1、届高三数学一轮复习第三章导数及其应用31第3章 第1节一、选择题1(文)2010瑞安中学)函数yx21在1,1x上的平均变化率是()A2 B2xC2x D2x2答案C解析x2.(理)二次函数yf(x)的图象过原点，且它的导函数yf (x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数yf(x)的图象的顶点在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案C解析由题意可设f(x)ax2bx，f (x)2axb，由于f (x)图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a0，b0，则f(x)a(x)2，顶点(，)在第三象限，故选C.2(2010江西文，4)若函数f(x)ax4bx2c满足f (1)2
2、，则f (1)()A1 B2C2 D0答案B解析f (x)4ax32bx，f (1)4a2b(4a2b)，f (1)4a2b，f (1)f (1)2要善于观察，故选B.点评由f (x)4ax32bx知，f (x)为奇函数，f (1)f (1)2.3(2010金华十校)曲线yx3上一点B处的切线l交x轴于点A，OAB(O是原点)是以A为顶点的等腰三角形，则切线l的倾斜角为()A30 B45C60 D120答案C解析解法一：设B(x0，x03)，则kOBtanAOBx02，ABAO，BAx2BOA，曲线yx3在B处切线斜率kAB3x02tanBAxtan2BOA，x02，kAB，切线l倾斜角为60
3、.解法二：设B(x0，x03)，由于y3x2，故曲线l的方程为yx033x02(xx0)，令y0得点A，由|OA|AB|得22(x030)2，当x00时，题目中的三角形不存在，故得x04，故x02，直线l的斜率k3x02，故直线l的倾斜角为60.4已知f(x)logax(a1)的导函数是f (x)，记Af (a)，Bf(a1)f(a)，Cf (a1)，则()AABC BACBCBAC DCBA答案A解析记M(a，f(a)，N(a1，f(a1)，则由于Bf(a1)f(a)，表示直线MN的斜率，Af (a)表示函数f(x)logax在点M处的切线斜率；Cf (a1)表示函数f(x)logax在点N
4、处的切线斜率所以，ABC.5设函数f(x)sin1(0)的导函数f (x)的最大值为3，则f(x)图象的一条对称轴方程是()Ax BxCx Dx答案A解析f (x)cos的最大值为3，即3，f(x)sin1.由3xk得，x(kZ)故A正确6(文)(2010深圳市九校)下图是函数yf(x)的导函数f (x)的图象，则下面判断正确的是()A在区间(2,1)上f(x)是增函数B在区间(1,3)上f(x)是减函数C在区间(4,5)上f(x)是增函数D当x4时，f(x)取极大值答案C解析由图象可知，在区间(4,5)上，f (x)0，f(x)在(4,5)上是增函数，故选C.(理)(2010厦门三中，201
5、1吉林省实验中学模拟)如图，函数yf(x)的图象在点P(5，f(5)处的切线方程是yx8，则f(5)f (5)()A. B1C2 D0答案C解析由条件知f (5)1，又在点P处切线方程为yf(5)(x5)，yx5f(5)，即yx8，5f(5)8，f(5)3，f(5)f (5)2.7(文)(2010广东汕头一中)函数f(x)e2x的图象上的点到直线2xy40的距离的最小值是()A. B.C. D.答案B解析设l为与直线2xy40平行的函数f(x)e2x的图象的切线，切点为(x0，y0)，则klf (x0)2e2x02，x00，y01，切点(0,1)到直线2xy40的距离d即为所求(理)(2010
6、海南五校联考)点P是曲线x2y2ln0上任意一点，则点P到直线4x4y10的最小距离是()A.(1ln2) B.(1ln2)C.(ln2) D.(1ln2)答案B解析将直线4x4y10作平移后得直线l：4x4yb0，直线l与曲线切于点P(x0，y0)，由x2y2ln0得y2x，直线l的斜率k2x01x0或x01(舍去)，P(，ln2)，所求的最小距离即为点P(，ln2)到直线4x4y10的距离：d(1ln2)8(文)(2010广东检测)设aR，若函数yexax，xR有大于零的极值点，则()Aa1Ca Da0a1a BC D答案C解析由g(x)g(x)得，x1，1，由h(x)h(x)得，ln(x
