1、经典滤波器设计 汤晓君,滤波器的分类：可按功能、实现方法、设计方法等方面来进行分类，但总的来说可以分为经典滤波器和现代滤波器两类。经典滤波器假定噪声和信号的频率不重叠，然后让信号通过一个线性系统去除噪声部分，它对有用信号和噪声相互重叠的测试信号无能为力。现代滤波器研究的主要内容是从含有噪声的数据记录中估计出信号的某些特征或信号本身，它把信号和噪声都看作随机信号。现代滤波器主要是自适应滤波、卡尔曼滤波、小波分析等。,0 滤波器简介,1、正弦波的形成与特征,(1)正弦波的形成,sin(tD)=-1,sin(tC)=1,1、正弦波的形成与特征,(2).正弦波的正交性 两个不同频率的正弦波的相关函数是
2、一个恒0值的函数。即对于两个正弦函数f1=sin(1t+1)和f2=sin(2t+2)，若12，则,1、正弦波的形成与特征,(3).傅立叶变换的实质 由于不同频率的正弦波是正交的不同频率的正弦波构成不同的空间，对于一个有限能量的时间域信号，总是可以分成那些空间分量的直接和f(t)=a0+a1sin(t+1)+。傅立叶变换的过程实质上是时间域函数与e-jt(ejt=cos(t)-jsin(t)的相关函数。由正弦波的正交性可知，傅立叶变换所要确定的就是各正弦空间的分量的幅值.,2、滤波器设计,(1)滤波器初步滤波器的作用：将信号中的某部分正弦波分量去除。滤波器的基础：许多信号具有叠加性，或者说是由
3、其它信号叠加而成的。如电路中的电压信号、电流信号等。而根据傅立叶变换可知，任意一个信号可以看作是多个频率正弦波的叠加。,2、滤波器设计,(2).经典滤波器的分类：经典滤波器的实现通常有模拟和数字两种方式。考虑当前输出与上一时刻输出的关系，滤波器由分为IIR和FIR两种方式。根据所保留信号的频率成分进行分类，滤波器分为低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器和带阻滤波器。,2、滤波器设计,2,1-1,|H(ej)|,s,P,p：通带截止频率(通带上限频率)s：阻带下限截止频率1：通带截止频率衰减度2：阻带下限截止频率衰减度,1)低通滤波器,图2 低通滤波器频率域波形图,2、滤波器设计,2)高通滤波器,
4、H(ej)|,s,P,P：通带截止频率(下限频率)s：阻带上限截止频率1：通带截止频率衰减度2：阻带截止频率衰减度,图3 高通滤波器频率域波形图,1-1,2,2、滤波器设计,3)带通滤波器,1：通带下限截止频率3：通带上限截止频率sh：上阻带截止频率sl：下阻带截止频率,图4 带通滤波器频率域波形图,2、滤波器设计,4)带阻滤波器,1：通带下限截止频率3：通带上限截止频率sh：阻带上限截止频率sl：阻带下限截止频率,图5 带阻滤波器频率域波形图,2、滤波器设计,(3).滤波器设计方法 常用的滤波器有巴特沃斯滤波器、切比雪夫滤波器、椭圆滤波器等，鉴于篇幅，这里只介绍巴特沃斯滤波器的设计思想。1)
5、模拟巴特沃斯滤波器设计巴特涡斯滤波器的模型为：明显地，上式中需要确定是参数CN和滤波器阶次N。,2、滤波器设计,对于一个低通滤波器，通常会给出两组指标：(p,p)和(s,s)，其中p和s分别表示通带截止频率和阻带下限截止频率，p和s分别表示滤波器在p和s处的幅频特性，即p=-20lg1/(1+CN(p2)N)s=-20lg1/(1+CN(s2)N),2、滤波器设计,2)从模拟滤波器到数字滤波器 通过前述方法得到的滤波器是拉普拉斯形式，它是模拟滤波器。想得到数字形式的巴特沃斯滤波器，需要通过双线性变换将拉普拉斯形式的滤波器表达式变换成z变换的形式。双线性变换只需要把s=(z-1)/(z+1)/T
6、s代入拉普拉斯形式的滤波器表达式中即可。不过此时得到的滤波器可能是IIR响应滤波器，它的形式为：a0y(n)+a1y(n-1)+a2y(n-2)+=b0 x(n)+b1x(n-1)+b2x(n-2)+,2、滤波器设计,若想获得FIR响应的滤波器，可以对上式进行多项式除法运算，保留前N项，即可获得N-1阶FIR滤波器。也就是 y(n)=h0 x(n)+h1x(n-1)+h2x(n-2)+hN-1x(n-N+1)或者 式中hi为多项式除法中得到的商中的系数。如何确定N的值就构成了FIR滤波器的设计方法。,2、滤波器设计,(4).FIR系统的线性相位 1)非线性相位带来的误差 假定初始信号为：y=s
