1、高中数学指数函数和对数函数例题精讲高中数学-指数函数和对数函数例题精讲 解 A例2 f(x)=3x+5，则f-1(x)的定义域是 A(0，+) B(5，+)C(6，+) D(-，+)解 B 因为f(x)=x2+55，即f(x)的值域为(5，+)，故f-1(x)的定义域为(5，+)例3 下列函数中，值域是(0，+)的一个函数是 解 B例4 函数y=(a2-1)x在(-，+)上是减函数，则a的取值范围是 例5 已知ab，ab0审查下列不等式其中恒成立的有 A1个 B2个 C3个 D4个解 C解 (0，1)例7 使函数yx2-x-12递减的x的取值范围是_例8 根据不等式确定正数a的取值范围：(1)
2、a-0.3a0.2，则a_；(2)a7.5a3.9，a_；解 (1)(1，+) (2)(0，1) (3)(0，1)(1)指出函数的奇偶数，并予以证明；(2)求证：对任何x(xR且x0)，都有f(x)0所以f(x)是偶函数(2)当x0时，2x1，所以f(x)0当x0时，由f(x)为偶函数，有f(x)=f(-x)0所以对一切xR，x0，恒有f(x)0注 利用函数的奇偶性常可使解法简化如本例(2)，当x0时，证明f(x)0较繁若注意到f(x)为偶函数，则只须证明，当x0时f(x)0，而这是显然的(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)证明f(x)是区间(-，+)上的增函数；(3)求函数的值域解 (1)
3、f(x)的定义域为R又所以f(x)为奇函数在R上为增函数 Aabc BacbCbca Dcba解 C 例14 对数式loga(x+1)，logax2，loga(-x)，loga(1-|x|)中的x的 例15 如果f(lgx)=x，则f(3)的值等于 Alog3 Blog310 Cl03 D310解 C 令lgx=3，则x=103例16 若log2x=log3y=log5z0，则 解 B 令log2x=log3y=log5z=k，有x=2k，y=3k，z=5k于是例17 已知ab=M(a0，b0，M1)且logMb=x，则logMa的值为 解 A 因为ab=M，所以logMab=logMM=1，
4、即logMa+logMb=1但logMb=x，所以logMa=1-x例18 计算：(1)25log53=_例20 设M=0，1，N=11-a，log10a，2a，a，是否存在事实上，若lga=1，则a=10此时11-a=1，从而11-a=lga=1，此与集合元素互异性矛盾若2a=1，则a=0此时lga无意义1，则a=10，从而lga=1，与集合元素互异性矛盾例22 化简：例23 设a，b同号，且a2-2ab-9b2=0，求lg(a2+ab-6b2)-lg(a2+4ab+15b2)的值 解 A AR B(-，-3C8，+) D3，+)解 B例26 若f(x)=loga|x+1|在(-1，0)内f
5、(x)0，则f(x) A在(-，0)内单调递增B在(-，0)内单调递减C在(-，-1)内单调递减D在(-，-1)内单调递增解 D 依题设，f(x)的图象关于直线x=-1对称，且0a1画出图象(略)即知D正确例27 已知函数f(x)是奇函数，且当x0时，f(x)=x2+lg(x+1)，那么当x0时，f(x)的解析式是 A-x2-lg(1-x) Bx2+lg(1-x)Cx2-lg(1-x) D-x2+lg(1-x)解 A 设x0，则-x0，所以f(-x)=(-x)2+lg(-x+1)=x2+lg(1-x)=-f(x)f(x)=-x2-lg(1-x)例28 函数y=5x+1的反函数是 Ay=log5
6、(x+1) By=logx5+1Cy=log5(x-1) Dy=log(x-1)5解 C解 (1)奇函数 f(x)为奇函数(2)3.373 因为(x)=x2+f(x)，又由(1)知，f(x)为奇函数，所以f(-2)=-f(2)所以(-2)=(-2)2+f(-2)=222-(22+f(2)=8-(2)=8-4.627=3.373例31 若1x2，则(log2x)2，log2x2，log2(log2x)的大小关系是_log2(log2x)(log2x)2log2x2(1)判断f(x)的奇偶性；(2)已知f(x)存在反函数f-1(x)，若f-1(x)0，求x的取值范围另一方面，有所以f(x)是奇函数