7、1)，故知1x12，0x1，即03，故3，.点评对于ln(x1)，假如0x11，则ln(x1)1矛盾；假如x12，则，即ln(x1)，x1，x1与x1矛盾10(文)函数f(x)xcosx的导函数f (x)在区间，上的图象大致为()答案A解析f(x)xcosx，f (x)cosxxsinx，f (x)f (x)，f (x)为偶函数，排除C；f (0)1，排除D；由f 0，排除B，故选A.(理)(2010胶州三中)已知函数f(x)Asin(x)(A0，0,0)，其导函数f (x)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为()Af(x)4sinBf(x)2sinCf(x)2sinDf(x)4sin
8、答案A解析f (x)Acos(x)，由f (x)的图象知，A2，设周期为T，则2，T4，A4，f (x)的图象过点，2cos0，k，kZ，即k，kZ，00)，h(x)exx，p(x)cos2x,0x的导函数f (x)，g(x)，h(x)，p(x)的零点依次为x1，x2，x3，x4，则将x1，x2，x3，x4按从小到大用“”连接起来为_答案x1x3x20，x；由h(x)ex10得，x0；由p(x)2sin2x0得，2xk，kZ，x，0x，x，x11，x2，x30，x4，故有x1x3x2x4.(理)设函数f(x)cos(x)(0)，若f(x)f (x)为奇函数，则_.答案解析f (x)sin(x)
9、，由条件知cos(x)sin(x)2sin2sin为奇函数，且0，.三、解答题15(文)(2010吉林市质检)定义在R上的函数f(x)ax3bx2cx3同时满足以下条件：f(x)在(，1)上是增函数，在(1,0)上是减函数；f(x)的导函数是偶函数；f(x)在x0处的切线与第一、三象限的角平分线垂直求函数yf(x)的解析式解析f (x)3ax22bxc，f(x)在(，1)上是增函数，在(1,0)上是减函数，f (1)3a2bc0由f(x)的导函数是偶函数得：b0又f(x)在x0处的切线与第一、三象限的角平分线垂直，f (0)c1由得：a，b0，c1，即f(x)x3x3.(理)(2010湖南考试
10、院调研)已知函数f(x)，mR.(1)求f(x)的极值；(2)若lnxax0，f(x)单调递增；当x(em，)时，f (x)0，f(x)单调递减故当xem时，f(x)有极大值，且极大值为f(em)em.(2)欲使lnxax0在(0，)上恒成立，只需0)，由(1)知，g(x)在xe处取得极大值.所以a，即a的取值范围为.16(2010北京市延庆县模考)已知函数f(x)x3(ab)x2abx，(0ab)(1)若函数f(x)在点(1,0)处的切线的倾斜角为，求a，b的值；(2)在(1)的条件下，求f(x)在区间0,3上的最值；(3)设f(x)在xs与xt处取得极值，其中st，求证：0satb.解析(
11、1)f (x)3x22(ab)xab，tan1.由条件得，即，解得a1，b2或a2，b1，因为a0，f (a)a2aba(ab)0，f (x)0在区间(0，a)与(a，b)内分别有一个根st，0satb.17(文)(2010北京东城区)已知函数f(x)ax2blnx在x1处有极值.(1)求a，b的值；(2)判断函数yf(x)的单调性并求出单调区间解析(1)因为函数f(x)ax2blnx，所以f (x)2ax.又函数f(x)在x1处有极值，所以，即，可得a，b1.(2)由(1)可知f(x)x2lnx，其定义域是(0，)，且f (x)x.当x变化时，f (x)，f(x)的变化情况如下表：所以函数y
12、f(x)的单调减区间是(0,1)，单调增区间是(1，)(理)(2010北京东城区)已知函数f(x)aln(x1)(x1)2在x1处有极值(1)求实数a的值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)令g(x)f (x)，若曲线g(x)在(1，g(1)处的切线与两坐标轴分别交于A、B两点(O为坐标原点)，求AOB的面积解析(1)因为f(x)aln(x1)(x1)2，所以f (x)2x2.由f (1)0，可得220，a8.经检验a8时，函数f(x)在x1处取得极值，所以a8.(2)f(x)8ln(x1)(x1)2，f (x)2x2.而函数f(x)的定义域为(1，)，当x变化时，f (x)，f(x)的变化情况如下表：由表可知，f(x)的单调减区间为(1,1)单调增区间为(1，)(3)由于g(x)f (x)2x2，所以g(x)2，当x1时，g(1)4，g(1)0.所以切线斜率为4，切点为(1,0)，所以切线方程为y4(x1)，即4xy40.令x0，得y4，令y0，得x1.所以AOB的面积S|4|12.
