1、计算方法复习题大全doc计算方法总复习第一章 绪论例 1 已知数 x=2.718281828.,取近似值 x*=2.7182,那麽 x 具有几位有效数字点评；考查的有效数字的概念。*xx*L2.71820.00008182e2.718281828解；110 3110140.000522故有四位有效数字。例 2近似数 x*0.01999关于真值 x*0.02000 有几位有效数字*L0.020000.00001e xx0.01999解：110 4110130.0000522故有三位有效数字。 2)，则称 x 有 4 位有例 3数值 x* 的近似值 x=0.121510，若满足 x x (效数字点
2、评；已知有效数字的位数，反过来考查有绝对误差。解；有四位有效数字则意味着如果是一个形如0.a1a2 a3 K an 的数则绝对误差限一定为 1104 ，由于题目中的数 x 0.a1a2 Lan10 2 ,故最终的121绝对误差为10 410 210 622例 4有效数 x1*3.105, x2*0.001, x3*0.100，试确定 x1*x2*x3* 的相对误差限。点评；此题考查相对误差的传播。*nf*er ( y)i 1(xi)er ( xi)xiy*er ( x1* )x1*er(x2* ) x2*er ( x3* )x3*e(x1* )e( x2* ) e( x3* )故有 er (
3、x1x2x3 )x1*x2*x3*x1*x2*x3*1 1031 1031 103*e(x1 ) e( x2 ) e( x3 )222=0.0004993解： er ( x1x2x3 )x1*x2*x3*3.105 0.001 0.100例 5sin1 有 2 位有效数字的近似值0.84 的相对误差限是.解法1： 1102 1110 10.00625 （有效数字与相对误差限的关系）2816解法2；11020.84（相对误差限的概念）20.0059524例 6 n x*的相对误差为 x* 的相对误差的 -倍。*nf*解：根据误差传播公式er ( y )i 1 (xi) er ( xi ) xiy
4、*则有 er ( n x *)( n x *) er ( x* ) x* / n x *1n第二章例 1设 f ( x) 可微，求 xf ( x) 根的牛顿迭代公式 - 。解；化简得到xf ( x)0根据牛顿迭代格式xk 1xkf ( xk )(k0,1,2, )f (xk )则相应的得到xk 1xkf (xk )(k0, 1, 2,L )xkf ( xk )1例 2： 求方程f ( x)x3x10在区间 1, 1.5内的实根。要求准确到小数点后第2 位。思路；用二分法，这里 a = 1, b = 1.5， 且 f (a) 0。取区间 a, b 的中点x = 1.25 将区间二等分，由于 f
5、(x)0f (1) = -7 0 ）的迭代公式，并用以上公式求0.78265解：设 f ( x)x2c ，（ x 0）则 c 就是 f (x) =0 的正根。由为 f (x) = 2x，所以得迭代公式xk 1xkxk2c2xk或xk 11 xkc（2.6）2xk由于 x 0 时，f (x) 0，且 f(x) 0，根据定理 3 知：取任意初值 x0c ，所确定的迭代序列 xk 必收敛于c 。取初值 x = 0.88，计算结果见表k xk0 0.881 0.884692 0.884683 0.88468故可取 0.78265 0.88468第三章例 1.用列主元消去法解线性方程组12x1 3x2
6、3x3 1518x1 3x2 x3 15x1 x2 x3 6计算过程保留4 位小数.123315解 . A b= 183115(选 a 2118 为主元 )1116183115(r1 ,r2 )123315 (换行，消元 )1116r12r2181183115r1 r3181012.333 35(选 a321.1667 为主元，并换行01.166 70.944 45.166 7消元 )( r2 ,r 3 )r1r23 1.166718311501.16670.944 45.1667系数矩003.142 89.428 5阵为上三角形矩阵，于是回代得解x39.428 53.000 03.142 8
7、x25.1667 0.944 43.000 0 /1.166 72.000 0x1 153.000 0 32.000 0 /( 18)1.000 0T方程组的解为 X (1.000 0,2.000 0,3.000 0)例 2：用列主元高斯消去法求解方程2 x1x23x314 x12 x25x34x12x27由于解方程组取决于它的系数，因此可用这些系数（包括右端项）所构成的“增广矩阵”作为方程组的一种简化形式。对这种增广矩阵施行消元手续：2 1 3 14* 2 5 41 2 0 7第一步将 4 选为主元素，并把主元素所在的行定为主元行，然后将主元行换到第一行得到425410.51.2512131
