1、小数乘法和除法教材分析小数乘法和除法教材分析本单元接着小数加、减法，继续教学小数乘法和除法，在编排上是很顺的。我们知道，整数的乘法和除法是分开教学的，这是因为乘法和除法是两种不同的运算，它们的意义不同、竖式不同、算法不同，分开教学有利于突出重点、分散难点，便于学生学习。本单元把小数乘法与除法编排在一个单元里，交叉着教学，是因为学生已经掌握了整数乘、除法的知识技能。在整数乘法和除法的基础上计算小数乘、除法，只是多了小数点的处理这个“新成分”。乘法和除法合编一个单元教学，可以充分利用学生已有的知识经验，突出处理小数点的原理和方法，还可以体现小数乘法和除法的内在关系。全单元一共编排十三道例题，具体安
2、排见下表：例1小数和整数相乘例2一个数乘10、100、1000小数点向右移动引起小数的大小变化例3把高级单位的名数化成低级单位的名数例4小数除以整数例5一个数除以10、100、1000小数点向左移动引起小数的大小变化例6把低级单位的名数聚成高级单位的名数例7、例8小数乘小数例9求积的近似数例10、例11小数除以小数例12求商的近似数例13解决实际问题时求商的近似数例14小数四则混合运算顺序加法和乘法的运算律在小数中同样适用练习十四单元整理与练习从上表里可以看出，全单元内容分成两部分，前一部分是小数乘法和除法，后一部分是小数四则混合运算。这样编排是很自然的，必须先学会小数的四则计算，才能进行四则
3、混合运算。小数乘法和除法的教学又分成两段安排，先是小数与整数的运算，包括小数乘整数和小数除以整数，这些计算与整数乘法和除法最为接近，有利于初步形成小数乘、除的计算方法。然后是小数与小数的运算，有小数乘小数和小数除以小数，帮助学生形成完整的小数乘法和除法的计算法则。每一段教学又分成两块，一块教学小数乘法，另一块教学小数除法，而且每段的两块对称着编排。乘法里有小数点向右移动与名数的化法，除法里有小数点向左移动和名数的聚法；乘法里有求积的近似数，除法里有求商的近似数。这样有明显结构特征的编排，有利于认知方式和方法的迁移，有助于建立新的认知结构。小数和整数相乘只编排一道例题，小数乘小数编排两道例题；小
4、数除以整数只编排一道例题，小数除以小数也编排两道例题。这是因为小数乘整数、小数除以整数的小数点的处理比较容易，而小数乘小数、小数除以小数的小数点处理比较复杂。例题的编排完全是出于教学的需要，是为了有利于学生掌握知识、形成技能。小数乘法和除法以笔算为重点，也适当安排口算、估算和用计算器计算。口算在掌握笔算以后进行，直接说出比较容易的小数乘、除法算式的得数，巩固处理小数点的方法与技巧，也方便解决实际问题。估算用于解决实际问题，在不要求或不需要精确得数的情况下，能代替笔算，减少计算的麻烦。计算器用于较复杂的小数乘、除法，以及探索规律。小数四则混合运算的运算顺序和整数四则混合运算相同，整数加法和乘法的
5、运算律完全适合小数加法和乘法。所以，教学例14可用的资源十分丰富，学生学习的主动性、能动性可以充分发挥作用，学习方式可以大力改进。教材把混合运算顺序和运算律的应用结合起来教学，目的是使按运算顺序的计算与应用运算律的简便计算有机融合，提高学生的运算能力。结合小数四则混合运算，在练习里安排了两、三步计算的实际问题，数量关系和整数问题是一致的，学生能够分析和解答。如果学生主动列出综合算式，应该鼓励。如果分步列式解答，也是允许的。（一） 教学小数乘整数和小数除以整数，体会它们与整数乘、除法在算法上的联系，初步了解积、商里小数点的位置在整数乘、除法的基础上计算小数乘、除法，关键是处理小数点。怎样在积或商
