1、求数列通项公式的十种方法求数列通项公式的十种方法,例题答案详解 求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细） 总述：一利用递推关系式求数列通项的11种方法： 累加法、 累乘法、 待定系数法、 阶差法（逐差法）、 迭代法、 对数变换法、 倒数变换法、 换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、 数学xx、 不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、 特征根法 二。四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其xx形式。等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这 二种方法是求数列通项公式的最基本方法。求数列通项公式的十种方法,例题答案详解 三 求数列通项的方法的基
2、本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。 四求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。 五数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。 一、累加法 1适用于： -这是xx的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。 2若， 则 两边分别相加得 例1 已知数列满足，求数列的通项公式。 解：由得则 a?(a?a)?(a?a)?(a?a)?(a?a)?a1232n?n11nnn?1?2?2(n?1)?1?2(n?2)?1?(2?2?1)?(2?1?1)?1 1?n?1)?2?1?(n?2(n1)?(?2) n?1)(n1?n?1)(?2? 21n1)(?1)?(?n2n?所以
3、数列的通项公式为。 已知数列满足，求数列的通项公式。2 例 求数列通项公式的十种方法,例题答案详解 解法一：由得则 所以 解法二：两边除以，得， 则，故aaaaaaaaaa3?n?1?n?12n?2nnnn121?)?(?)?(?(?)?(? 22n?31?nnn2n?33333333aa11?n?n212121213 ?(?)?(?)?(?)?(?)? 2?2n?1nn3333333332(n?1)11111?(?)?1 2n?n2n?1n333333 因此， 则 评注：已知,，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项. 若f(n)是关于n的一次函数，累加后可
4、转化为等差数列求和; 若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和; 若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; 若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。 例3.已知数列中, 且,求数列的通项公式. , 由已知得:解求数列通项公式的十种方法,例题答案详解 化简有,由类型(1)有, 又得,所以,又, 则 此题也可以用数学xx来求解. 二、累乘法 1.。 -适用于： -这是xx的等比数列 累乘法是最基本的二个方法之二。 2若，则 两边分别相乘得， 例4 已知数列满足，求数列的通项公式。 解：因为，所以，则，故 所以数列的通项公式为 例5.设是首项为1的正项数列，且（=1，
5、2， 3，），则它的通项公式是=_. 解：已知等式可化为： ()(n+1), 即 时，求数列通项公式的十种方法,例题答案详解 =. 评注：本题是关于和的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到与的更为明显的关系式，从而求出. 练习.已知,求数列an的通项公式. 答案：-1. 评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式转化为 xx,则问题进一步转化为形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式. 三、待定系数法 适用于 基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。 1形如,其中)型 （1）若c=1时，数列为等差数列; （2）若d=0时，数列为
6、等比数列; （3）若时，数列为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求. 待定系数法：设, 与题设比较系数得,得求数列通项公式的十种方法,例题答案详解 ,所以所以有： 因此数列构成以为首项，以c为公比的等比数列， 所以 即：. 规律：将递推关系化为,构造成公比为c的等比数列从而求得通项公式 逐项相减法（阶差法）：有时我们从递推关系中把n换成n-1有,两式相减有从而化为公比为c的等比数列,进而求得通项公式. ,再利用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂. 例6已知数列中，求数列的通项公式。 解法一： ?a?1?2(a?1) 1nn?又是首项为2，公比为2的等比数列 ，即
7、 解法二： ?a?2a?1 n1n?两式相减得，故数列是首项为2，公比为2的等比数列，再用累加法的 练习已知数列中，求通项。 答案：求数列通项公式的十种方法,例题答案详解 2形如：(其中q是常数，且n0,1) 若p=1时，即：，累加即可. 若时，即：， 求通项方法有以下三种方向：i. 两边同除以.目的是把所求数列构造成等差数列 即： ,令，则,然后类型1，累加求通项. ii.两边同除以 . 目的是把所求数列构造成等差数列。 即： , 令,则可化为.然后转化为类型5来解， iii.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列 设.通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项. 注意：应用待定系数法时，
8、要求pq，否则待定系数法会失效。 例7已知数列满足，求数列的通项公式。 解法一（待定系数法）：设，比较系数得， 则数列是首项为，公比为2的等比数列， 所以，即 两边同时除以得：，下面解法略 解法二（两边同除以）：求数列通项公式的十种方法,例题答案详解 解法三（两边同除以）： 两边同时除以得：，下面解法略 3形如(其中k,b是常数，且) 方法1：逐项相减法（阶差法） 方法2：待定系数法 通过凑配可转化为 ; 解题基本步骤： 1、确定=kn+b 2、设等比数列，公比为p 3、列出关系式,即 4、比较系数求x,y 5、解得数列的通项公式 6、解得数列的通项公式 例8 在数列中，求通项.（逐项相减法）
9、 解：， 时， 则,令 .两式相减得求数列通项公式的十种方法,例题答案详解 利用类型5的方法知 即 再由累加法可得. 亦可联立 解出. 例9. 在数列中，,求通项.（待定系数法） 解：原递推式可化为 比较系数可得：x=-6,y=9,上式即为 所以是一个等比数列，首项,公比为.即： 故. 4形如(其中a,b,c是常数，且) 基本思路是转化为等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。 例10 已知数列满足，求数列的通项公式。 解：设 比较系数得， 所以 由，得 则，故数列为以为首项，以2为公比的等比数列，因此，则。 求数列通项公式的十种方法,例题答案详解 5.形如时将作为求解
10、 分析：原递推式可化为的形式，比较系数可求得，数列为等比数列。 例11 已知数列满足，求数列的通项公式。 解：设 比较系数得或，不妨取，（取-3 结果形式可能不同，但本质相同） 3的等比数列则，则是首项为4，公比为 ，所以. ,求数列中，若,且满足.练习 . 答案： )型其中p,r为常数四、迭代法 ( 12 已知数列满足，求数列的通项公式。例 解：因为，所以1)?(n(2n?2)?n1n?n?2?12(n?1)3n?23?3(n?1)2?23n?n?aa?a?a2?nnn?1?2n1)n?2)?(3n?2(n2n?3(n?2)?21)?3?(n ?a3?n1)?(n?(n?2)n(3?3)2?