7、in(x)+sin(3x)分别用两个滤波器进行滤波，滤波器1和滤波器2对sin(x)分量与sin(3x)分量的幅频特性均分别为0.998和0.99。滤波器1对sin(x)分量与sin(3x)分量的相位分别为：6和18，滤波器2对sin(x)分量与sin(3x)分量的相位分别为：6和36。于是y分别用滤波器1和滤波器2滤波后得到的信号F1和F2可以表示为：F1=0.998*sin(x-6)+0.99*sin(3x-18)F2=0.998*sin(x-6)+0.99*sin(3x-36),2、滤波器设计,红色：y蓝色：F1洋红：F2,2、滤波器设计,2)线性相位滤波器 当FIR系统的系数对称时，滤
8、波器将具有线性相位。对称有偶对称和奇对称两种情况。对于偶对称，即FIR滤波器系数h满足关系式：h(N-1-n)=h(n)；而对于奇对称，即FIR滤波器系数h满足关系式：h(N-1-n)=-h(n)。另外，FIR系统系数的长度有奇数个和偶数个之分，因此需要分为四种情况来论证。,2、滤波器设计,奇数长度偶对称把 写作 考虑到h(N-1-n)=h(n)，可以把 写作 于是，从上式右边三项中提取 得到：,n,h(n),(N-1)/2,2、滤波器设计,考虑到，上式可以写作明显地，H(j)的滞后相位为(N-1)/2，它是线性的。,2、滤波器设计,偶数长度偶对称把 写作 考虑到h(N-1-n)=h(n)，可
9、以把 写作 于是，从上式右边三项中提取 得到：,2、滤波器设计,奇数长度奇对称把 写作 考虑到h(N-1-n)=-h(n)，可以把 写作 于是，从上式右边三项中提取 得到：,2、滤波器设计,考虑到，上式可以写作明显地，H(j)的滞后相位为(N-1)/2+/2，它是线性的。,2、滤波器设计,偶数长度奇对称把 写作 考虑到h(N-1-n)=-h(n)，可以把 写作 于是，从上式右边两项中提取 得到：,2、滤波器设计,考虑到同偶对称相比，奇对称多了/2的相位滞后，鉴于测控系统的实时性，通常采用偶对称。,2、滤波器设计,(5)FIR线性相位滤波器设计(窗口法)1)原理线性相位的FIR滤波器要求的理想频
10、响是Hd(ej)，它是的周期函数，周期2，因此可以展开成傅氏级数 式中hd(n)是傅里叶系数，也正是与理想频响对应的理想单位抽样响应序列，但是我们不能以hd(n)作为设计FIR DF用的h(n)，因为hd(n)一般是非因果的，且无限长，物理上无法实现，需要加窗截短。,2、滤波器设计,窗函数的选择 在自变量定义域上截取其中一段的过程叫“加窗”，自变量为时间变量t时叫加“时域窗”，自变量为频率变量时叫加“频域窗”。截取段的大小就是窗的大小，截取段在原定义域上的位置就是窗的位置。如果截取过程中不对函数值做任何改动（或理解为全部乘1），叫加“矩形窗”；如果在截取段不同位置上按一定规律对函数值加权（乘以
11、不同的数），则权值间的关系叫窗的形状。选择窗函数，就是确定窗口大小、位置和形状。我们举一个实际例子来说明问题。,2、滤波器设计,设截止频率为c的理想低通滤波器为:那么对其进行傅立叶反变换得：hd(n)是以n=0为中心的对称，n取值由-到的无限长非因果序列。,2、滤波器设计,而我们的目标是设计有限长（设长度为N）、线性相位的FIR因果系统。从本例来看，只要将hd(n)右移(N-1)/2，再用矩形序列RN(n)将其截断就可以了。右移(N-1)/2，是因为满足线性相位条件的h(n)的对称中心是(N-1)/2，而h(n)的对称中心是0，两者相差(N-1)/2。决定N大小就是确定窗口大小，移序(N-1)