6、里正确地点上小数点，是例1和例4的教学重点。教材在解决实际问题的计算活动中，研究积、商里小数点位置的规律，构建小数乘整数和小数除以整数的算法。1. 写竖式、算竖式、研究积里的小数位数，是例1设计的三项教学活动。例题没有把小数乘整数的算法直接告诉学生，而是安排他们探索算法，体会小数乘整数可以像整数乘法那样用竖式计算，只要在积里点上小数点。例1从“夏天每千克西瓜卖0.8元，买3千克西瓜要多少元”这个实际问题引出新知识，这是求几个相同加数和的问题，根据已有的乘法概念，可以列出算式0.83或30.8。学生首次遇到小数乘法，还不知道怎样乘，搜索相关的知识经验，一般会有两条思路：一条是把3个0.8连加，用
7、加法代替乘法；另一条把0.8元看成8角，使小数乘法变成整数乘法。这两种方法都是小数乘整数的认知平台：从3个0.8连加的和是2.4，可以推出0.8乘3的积是2.4，感受0.8乘3的计算与8乘3很接近，只是计算中多了小数点；从3个8角是2.4元，也能得出0.8乘3的积是2.4，感受小数乘整数可以借助整数乘法，只要在计算中添上小数点。教材写出了0.83的竖式，让学生整体感知它。初步看到小数乘整数也可以用竖式计算，竖式的形式和整数乘法很接近；由于一个乘数是小数，积也是小数。例题用旁注指出0.8是“8个十分之一”，计算0.8乘3就可以看成8个十分之一乘3，得到24个十分之一；24个十分之一是2.4，0.
8、8乘3的积是2.4。这样的思考过程，体现了小数乘整数的算法：把小数乘法看成整数乘法计算，在积里点上小数点。例题继续解答“冬天每千克西瓜卖2.35元，买3千克西瓜要多少元”的问题，先用连加竖式计算，再写出乘法竖式的积，探索小数乘整数的笔算方法。先用加法算，再用乘法算，是借助加法探索乘法。计算加法从最低位起，一位一位地依次算，并向相邻的高位进位，和里要点上小数点。这些步骤与方法，能启示乘法计算，小数乘法也要从最低位开始，一位一位依次算，也要向相邻的高位进位，积里也要点上小数点。例题引导学生把2.35看成235个百分之一，把2.35乘3看成235个百分之一乘3（即把小数乘整数看成整数乘整数），得到7
9、05个百分之一，写成7.05（即在积里点上小数点），经历计算小数乘整数的全过程。另外，用加法可以验证乘法，两种算法结果相同，表明乘法的得数正确、过程合理、方法有效，从而增强学习小数乘法的信心。通过例1的教学，学生初步知道小数乘整数可以像整数乘法那样计算，积里应该点上小数点。“试一试”着重教学怎样在积里点小数点。首先用计算器计算三道小数和整数相乘的题。这里用计算器计算有两个原因：一是学生还没有真正学会小数乘法，还不能独立用竖式笔算；二是节省教学时间，便于集中精力于小数点的处理上面，避免计算错误干扰新知识的学习。然后“看看积和乘数的小数位数有什么关系”，逐题观察研究，发现积里的小数位数和乘数里的小
10、数位数相同，即乘数有几位小数，积也有几位小数。“玉米”卡通要求说说“小数和整数相乘怎样计算”，引导学生从具体的计算里概括出有普遍意义的算法。这里的算法主要是两点：一是小数乘整数可以像整数乘法那样列竖式计算，二是积里小数点的位置，由乘数的小数位数来确定。学生计算小数加、减法，习惯于“小数点对齐”，在小数乘整数的竖式里，积的小数点也和乘数的小数点对齐着，这个现象有可能引起认识的负迁移，使学生错误地认为积的小数点应该对齐着乘数的小数点。教学一定要防止这种负迁移，突出积的小数点是根据乘数有几位小数而点出的。“练一练”第1题根据已经算出得数的整数乘法，写出三道有关的小数乘整数的积，专项练习在积里点小数点
11、的方法，根据乘数是几位小数，在积的适当位置点出小数点。第2题完成四道小数乘整数的竖式计算，消化在例题里习得的算法，教学仍然要把力量放在积的小数点的位置上。2. 教学小数除以整数，通过三次计算，教学三个知识。和整数除法相比，小数除以整数有三点不同：一是商里有小数点，二是最后余下的数要在末尾添0继续除，三是整数部分（商的最高位）可能是0。例4教学这三点知识，帮助学生理解除法竖式的每一步计算，懂得商的小数点应该和被除数的小数点对齐；明白在余数末尾添“0”继续除的道理，形成添0继续除的习惯；体会有些除法的商的整数部分是0，不能漏写这些除法的商的整数部分。例题仍然以买东西为题材，因为它容易激活已有的经验