11、n2)(n?n?1)3a? 3?n? 1)n?2)?(n21?1n?(?3)?n2n?(2)n332?(?n1)a? 1 1)?n(n1n? 22?3!?na? 1 又，所以数列的通项公式为。求数列通项公式的十种方法,例题答案详解 注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。 五、对数变换法 适用于(其中p,r为常数)型 p0， 例14. 设正项数列满足，（n2）.求数列的通项公式. 解：两边取对数得：，设，则是以2为公比的等比数列， . 数列中，（n2），求数列的通项公式练习 答案： 例15 已知数列满足，求数列的通项公式。 解：因为，所以。 两边取常用对数得 设（同类型四） 比
12、较系数得， 由，得， 为公比的等比数列，则，因此5所以数列是以为首项，以求数列通项公式的十种方法,例题答案详解 则。 六、倒数变换法 适用于分式关系的递推公式，分子只有一项 例16 已知数列满足，求数列的通项公式。 解：求倒数得为等差数列，首项，公差为， 七、换元法 适用于含根式的递推关系 例17 已知数列满足，求数列的通项公式。 解：令，则 代入得 111221?4(b?(b?1)?1)?b n1n?n242416即 因为， 则，即， 可化为， 所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，则，即，得 。求数列通项公式的十种方法,例题答案详解 八、数学xx 通过首项和递推关系式求出数列的前n项，
13、猜出数列的通项公式，再用数学xx加以证明。 例18 已知数列满足，求数列的通项公式。 解：由及，得 8(1?1)88?224?a?a? 1222251?3)99?25?(2?11)(2?488(2?1)248?3?a?a? 232249?49252(2?1)25(2?2?3)804488?8(31)?a?a? 34228149?1)?(2?3?3)8149(2?3由此可猜测，下面用数学xx证明这个结论。 （1）当时，所以等式成立。 （2）假设当时等式成立，即，则当时， 8(k?1)?aa? kk?1223)k1)?(2(2k?22?8(k?1)?1(2k?3)?(2k1) ? 223)?(2(
14、2k?1)k2221)k3)?(2(2k?1)k(2? ? 223)(2k?(2k?1)213)?(2k? 23)?k(221?1)1?2(k? 21?k2(?1)由此可知，当时等式也成立。 根据（1），（2）可知，等式对任何都成立。 九、阶差法（逐项相减法）求数列通项公式的十种方法,例题答案详解 1、递推公式中既有，又有 分析：把已知关系通过转化为数列或的递推关系，然后采用相应的方法求解。 例19 已知数列的各项均为正数，且前n项和满足，且成等比数列，求数列的通项公式。 解：对任意有 当n=1时，解得或 当n2时， -整理得： 各项均为正数， 当时，此时成立 当时，此时不成立，故舍去 所以
15、练习。已知数列中, 且,求数列的通项公式. 答案： 2、对无穷递推数列 已知数列满足，求的通项公式。20 例求数列通项公式的十种方法,例题答案详解 解：因为 所以 用式式得 则故 所以 由，则，又知，则，代入得。 所以，的通项公式为 十、不动点法 目的是将递推数列转化为等比（差）数列的方法 不动点的定义：函数的定义域为，若存在，使成立，则称为的不动点或称为函数的不动点。 分析：由求出不动点，在递推公式两边同时减去，在变形求解。 类型一：形如 例21 已知数列中，求数列的通项公式。 解：递推关系是对应得递归函数为，由得，不动点为-1 ， 类型二：形如 分析：递归函数为求数列通项公式的十种方法,例
16、题答案详解 （1）若有两个相异的不动点p,q时，将递归关系式两边分别减去不动点p,q，再将两式相除得，其中， （2）若有两个相同的不动点p，则将递归关系式两边减去不动点p，然后用1除，得，其中。 例22. 设数列满足,求数列的通项公式. 分析：此类问题常用参数法化等比数列求解. 解：对等式两端同时加参数t,得： , 令, 解之得t=1,-2代入得 , 相除得,即是首项为， 公比为的等比数列, =, 解得. 方法2： ， 两边取倒数得， 令b，则b,转化为累加法来求. 已知数列满足，求数列的通项公式。23 例求数列通项公式的十种方法,例题答案详解 解：令，得，则是函数的两个不动点。因为 。所以数
17、列是以为首项，以为公比的等比数列，故，则。 十一。特征方程法 形如是常数）的数列 形如是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为 若有二异根，则可令是待定常数） 若有二重根，则可令是待定常数） 再利用可求得，进而求得 例24 已知数列满足，求数列的通项 解：其特征方程为，解得，令， 由，得， 例25、数列满足，且求数列的通项。 解： 令，解得，将它们代回得， ， , ，得求数列通项公式的十种方法,例题答案详解 则，数列成等比数列，首项为1，公比q=2 所以，则， 十二、基本数列 1形如型 等差数列的xx形式，见累加法。 2.形如型 等比数列的xx形式，见累乘法。 3.形如型 （1）若（d为常数），则数列为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论; （2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过构造转化为型，通过累加来求出通项;或用逐差法(两式相减)得，分奇偶项来分求通项.