8、第一步消元02*0.51120701.51.25610.51.25110.51.251第二步消元010.250.5第三步消元010.250.5000.8755.250016消元过程的结果归结到下列三角形方程组：x1 0.5x21.25 x31x20.25x30.5x36回代，得x1 9x2 1x 3 6例 3：用直接三角分解法解123x114252x218315x320解：（ 1）对于 r = 1，利用计算公式u11 1 u12 2 u13 3l21 = 2l 31 = 3（2）对于 r = 2，u22a22l21u12 = 5 2 2 = 1u23a23l 21u13 = 2 2 3 = -
9、4l32(a32l 31u12 )(13 2)5u221（3）r = 3u33a33 (l31u13l 32u23 )5(33 (5)(4)24于是1123A2114LU35124（4）求解：Ly = b得到y= 141y2 = b2 l 21y1 = 18 2 14 = -10y= b(l y1+ ly ) = 20 (3 14 + (-5)(-10) = - 723331322从而 y = (14, -10, -72)T由 Ux= y得到y3723x324u33( y2u23 x3 )10(43)x2u2221y1 (u12 x2u13 x3 ) 14 (2 2 3 3)x1u1111x(
10、1, 2, 3)T例 5：用雅克比迭代法和高斯赛得尔迭代法解线性方程组911x17180x2710938x解：所给线性方程组的系数矩阵按行严格对角占优，故雅克比迭代法和高斯赛得尔迭代法都收敛。D = diag (9, 8, 9)D-1 = diag (1/9, 1/8, 1/9)01 / 91 / 97 / 9I D1A 1/8 00D 1b 7 / 81 / 9007 / 9雅克比迭代法的迭代公式为：01 / 91/ 97/ 9X ( k 1)1/ 800X ( k )7 / 81/ 9007 / 9取 X (0) = (0, 0, 0)T，由上述公式得逐次近似值如下：k01234X ( i
11、)00.77780.97380.99420.999300.87500.97230.99930.999300.88890.97530.99930.9993高斯赛得尔迭代法：x1(k 1)x2(k 1)1 x2( k)91x1( k 1)8x3(k ) 7x3( k) 7x3(k 1)1 x1( k 1)0 x2(k 1)89迭代结果为：k01234x(i)00.77780.99420.99981.00000.97220.99931.00001.00000.97530.99931.00001.0009x12x2x36例 6考察用高斯赛德尔迭代法解方程组x18x2x38x1x28x38收敛性，并取
12、x(0)(1,0,0) T ，求近似解 x(k 1)，使得 xi(k 1)xi(k )10 3（ i=1，2，3）解法同上（ 1，1，-1）1021例7. 设矩阵A 2101125，那么以 A 为系数矩阵的线性方程组 AXb 的雅可比迭代矩阵为 ( A)00.20.110.20.1(A) 0.200.1(B)0.210.10.20.400.20.4100.20.1021(C)0.200.1(D)2010.20.40120例 8、 高斯 - 塞尔德迭代法解线性方程组的迭代格式中求 例 9、 若 则矩阵 A 的谱半径 (A)= 第五章第六章 矛盾方程组x12.8的最小二乘解为 - 。1x13.22
13、 给出拟合三点 A(0,1), B (1,0) 和 C(1,1)的直线方程。第七章1插值型求积公式的求积系数之和为 1已知 f ( x) x 2 1，则差商 f 1,2,3 。3 求积公式32 f (2) 有几次的代数精确度？（ 1）f ( x) dx1bnf ( x)dxAi f ( xi ) 的代数精确度至少是 - 次。 N4 插值型求积公式ai 0 已知n=4时牛顿科茨求积公式的科茨系数C (4)7,C (4)16,C(4)2,那么C( 4)50901452153 ()(A )7(B) 16(C) 2(D) 171623990451590451590bn6 设求积公式 f ( x)dxA
14、k f ( xk ) ，若对的多项式积分ak 0公式精确成立， 而至少有一个 m+1 次多项式不成立。 则称该求积公式具有 m 次代数精度 .7 取 m=4,即 n=8，用复化抛物线求积公式计算积分计算过程保留 4 位小数 .1. 22 ) dxln(1 x0解 n=8, h= 1.2 0 0.15 ,f(x)=ln(1+ x2)8计算列表f (xk )=ln(1 xk2 )kxk奇数号偶数号端点00.00010.150.022 320.300.086 230.450.184 440.600.307 550.750.446 360.900.593 371.050.743 181.200.89201.396 10.987 00.8920代入抛物线求积公式1.2x 2 )dxhln(1 f0f 8 4( f1f 3 f5f7 ) 2( f 2f 4 f6 )