12、，有助于领悟算法。前后一共提出三个实际问题，教学的三个除法竖式，各有重点内容。把三个竖式分别教学的除法知识综合起来，就是小数除以整数的计算法则。第一个问题是已知3千克苹果的总价9.6元，求每千克苹果多少元，算式是9.63。学生第一次遇到小数除以整数，容易想到的方法是把9.6元看成96角，这就把小数除法当成整数除法，得到的商32角回归成3元2角，相当于在“32”里点上小数点。还可能想到9.6元是9元和6角，于是分步计算出结果，即9元除以3商3元、6角除以3商2角、3元与2角合起来是3元2角。这三步计算与9.6除以3的笔算过程完全一致。所以说，这些算法都是接受小数除以整数的认知基础，有助于理解例题
13、已经写出的竖式。明白9.63需要分两步除，以及每一步算的是什么，以此回答“豆荚”卡通提出的问题“商的小数点为什么要和被除数的小数点对齐”这个问题时，就可以根据小数的组成，从9个一和6个0.1除以3，得到3个一和2个0.1，进行推理。于是，初步理解小数除以整数的基本算法：像整数除法那样列竖式计算，商的小数点和被除数的小数点对齐着写。第二个问题是已知5千克香蕉的总价12元，求每千克香蕉多少元，算式125是整数除以整数。在整数除法中，得出商的个位上的数以后，被除数剩下不够商1的部分作为余数，不再继续除了。然而，解决求每千克香蕉多少元的实际问题，余数“2元”还要化成“20角”继续除。相应的小数除法，余
14、数2（个一）可以化成20个十分之一继续除。事实上，125的被除数虽然是整数，如果利用小数性质改写成12.05，整数除法就变成小数除以整数，和前一个问题教学的除法接轨，余下的2添0后继续除下去，就理所当然了。例题先在商的个位的右下角点上小数点，再在余数“2”的右边添一个0，让学生明白这里在应用小数的性质，除法还要继续进行。又通过“20”表示20个十分之一，除以5商4个十分之一，既清楚了“4”在商里的位置，又突出了在商里及时点上小数点的必要性。第三个问题是已知6千克橘子的总价5.7元，求每千克橘子多少元，计算5.76。这道题的商比1小（整数部分是0），可以从“总价5元多，数量6千克，每千克单价不满
15、1元”来体会。教学重点在于“应该在商的整数部分写0”，如果不写这个0，商就缺少整数部分，不是一个完整的小数。如果更数学化地思辨商的整数部分是0，那就是由于被除数整数部分的“5”比除数6小，不够商1的缘故。计算5.76，在十分位上商“9”以后，余下的3个十分之一要转化成30个百分之一继续除，发展了“在余下的数的后面添上0继续除”的认识。例题让学生尝试着用竖式计算，逐渐接触上述的内容，妥善处理这些情况。例题还要求根据“单价数量=总价”验算三道题的除法计算。安排验算有两层意思：一是小数除以整数是新知识，想到的算法是不是正确，需要检验，这是应有的科学态度与作风。二是把整数乘法可以验算除法，扩展到小数乘
16、法也可以验算小数除法，体现了小数乘、除法的内在联系。例题的最后要求说说“除数是整数的小数除法，可以怎样计算”，帮助学生归纳解决三个实际问题时三次除法的计算要点：一是小数除法可以像整数除法那样笔算，商里的小数点应和被除数的小数点对齐；二是除到被除数的末位还有余下的数，应该在小数末尾添0继续除下去；三是如果被除数的整数部分比除数小，商小于1，整数部分必须写0。按这些计算要点完成“练一练”里的笔算，就能初步掌握小数除以整数的算法。教材希望学生用自己的语言说出这些计算要点，不主张他们机械记忆文本化的法则。（二） 通过归纳推理，认识一个数乘或除以10、100、1000的计算规律例2和例5分别教学一个数乘
