季节收集的销售数据：年季节时期销售额（1000）季节系数(前四个为初值)T平滑值预测值m=11992113620.96223851. 02334321.14443410.881993153821.009.17264091.0714.7424.79374981.1814.99481.10483870.9015.0
16、7383.531994194731.0115.64444.32210513495.533115824124741995113544214582315681416557199611762821870731977342059219971216271.012227251.073238541.1817.404246610.9017.5125753.03现在需要对25，26，27，28期的销售额进行预测。假定平滑系数为：，这里的季节值L=4。解：这里的计算需要利用Winter的公式逐步进行，计算到24期时有，对于25，26，27，28期的销售额进行预测时，显然需要用到m值，以及其他季节系数值。最终结果为
17、，对于季节性线性指数平滑模型（10）至（13）也可以写成下列简单形式， （14） （15） （16） （17）3.2.5. 阻尼趋势指数平滑法阻尼趋势指数平滑法（Damped trend exponential smoothing）是另一种常用的指数平滑法。因为在实际工作中，一个量的增长或下降趋势是不会永久持续下去的，而是经过一段时间的增长或下降后其趋势会逐渐消失，这种现象类似于物理中的阻尼现象，所以我们称具有这种特性的指数平滑模型为阻尼趋势指数平滑法。这时的模型为， （18） （19） （20）同样，上述公式也可以表示成下面的形式， （21） （22） （23）例：3.2.6. 指数平滑法的
18、计算问题1 平滑初值的确定：对于单指数平滑法：对于Holts Damped：对于Winters：，其中为x中消除了季节因素后的值。另一类方法是采用最小二乘法，列出方程后求出最优初值。2 平滑系数的选择：在上述公式或模型中我们遇到了几个平滑系数，即。这些值的确定，主要方法是通过搜索法，比较不同数值下的MSE或MAD，求出最小误差所对应的系数值。3 方法有效性的判定：上述各种方法是否能用于实际问题的预测，其关键在于其误差的分布，如果误差的均值为0，方差为常数，则方法或模型的选择是适当的，否则就需要寻求其他模型或方法。3.3 分解法第二类常用的时间序列分析方法就是所谓的时间序列分解法。这种方法的基本
19、假定与所有的时间序列分析法的假定相同，即认为实际数据是由模式值加上随机误差组成的。但是，所不同的是认为模式值是由趋势、季节和周期的共同影响而构成的，而且每一种影响是可以识别出来的。用数学表达式表示就是， （24） （25）显然随机部分是没有办法预测的，所以我们认为变量的预测值就是前三部分的乘积。下面以一个例题为例说明进行分解的步骤。某造纸厂的按季度观察到的销售量及有关计算数据如下表所示：(1)(2)(3)(4)季节观察值滑动平均值T*C比值S*R*10013017.6023043.5432094.352741.33376.39942809.842805.633100.15053274.8028
20、35.568115.49063163.282840.558111.36172114.312894.24073.05283024.572907.410104.03093327.482989.960111.288103493.483071.365113.744112439.933187.92076.537123490.793277.320106.514133685.083319.258111.021143661.233303.883110.816152378.433296.07372.160163459.553337.210103.666173849.633347.198115.011183701
21、.183413.185108.438192642.383444.67876.709203585.523501.935102.387214078.663553.405114.782223907.063599.925108.532232828.463725.92075.913244089.503791.158107.869254339.613851.543112.672264148.603873.540107.101272916.453872.32575.315284084.643848.028106.149294242.423810.273111.342303997.583801.413105.
22、160312881.013789.31076.030324036.233818.788105.694334360.333909.525111.531344360.533982.318109.497353172.184029.20078.730364223.764111.738102.724374690.484195.225111.805384694.484237.768110.777393342.354326.23577.258404577.634394.980104.156414965.464477.873110.889425026.054509.820111.447433470.14449
23、6.89877.167444525.944570.21099.031455258.714611.093114.045465189.584642.748111.778473596.764481.66380.255483881.601 趋势与季节分解假设这里对最前面四个季度（即1986年的四个季度）的销售量相加然后计算其平均值，可以得到，这里的平均值2741.33显然是不包含季节因素的（因其为全年各季度的和），而且这个值中不包含或只包含很少的随机成份，因为随机误差的均值为零，所以当多项观察值相加后正负随机误差相互抵消了。因此，通过这样的方式计算出来的平均值实际上只包含趋势和周期部分，即T*C。与此
24、类似，如果将第二至五项观察值相加然后求出平均值就可以得到，这里2805.63也是四个不同季节的数值的均值，它也不包含季节因素，同时不包含或极少包含随机的成份。同样的方式可以计算出表中的第三列数值。由此可以看出这种计算的方式就是在计算均值的过程中将老的观察值放弃掉同时换上最新的一个观察值，即采取滑动的方式进行计算。所这这样计算出来的值也称为滑动平均值，由于滑动平均值的特性，我们有如下关系式，2季节与随机的分解由于表中的第三列表示了T*C，而表中的第二列是观察值，或原始数据，根据定义它实际上表示了T*C*S*R。因此如果将第二列的数除以第三列的数，其比值为第四列的值，这一列的值表示了S*R，即，因
25、此这一列的值只包含季节与随机成份，为了方便起见，这里的数值乘上了100。由于这一列比值中包含季节成份，所以可以由它来计算季节系数。季节系数的含义与前面所讲述的相同。在第四列数值中，它包含了随机误差。由于随机误差所具有的特性，即均值为0，因此如果我们将若干项数值相加，则正负随机误差会相互抵消。据此，我们将第四列的数据按每一个值所属的季节排列成下表的形式，年一季度二季度三季度四季度198676.40100.151987115.49111.3673.05104.031988111.29113.7476.54106.511989111.02110.8272.16103.671990115.01108.
26、4476.71102.391991114.78108.5375.91107.871992112.67107.1075.32106.151993111.34105.1676.03105.691994111.53109.5078.73102.721995111.81110.7877.26104.161996110.89111.4577.1799.031997114.04111.7880.26季度平均值S112.72109.8876.29103.85402.74S（调整后）111.95109.1375.77103.15400.00400/402.740.9932然后对每一个季度的数值求平均值，由于求
27、平均值就可以消除随机误差的影响，所以就可以分离出季节因素，即，因此可以计算出每个季度的平均值，也就是季节系数的平均值S。由于将这样计算出来的各个季度的季节系数相加再求平均值，其值不一定正好为100，因此需要对其进行调整。季节系数的调整非常简单。由于我们要求调整后的季节系数值之和为400，所以将400除以现在的和402.74，得到一个修正系数值0.9932；然后将每一个季节系数值S乘以这个调整系数值，就可以得到最终的调整后的季节系数值，如上表所示。1)中心滑动平均值在前面的滑动平均值的计算过程中，我们只是将第1至4季度的平均值放在了第3季度的位置上，但是只要我们仔细一想会发现这里有问题。因为，我们计算出来的第1至4季度的平均值2471.333严格地说应该是第2.5季的平均值；第2至5季度的平均值2805.632严格地说应该是第3.5季的