12、/2就是确定窗口位置，截短就是加矩形窗RN(n)。,2、滤波器设计,以h(n)为冲激响应的滤波器，其幅频特性是理想幅频特性的近似，相位却因为时域移序而产生-(N-1)/2的时延。加窗后,时域乘积对应于频域卷积 H(ej)=Hd(ej)*WR(ej)式中WR(ej)是矩形窗的窗谱，等于RN(n)的序列傅氏变换,2、滤波器设计,为了改善FIR滤波器性能，必须修改窗函数，使其具有更好的窗谱。一个好的窗谱，应满足以下二方面的条件：主瓣尽可能窄，以使设计出来的滤波器有较陡的过渡带(Q值高)。第一副瓣面积相对主瓣面积尽可能小，即能量尽可能集中在主瓣，外泻少。这样设计出来的滤波器才能尖峰和余振小。对任一具体
13、窗函数而言，以上两个条件互相矛盾，不能同时满足。我们所能做的是根据具体设计指标，选择一种能兼顾各项指标的相对最佳的窗口。,2、滤波器设计,几种常用的窗口列出如下：矩形窗w(n)=RN(n)三角窗 它是由两个长度为N/2的矩形窗进行线性卷积而得到的。,2、滤波器设计,汉宁(hanning)窗，又称升余弦窗 0nN-1汉宁窗的主要思路是：通过矩形窗谱的合理叠加减小旁瓣面积。也可以写作其窗谱 式中WR(ej)的矩形窗谱,2、滤波器设计,当N较大时，于是W(ej)可看成是三个不同位置矩形窗谱的叠加。叠加结果付出的代价是主瓣增宽一倍，得到的好处是旁瓣峰值衰耗由-13dB增加到-31dB。海宁窗的旁瓣峰值
14、较小，衰减较快，主瓣宽度为1.5/T，比矩形窗的主瓣宽，但总泄漏比矩形窗小得多。由于海宁窗比较容易获得，因此是经常使用的一种时间窗。,t,T,o,1,w(t),0,W(),2、滤波器设计,海明（hamming）窗 0nN-1 可转化为 汉明窗是在矩形窗上拼结一个海宁窗而形成的，它包括一个高度为0.08的矩形窗和一个最大高度为0.92的海宁窗。由于海宁窗的主瓣比矩形窗主瓣宽，利用矩形窗的第二个旁瓣是正值，使部分抵消海宁窗的第一旁瓣负值。所以汉明窗的第一旁瓣峰值非常小，但其它旁瓣的衰减没有海宁窗快，因为这些旁瓣受汉明窗函数中的矩形窗函数支配。汉明窗主瓣等效宽度由于矩形窗第一旁瓣负值的部分抵消作用而
15、略优于海宁窗，为。汉明窗泄漏很小，而且也不难获得，因此汉明窗也是常用的时窗之一。,2、滤波器设计,t,T,o,1,w(t),0,W(),2、滤波器设计,(2)窗口法的设计步骤和实例 1)窗口法的设计步骤如下：给定理想频响Hd(ej)和误差容限。根据指标选择窗口形状、大小和位置。确定窗口类型的主要依据是过渡带宽和阻带最小衰耗的指标。由Hd(ej)和hd(n),加窗得h(n)=hd(n)w(n);由h(n)求H(ej)，检验是否在误差容限之内。如不满足，返回第步。以上步骤中。hd(n)、H(ej)的计算可采用傅氏变换的现成公式和程序，窗函数w(n)也是现成的。但整个设计过程不能一次完成，因为窗口类
16、型和大小的选择没有解析公式可一次算出。整个设计可用计算机编程来做。,2、滤波器设计,2)窗口法设计实例 用窗口法设计一个线性相位的低通FIR滤波器，截止频率为fc，采样频率是8fc。解：写出理想的频响 式中c=2fcT=2 fc/fs=0.25,=(N-1)/2。选窗口的大小：令N11，此时如用矩形窗。,2、滤波器设计,求理想冲激响应：将c=0.25,N=11,n=0,1,10代入：得到：hd(n)=,-0.045,0,0.075,0.159,0.225,0.25,0.225,0.159,0.075,0,-0.045,选窗的形状：如用矩形窗wR(n)=RN(n)如用海明窗以N11和n0,1,1
17、0代入式，得w(n)=0.08,0.0168,0.399,0.682,0.912,1,0.912,0.682,0.399,0.168,0.008,2、滤波器设计,加窗：h(n)=hd(n)(n)，序列相乘等于对应项相乘。如用矩形窗h(n)=-0.045,0,0.075,0.159,0.225,0.25,0.225,0.159,0.075,0,-0.045如用海明窗(-0.0450.08=-0.0036)h(n)=-0.0036,0,0.03,0.108,0.205,0.25,0.205,0.108,0.03,0,-0.0036 h(n)就是所求的FIR滤波器系数。h(n)是否合乎要求靠检验来判