7、故当a1时，x0；当0a1时，x0例33 已知常数a，b满足a1b0，若f(x)=lg(ax-bx)，(1)求y=f(x)的定义域；(2)证明y=f(x)在其定义域内是增函数；(3)若f(x)恰在(1，+)上恒取正值，且f(2)=lg2，求a，b的值(2)任取x1，x2(0，+)，且x1x2因为a1，所以g1(x)=ax是增函数，所以ax1-ax20故f(x)=lg(ax-bx)在(0，+)内是增函数(3)因为f(x)在(1，+)内为增函数，所以对于x(1，+)内每一个x值，都有f(x)f(1)要使f(x)恰在(1，+)上恒取正值，即f(x)0只须f(1)=0于是f(1)=lg(a-b)=0，
8、得a-b=1又f(2)=lg2，所以lg(a2-b2)=lg2，所以a2-b2=2，即(a+b)(a-b)=2而a-b=1，所以a+b=2例34 设0x1，a0且a1，试比较|loga(1-x)|与|loga(1+x)|的大小解 作差比较因为0x1，所以01-x1，11+x2，01-x21当a1时，|loga(1-x)|=-loga(1-x)，|loga(1+x)|=loga(1+x)所以|loga(1-x)|-|loga(1+x)|=-loga(1-x)-loga(1+x)=-loga(1-x2)0即 |loga(1-x)|loga(1+x)|当0a1时，|loga(1-x)|=loga(1
9、-x)，|loga(1+x)|=-loga(1+x)所以 |loga(1-x)|-|loga(1+x)|=loga(1-x)+loga(1+x)=loga(1-x2)0即 |loga(1-x)|loga(1+x)|注 本例也可用作商比较法来解例35 设对所有实数x，不等式恒成立，求a的取值范围解 根据题意，可知原不等式(关于x的二次不等式)应满足下列条件：例36 设函数f(x)=log2(3-2k)x2-2kx-k+1，求使f(x)在(-，0)内单调递减，而在(1，+)内单调递增的所有实数k组成的集合M必须有g(x)0，3-2k0，且g(x)的图象的对称轴与x轴的交点的横坐标必须属于0，1于是
10、k确定于不等式组例37 在函数y=logax(0a1，x1)的图象上有A，B，C三点，它们的横坐标分别是m，m+2，m+4(1)若ABC面积为S，求S=f(m)；(2)判断S=f(m)的增减性；(3)求S=f(m)的最大值解 (1)由A，B，C三点分别向x轴作垂线，设垂足依次为A1，B1，C1，则38 log34log48log8m=log416，则m为 解 B 由已知有 Aba1B1ab0Cab1D1ba0解 A 由已知不等式得故选A 故选A A1，+ B(-，1 C(0，2) D1，2)2x-x20得0x2又t=2x-x2=-(x-1)2+1在1，+)上是减函数， AmpnqBnpmqCm
11、npqDmqpn例43 (1)若logac+logbc=0(c0)，则ab+c-abc=_；(2)log89=a，log35=b，则log102=_(用a，b表示)但c1，所以lga+lgb=0，所以ab=1，所以ab+c-abc=1例44 函数y=f(x)的定义域为0，1，则函数flg(x2-1)的定义域是_由题设有0lg(x2-1)1，所以1x2-110解之即得例45 已知log1227=a，求log616的值例46 比较下列各组中两个式子的大小：例47 已知常数a0且a1，变数x，y满足3logxa+logax-logxy=3(1)若x=at(t0)，试以a，t表示y；(2)若tt|t2-4t+30时，y有最小值8，求a和x的值解 (1)由换底公式，得即 logay=(logax)2-3logax+3当x=at时，logay=t2-3t+3，所以y=ar2-3t+3(2)由t2-4t+30，得1t3值，所以当t=3时，umax=3即a3=8，所以a=2，与0a1矛盾此时满足条件的a值不存在
