1、连续系统函数零极点与离散系统函数零点及系统特性研究连续系统函数零极点与离散系统函数零点及系统特性研究摘要： 通过对连续系统函数和离散系统函数零极点及冲击响应研究和稳定性的探究和matlab仿真来对比不同条件下的冲击响应和零极点的变化，已达到对离散与连续系统的特性研究。关键词：连续系统，离散系统，冲激响应，matlab，零极点。连续系统函数零极点与系统特性研究连续时间系统的稳定性与系统零点无关，与系统的极点有关，而系统零点则影响系统单位冲激响应的幅度和相位。理解系统的零极点与系统的稳定性之间的关系有利于对系统的理解。如果给定系统函数H(s)，或给定系统微分方程(可以求出系统函数)，通过系统函数可
2、以零极点图判断系统的稳定性。(1)可用Matlab函数pzmap来画出系统的零极点图。函数pzmap的调用形式为p,z = pzmap(sys)其中调用变量sys为系统函数，而sys生成可以利用sys=tf(num,den)，num表示N(s)，den表示D(s)。返回变量p存放系统H(s)的极点，返回变量z存放系统H(s)的零点。(2)可用Matlab函数impulse来画出系统的单位冲激响应h(t)。函数impulse的调用形式为h=impulse(num,den,t);其中调用变量num表示N(s)，den表示D(s)。返回变量h存放系统的单位冲激响应h(t)。从h(t)的图形可以基本判
3、断系统稳定性和零极点的关系。以系统为例进行研究：画出系统的零极点，并画出系统单位冲激响应h(t)的波形图。并与理论图形相比较理论分析： 由H（s）可知道原系统方程为y(t)-6y(t)+5y(t)=x(t)+x(t)则可求系统冲激响应如下：h(t)-6h(t)+5h(t)=0-r2-6r+5=0-r1=5;r2=1;h(t)=(ae(5t)+be(t)*u(t)带入h(t)-6h(t)+5h(t)=&（t）+&(t)中，有左右相等解得a=5/8,b=3/8.所以解得h（t）=(5/8*e(5t)+3/8*e(t)u(t);程序如下:t=0:0.02:30;A=0.625;B=0.375;c=5
4、;d=1;xt=A*exp(c*t)+B*exp(d*t);plot(t,xt)xlabel(time(s);title(impulse respone)结果如下:通过matlab 直接画出冲击响应：程序如下：num=1 1;den=1 -6 5;sys=tf(num,den);figure(1);pzmap(sys);t=0:0.02:30;h=impulse(num,den,t);figure(2);plot(t,h);xlabel(time(s);title(impulse respone)系统零极点图如下： 系统冲级响应图如下：经与理论值比较，图像符合的很好。注意观察零极点和系统单位冲
5、激响应h(t)的波形图走向关系，大致判断系统零极点和系统稳定性之间的关系。注意到零点在系统虚轴左边，极点在虚轴右边系统是不稳定的。具体探究在第三部如下。3. 只改变零点或改变极点，观察系统单位冲激响应h(t)的波形图，得出你的结论。 1）先探究极点：由上图可知极点为t=1和t=5 图形上升，可知系统不稳定。将极点改为t=-1和t=-5程序如下：num=1 1;den=1 6 5;sys=tf(num,den);figure(1);pzmap(sys);t=0:0.02:30;h=impulse(num,den,t);figure(2);plot(t,h);xlabel(time(s);titl
6、e(impulse respone)结果如下： 将极点改为t=-1,t=2程序如下：num=1 1;den=1 -1 -2;sys=tf(num,den);figure(1);pzmap(sys);t=0:0.02:30;h=impulse(num,den,t);figure(2);plot(t,h);xlabel(time(s);title(impulse respone) 可以看到，当虚轴右边有极点时系统不稳定，当极点都在虚轴左边时系统是稳定的下面探究一下当极点在虚轴上时的稳定性：极点为t=0 ,t=-1；程序如下：num=1 1;den=1 1 0;sys=tf(num,den);fig
7、ure(1);pzmap(sys);t=0:0.02:30;h=impulse(num,den,t);figure(2);plot(t,h);xlabel(time(s);title(impulse respone) 可以看到系统是不稳定的。结论：只有当最右边的极点在虚轴的左边时系统才是稳定的，否则系统是不稳定的。2）再探究零点：由以上知零点为t=-1时系统是不稳定的在探究零点为t=1时能否改变系统的稳定性程序如下:num=1 -1;den=1 -6 5;sys=tf(num,den);figure(1);pzmap(sys);t=0:0.02:30;h=impulse(num,den,t);
8、figure(2);plot(t,h);xlabel(time(s);title(impulse respone)结果如下： 零点位置改变并未改变系统的不稳定性，接下来探究改变零点是否改变稳定系统的稳定性：程序如下：num=1 1;den=1 6 5;sys=tf(num,den);figure(1);pzmap(sys);t=0:0.02:30;h=impulse(num,den,t);figure(2);plot(t,h);xlabel(time(s);title(impulse respone)结果如下：当零点改为t=+1时程序如下：num=1 -1;den=1 6 5;sys=tf(n