17、10、100、1000和一个数除以10、100、1000引导学生通过移动小数点的位置得出结果。这些内容不仅是口算，还是以后探索小数乘小数和小数除以小数算法不可缺少的知识。两道例题设计了相似的教学方法与教学活动，教学过程都分四步进行。第一步，初步感知。全体学生研究相同的对象，先用计算器计算5.0410、100、1000的积和21.510、100、1000的商，再比较各道算式中的乘数与积或者被除数与商，看看小数点位置的变化情况。让全体学生研究相同的算式，出于三点考虑：一是便于对学生说清楚算什么、怎样算以及通过计算研究什么，从而知道学习内容和任务。二是便于学生对共同的计算相互交流、相互评价、相互补充
18、，明白小数点位置变化包括它移动的方向和移动的位数这两个要素。三是初步发现5.0410、100、1000，小数点位置移动的方向相同，移动的位数不同。21.510、100、1000，小数点位置移动也是方向相同，位数不同。从而感到可能存在某些规律，产生继续研究的兴趣。教学这一步要注意两点：一是把算式和得数整齐地写出来，便于学生看到小数点位置的变化情况；二是帮助学生辨别小数点移动的方向和位数，特别是移动的位数，不能看错。如：5.0410=50.4 21.510=2.155.04100=504 21.5100=0.2155.041000=5040 21.51000=0.0215第二步，充实感性材料。学生
19、再任意找几个小数，分别乘10、100、1000或除以10、100、1000，继续观察小数点位置的变化情况，并在小组里交流。设计这一步出于两点考虑：一是学生在第一步的教学中，产生了兴趣，也知道了数学活动的内容和方法。让他们自主找几个小数进行类似的计算和观察，既能维持学习热情，又培养了学习能力。二是每个学生都任意找几个小数，各人找的小数不同，全班的学习资源就会非常丰富。丰富的感性材料，让所有学生在交流中都有话可说。在众多具体材料中概括数学结论，令人信服，也体现了科学的认知方式和严谨的认知态度。第三步，总结规律。一个数乘（或除以）10、100、1000它的小数点向右（或左）移动一位、两位、三位这是从
20、大量的具体材料中提炼出来的数学结论。这个结论一方面概括了众多实例共有的、本质的数学内容，另一方面为求一个数乘（或除以）10、100、1000的积（或商）提供了可操作的方法。教学这一步要注意两点：一是总结规律的主体是学生，不能让他们被动地接受现成的结论。二是学生总结规律需要经过从不完整到完整、从不严密到严密的过程，使用数学语言的水平要逐步提高。教学的任务在于组织学生相互交流、相互补充、相互完善，帮助他们说出规律而且越说越好。通过说，进一步把握规律的本质内涵，学会使用数学语言。两次“练一练”的第1题，在表格里填出一个数乘或除以10、100、1000的积或商，既在应用规律进行口算，也在继续体验小数点
21、位置移动的规律。第四步，逆向思考，加深理解规律。一个数乘或除以10、100、1000只要移动它的小数点，就能很快得到结果。反之，移动一个小数的小数点，相当于把它乘或除以10、100、1000后者是对规律的逆向思考，也是对规律的进一步完善。两次“练一练”的第2题，根据乘数到积的小数点位置移动，说出另一个乘数是10还是100或1000；根据被除数到商的小数点位置移动，说出除数是10还是100或1000。这些都是需要逆向思考的题目。教材希望通过这些题，能促进学生全面把握小数点位置移动的规律。这些题一方面有利于完整认识小数点位置移动的规律，另一方面也为继续教学小数乘小数、小数除以小数作了必要的知识准备
22、。移动小数点的位置求积或求商，如果原有的小数位数够用，则很容易操作；如果小数位数不够，要用“0”补足，这是一个难点。针对移动小数点的难点，要指导学生补“0”，弄清楚补在哪里，补几个。如果小数点向右移动，原来数的小数部分缺少几位，可以在小数末尾添几个0；如果小数点向左移动，原来数的整数部分位数不够，可以在整数部分的最高位的前面补0。（三） 应用小数点位置移动规律，进行常用计量单位的换算例3把较大单位的数量改写成较小单位的数量，例6把较小单位的数量改写成较大单位的数量。两道例题的改写方向刚好相反，改写方法也正好相反。改写时“怎样想”是教学重点，也是教学难点。教学例3，可以先口答2千克=？克、5千克