18、别。,hh=0;tt=0;for n=1:11;hh=hh+h(n)*(cos(n-1)*w);tt=tt+h(n)*sin(n-1)*w);end,3线性相位滤波器在Matlab中的实现,(1).函数介绍 1)h=firceqrip(n,wo,del)设计n阶具有线性相位的有限冲击响应低通滤波器，该滤波器在阻带具有等纹波。参数wo指定截止频率，del=d1,d2指定峰值或者通带与阻带的最大允许误差，其中d1设置通带误差，d2指定阻带误差。由于firceqrip采用的是正则化频率，因此必须设置wo的值在(0，1)范围内。,h=firceqrip(.,slope,r)用输入关键词slope和r设
19、计阻带不具有等纹波特性的滤波器。r以dB为单位确定阻带的衰减度，r0。h=firceqrip(.,passedge)设计的滤波器，wo指定通带起始频率；h=firceqrip(.,stopedge)设计的滤波器，wo指定阻带起始频率；h=firceqrip(.,high)设计高通滤波器；h=irceqrip(.,min)设计最小相位FIR滤波器。,3线性相位滤波器在Matlab中的实现,h=firceqrip(.,invsinc,c)设计具有sinc函数形状的低通滤波器，关键词invsinc采用逆sinc函数，它由c是标量还是二元素向量来确定。当c为标量时，通带采用函数1/sin(c*w)，其
20、中w是正则化频率。当c为二元素向量c p时，通带采用函数1/sin(c*w)p，其中w是正则化频率。,3线性相位滤波器在Matlab中的实现,2)y=filter(b,a,X)对向量X中的数据进行滤波，a和b分别指定滤波器分母和分子中的系数向量。如果a(1)不等于1，滤波器对滤波器系数正则化；如果a(1)=0，返回错误。如果X是矩阵，那么该函数对矩阵的每一列进行滤波；如果x是一个多维阵列，那么函数沿着x的第一个非单维阵列滤波。y,zf=filter(b,a,X)y,zf=filter(b,a,X,zi)滤波后产生一个附加输出zf，包含从0初始状态计算得到的最后状态向量。,3线性相位滤波器在Ma
21、tlab中的实现,y=filter(Hq,x)用滤波器Hq对输入数据x进行滤波器，得到滤波器后的输出数据y，向量x和y具有相同的长度。如果x是矩阵，那么该函数对矩阵的每一列进行滤波。如果x是一个多维阵列，那么函数沿着x的第一个非单维阵列滤波。,3线性相位滤波器在Matlab中的实现,y,zf=filter(Hq,x)滤波后产生一个附加输出zf，包含从0初始状态计算得到的最后状态向量。.=filter(Hq,x,zi).=filter(Hq,x,zi,dim)y,zf,s,z,v=filter(Hq,x.),3线性相位滤波器在Matlab中的实现,(2)应用实例本实例首先生成一个含有随机噪声的方
22、波t=0:0.01:20;for j=1:length(t)for i=1:10 if t(j)2*i-1 a(j)=1+0.2*(rand-0.5);end;if t(j)2*i-2;a(j)=-1+0.2*(rand-0.5);end endend,3线性相位滤波器在Matlab中的实现,%设定滤波器参数，获得线性相位滤波器系数n=19;wo=0.1;del=0.001,0.01;h=firceqrip(n,wo,del);%卷积实现滤波 for i=1:length(t)c=0;for j=1:n+1 if ij;c=c+h(j)*a(i-j+1);end end b(i)=c;end,3线性相位滤波器在Matlab中的实现,%直接调用函数filter实现滤波y=filter(h,1,a);%显示信号figure(1)fvtool(h)%显示滤波器的幅频特性和相频特性figure(2)；subplot(3,1,1)；plot(t,a,r)subplot(3,1,2)；plot(t,y,b)subplot(3,1,3)；plot(t,b,g),3线性相位滤波器在Matlab中的实现,FIR滤波器h的幅频特性,3线性相位滤波器在Matlab中的实现,初始信号与滤波后信号,3线性相位滤波器在Matlab中的实现,初始信号,滤波后信号,