9、um,den);figure(1);pzmap(sys);t=0:0.02:30;h=impulse(num,den,t);figure(2);plot(t,h);xlabel(time(s);title(impulse respone)结果如下：可知系统依然稳定，由此可知零点位置的改变并不会影响系统的稳定性。结论：零点位置不影响系统稳定性，极点位置影响系统的稳定性，当所有极点都在虚轴左边时系统是稳定的，否则系统是不稳定的。离散系统函数零极点与系统特性研究离散时间系统的稳定性与系统零点无关，与系统的极点有关，而系统零点则影响系统单位脉冲响应的幅度和相位。理解系统的零极点与系统的稳定性之间的关系
10、有利于对系统的理解。如果给定系统函数H(s)，或给定系统微分方程(可以求出系统函数)，通过系统函数可以零极点图判断系统的稳定性。(1)可用Matlab函数zplane来画出系统的零极点图。函数zplane的调用形式为p,z = pzmap(num,den)其中，如果系统函数是，调用变量num表示N(s)，den表示D(s)。返回变量p存放系统H(s)的极点，返回变量z存放系统H(s)的零点。(2)可用Matlab函数impz来画出系统的单位脉冲响应hk。函数impz的调用形式为h=impz(num,den,Fs);其中调用变量num表示N(s)，den表示D(s)，抽样率为1/Fs。返回变量h
11、存放系统单位脉冲响应hk。从hk的图形可以基本判断系统稳定性和零极点的关系。以系统为例研究：画出系统的零极点，并画出系统单位脉冲响应hk的波形图。并与理论图形相比较。理论分析：yk-3+0.1628yk-2+0.3403yk-1+0.0149k=xk-3-3xk-2+3xk-1-xkhk-3+0.1628hk-2+0.3403hk-1+0.0149hk=0-r(-3)+0.1628r(-2)+0.3403r(-1)+0.0149=0直接求冲击响应：程序如下：num=1 -3 3 -1;den=1 0.1682 0.3403 0.0149 ;r,p,k=residue(num,den)运行结果如
12、下：r = 0.1359 - 2.6563i 0.1359 + 2.6563i -3.4399 p = -0.0618 + 0.5753i -0.0618 - 0.5753i -0.0445 k = 1可解得hk程序如下：num=1 -3 3 -1;den=1 0.1628 0.3403 0.0149;figure(1);zplane(num,den);h=impz(num,den,21);figure(2);stem(0:20,h);xlabel(k);零点图如下：冲激响应图如下：与理论图符合的很好。注意观察零极点和系统单位脉冲响应hk的波形图走向关系，大致判断系统零极点和系统稳定性之间的关
13、系。由图可以看出极点在单位圆内，零点在单位圆上，由冲击响应知该系统是稳定的具体探究如下。只改变零点或改变极点，观察系统单位脉冲响应hk的波形图，得出结论。先探究极点：程序如下：num=1 -3 3 -1;den=1 -3 -4 12;figure(1);zplane(num,den);h=impz(num,den,21);figure(2);stem(0:20,h);xlabel(k);结果如下： 可以看出系统不稳定。程序如下：num=1 -3 3 -1;den=1 -4 -0.5 2;figure(1);zplane(num,den);h=impz(num,den,21);figure(2)
14、;stem(0:20,h);xlabel(k);结果如下： 可以看出系统发散程序如下：num=1 -3 3 -1;den=1 -1 -0.25 0.25;figure(1);zplane(num,den);h=impz(num,den,21);figure(2);stem(0:20,h);xlabel(k);结果如下： 系统收敛.可以看出极点分布影响系统稳定性，只有所有极点在单位圆内或单位圆上时系统才稳定，否则系统是不稳定的。再探究零点：由以上知零点在单位圆上时系统是稳定的，改变零点分别为2和0观察系统的稳定性程序如下：num=1 0 0 0;den=1 0.1628 0.3403 0.014
15、9;figure(1);zplane(num,den);h=impz(num,den,21);figure(2);stem(0:20,h);xlabel(k);结果如下： 系统是稳定的。零点为t=2时程序如下：num=1 -6 12 -8;den=1 0.1628 0.3403 0.0149;figure(1);zplane(num,den);h=impz(num,den,21);figure(2);stem(0:20,h);xlabel(k);结果为： 系统是稳定的。接下来探究零点是否对不稳定系统有影响：程序如下：num=1 -3 3 -1;den=1 -3 -4 12;figure(1);
16、zplane(num,den);h=impz(num,den,21);figure(2);stem(0:20,h);xlabel(k);结果如下：系统发散程序如下：num=1 0 0 0;den=1 -3 -4 12;figure(1);zplane(num,den);h=impz(num,den,21);figure(2);stem(0:20,h);xlabel(k);结果如下： 系统发散。程序如下： 系统发散。综上可知零点对于系统的稳定性没有影响。结论：零点位置对于系统的稳定性没有影响。极点的位置对系统有影响，只有所有极点在单位圆内或单位圆上时系统才稳定，否则系统不稳定。结论连续系统零点位置不影响系统稳定性，极点位置影响系统的稳定性，当所有极点都在虚轴左边时系统是稳定的，否则系统是不稳定的。 离散系统零点位置对于系统的稳定性没有影响。极点的位置对系统有影响，只有所有极点在单位圆内或单位圆上时系统才稳定，否则系统不稳定。