23、=？克，看到这些换算都是把较大单位千克的数量改写成较小单位克的数量，都要乘进率1000（2千克是2个1000克，21000=2000；5千克是5个1000克，51000=5000），可以分别把2和5的小数点向右移动三位。然后把这些方法与经验应用到0.351千克=？克上去。“蘑菇”和“辣椒”两个小卡通的思考，本质上是一致的，只是书写上有些不同。“蘑菇”列出乘法算式，在得数的后面写出改写后的单位“克”。“番茄”直接把0.351千克改写成351克，0.351和351必须分别写出各自的单位。学生可以选择自己喜欢的书写形式。教学例6，可以采用与例3相似的教学方法，先在2000千克=？吨、5000千克=？
24、吨这些简单的问题里体会只要把2000、5000除以进率1000，也就是把2000和5000的小数点分别向左移动三位。再把这些方法与经验应用到500千克=？吨这个新的问题情境里。教学还要做两件事情。一件是适当的时候归纳例3的特点与采用的方法：把较大单位的数量改写成较小单位的数量，可以“用较大单位数量的数乘进率”，即把较大单位数量的数的小数点向右移动若干位；归纳例6的特点与采用的方法：把较小单位的数量改写成较大单位的数量，可以“用较小单位数量的数除以进率”，即把较小单位数量的数的小数点向左移动若干位。另一件是在适当的时候把上述两种改写进行对比，帮助学生深入了解两种改写的方向与方法。采用移动小数点位
25、置这种方法进行数量的改写，有关单位之间的进率应该是10、100、1000等。进率不是10、100、1000的单位之间的换算，一般不能通过移动小数点位置来得到结果。如时间单位“时”与“分”的改写，“分”与“秒”的换算，就不是移动小数点位置能解决的。在练习十和练习十一里，安排了进率是10、100、1000的名数改写，涉及长度、面积、质量、容量等各类计量单位。由于许多单位是第一学段陆续教学的，学生可能有些遗忘。所以，要帮助他们回忆、整理这些单位，把各类计量单位从大到小依次排一排，弄清相邻两个单位间的进率。通过移动小数点位置进行不同单位数量的改写，如果遇到位数不够的情况，容易写错得数。尽管“位数不够要
26、用0补足”是旧知识，但仍然要提醒学生注意，以避免错误发生。（四） 教学小数乘小数、小数除以小数，突出转化思想，加强推理活动，突出计算法则的关键内容教学新知识，“转化”的价值经常表现在沟通新、旧知识的联系上。化新为旧，利用已有的知识经验解决新的数学问题，是有意义学习的表现。小数乘、除法的计算和整数乘、除法密不可分，只要把小数乘法转化成整数乘法，把除数是小数的除法转化成除数是整数的除法，小数乘、除法的计算问题就解决了。学生已初步具备了转化思想以及所需要的知识，有条件通过转化获得新知识，进一步体会转化是解决问题的有效策略。从思维形式上说，转化过程是推理过程，突出转化思想，也就加强了推理活动。学习小数
27、乘整数，学生获得了两点体会：小数乘法可以像整数乘法那样列竖式计算；积里的小数点要根据乘数是几位小数而点出来。这些初步感受是学习小数乘小数的基础。例7计算3.83.2，要求先估计得数大约是多少，然后进行笔算。这里安排估计有两个原因：第一，在不会笔算3.83.2的时候，估算也能解决问题。仅仅是估算的得数不大精确，是近似数而已。数学教学应该培养估算的意识与能力。就这道例题来说，能估计出房间面积大约十多平方米，已是很不错的思考。二是估算结果虽然不精确，但接近精确值，它能考量精确结果是不是合理。这道例题笔算得数是12.16平方米，和估算十多平方米相符，应该是正确得数。笔算3.83.2时，教材指出“把这两
28、个小数都看作整数相乘，按整数乘法计算”，又一次把小数乘法和整数乘法联系起来。算出3832的积以后，让学生“联系积的变化规律想一想，怎样才能得到原来的积”。这是例题的教学重点，教材先后安排了两次探究活动。第一次在例7里，分析3.83.2的竖式与3832的竖式之间的对应关系，用虚线框里的三个箭头以及上面的“10”“100”，扶着学生经历推理过程：把乘数3.8看作整数38，这个乘数“10”；把乘数3.2看作整数32，这个乘数也“10”；两个乘数分别“10”，得到的积相当于原来的积“100”；为了得到原来乘法的积，应该把现在的积“100”。第二次在“试一试”里，计算3.21.15，要求学生在小数乘小数
29、的竖式和整数乘整数的竖式之间，填出乘数的变化以及积的变化，独立进行推理。在两次探究的基础上，比较各题中两个乘数的小数位数与积的小数位数，从而发现规律：“两个乘数一共有几位小数，积就有几位小数”。在理解算理的基础上，得出了积里点小数点的操作方法。教材希望学生通过归纳推理总结小数乘法的计算法则，要求他们“说说小数乘法应该怎样计算”，得出自己理解的、能直接应用的算法。计算小数乘法，关键是确定积的小数点的位置。为此，“练一练”里安排了点出积的小数点的专项练习。例10教学除数是小数的除法，在列出算式7.984.2以后，突出了三点：第一，在新的计算情境和认知冲突中，思考“除数是小数的除法，能不能转化成除数
30、是整数的除法来计算？”把新知识和旧知识联系起来，指点了计算小数除法的方向。学生已经掌握了商不变性质和移动小数点的技能，还有小数乘法转化成整数乘法的经验，能够理解并实施这里的转化。第二，在竖式上按部就班地完成转化的操作，先划去除数的小数点（就是除数的小数点向右移动一位），把4.2变成整数；再把被除数的小数点向右移动一位，划去7.98原来的小数点，点出移动后的小数点（就是被除数跟着除数也乘10）。第三，转化后的除法79.842由学生计算，商的小数点必须与被除数移动后的小数点对齐。在这一点上，学生可能有疑惑或困难，应及时提醒和帮助。“练一练”第1题先进行除数转化成整数的专项练习，强化计算小数除法的关
31、键步骤。学生只要掌握了这种转化，就能自如地进行小数除法的计算了。（五） 解决计算难点，提高计算正确率计算小数乘法，在积里点小数点，如果位数不够怎么办？把除数是小数的除法转化成除数是整数的除法，如果被除数的小数位数比除数少怎么办？这些都是应用法则进行计算的难点问题，也是计算容易发生错误的地方。为此，教材安排例8和例11解决这些问题。通过本单元例2和例5的教学，学生已经知道：如果位数不够，可以用“0”补足。只要把这些补“0”的方法应用到像例8和例11的计算中去，问题就解决了。例8的教学线索是“凸现矛盾激活旧知解决矛盾专项练习”。引领学生发现困难、克服困难，主动解决遇到的新问题。计算0.280.28
32、，按整数乘法算出2828的得数784后，教材先设疑“从积的右边起数出几位点上小数点？位数不够怎么办？”让学生发现“784”只有三位，现在要点出四位小数，突出“位数不够”的矛盾，并激活已有经验，运用“在前面补0”的办法解决矛盾。从而理解教材的提醒“在积里点小数点时，位数不够的，要在前面用0补足”。“练一练”专题进行在积里点小数点的练习，掌握补“0”的要领。例11的教学线索是“演绎法则出现矛盾示范方法变式扩展专项练习”。例题的算式1.50.75是小数除以小数，按照例10教学的算法，应该转化成除数是75的除法。“茄子”卡通提出问题“把除数变成整数，被除数和除数的小数点都要向右移动几位？被除数的位数不够怎么办？”这些问题承前演绎了除数是小数的除法计算法则，启后出现了移动小数点的困难。学生注意到被除数是一位小数，比除数的小数位数少，会在被除数的小数末尾添一个0。但是，他们还不会在除法竖式上规范地操作。为此，教材示范了在被除数末尾先添上0，再移动小数点的做法。被除数的小数点向右移动两位成了整数，这时的小数点在个位的右下角，可以不写出来。教学一定要细致地展示在除法竖式上处理小数点的过程，整理
