1、第七章 电容元件和电感元件,71 电容元件（2学时）72 电感元件（1学时）73 动态电路的电路方程（1学时）74 电路应用，电路实验和计算机分析电路实例（自学）,电感器的主要电磁性质-,7-2 电感元件,磁通和磁通链。,电阻器,电容器,电感线圈,电池,运算放大器,晶体管,7-2 电感元件,磁力线 磁力线所通过的每一点的磁感应强度的方向就是在该点处磁力线的切线方向。而该点的磁感应强度的大小由在该点取一个与磁感应强度方向垂直的单位面积中所通过的磁力线的数目决定。磁力线的一个重要特征，就是磁力线总是闭合曲线。对于磁场和产生磁场的电流的方向的关系，规定应用右手螺旋法则，注意这只是一种约定，并不反映磁
2、场或电流的本质属性。,磁通量（复习）在磁场的磁力线图象里可以很自然地定义磁通量的概念，即对于任意给定的曲面，通过该曲面的磁力线的数目就是磁通量。,磁通链 magnetic flux linkage对于N 匝串联回路 每匝中穿过的磁通分别为：,则有,磁通链,若N 匝串联回路 每匝中穿过的磁通相同，均为。,一、电感元件 如果一个二端元件在任一时刻，其磁通链与电流之间的关系由i平面上一条曲线所确定，则称此二端元件为电感元件。电感元件的符号和特性曲线如图(a)和(b)所示。,(a)电感元件的符号(c)线性时不变电感元件的符号(b)电感元件的特性曲线(d)线性时不变电感的特性曲线,其特性曲线是通过坐标原
3、点一条直线的电感元件称为线性电感元件，否则称为非线性电感元件。线性时不变电感元件的符号与特性曲线如图(c)和(d)所示，它的特性曲线是一条通过原点不随时间变化的直线，其数学表达式为：,式中的系数L为常量，与直线的斜率成正比，称为电感，单位是亨利，用H表示。,二、电感的电压电流关系 对于线性时不变电感元件来说，在采用电压电流关联参考方向的情况下，可以得到:,此式表明电感中的电压与其电流对时间的变化率成正比，与电阻元件的电压电流之间存在确定的约束关系不同，电感电压与此时刻电流的数值之间并没有确定的约束关系。在直流电源激励的电路中，磁场不随时间变化,各电压电流均不随时间变化时，电感相当于一个短路(u
4、=0)。(重点）,例1、图示稳态电路，求iL。,例1、图示稳态电路，求iL。(0.5A),在已知电感电流i(t)的条件下，容易求出其电压u(t)。例如L=1mH的电电感上，施加电流为i(t)=10sin(5t)A时，其关联参考方向的电压为：,电感电压的数值与电感电流的数值之间并无确定的关系，例如将电感电流增加一个常量k，变为i(t)=k+10sin5tA时，电感电压不会改变，这说明电感元件并不具有电阻元件在电压电流之间有确定关系的特性。,例2 电路如图所示，已知L=5H电感上的电流波形如图所示，求电感电压u(t),并画出波形图。,2.当0t3s时，i(t)=2103t，可以得到：,解：根据图(
5、b)波形的具体情况，按照时间分段来进 行计算 1.当t0时，i(t)=0，可以得到：,3.当3st4s时，i(t)=24103-6103t，可以得到：,4.当4st 时，i(t)=0，可以得到：,根据以上计算结果，画出相应的波形，如图(c)所示。这说明电感电流为三角波形时，其电感电压为矩形波形。,在已知电感电压uL(t)的条件下，其电流iL(t)为：,其中,称为电感电流的初始值。,从上式可以看出电感具有两个基本的性质：,(1)电感电流的记忆性；任意时刻T电感电流的数值iL(T)，要由从-到时刻T 之间的全部电压来确定。此时刻以前在电感上的任何电压对时刻T的电感电流都有一份贡献。这与电阻元件的电
6、压或电流仅取决于此时刻的电流或电压完全不同，我们说电感是一种记忆元件。,例3 电路如图所示，已知L=0.5mH的电感电压波 形如(b)所示，试求电感电流。,解：根据图(b)波形，按照时间分段来进行积分运算 1.当t0时，u(t)=0，可以得到：,2.当0t1s时，u(t)=1mV，可以得到：,3.当1st2s时，u(t)=-1mV，可以得到：,4.当2st3s时，u(t)=1mV，可以得到：,5.当3st4s时，u(t)=-1mV，可以得到：,(2)电感电流的连续性 从电感电压、电流的积分关系式可以看出,电感电压在闭区间t1,t2有界时，电感电流在开区间(t1,t2)内是连续的。,对于初始时刻
7、t=0来说，上式表示为:,记忆：“容易（压）流感”。（重点）利用电感电流的连续性，可以确定电路中开关发生作用后一瞬间的电感电流值。,当电感电压有界时，电感电流不能跃变，只能连续变化，即存在以下关系:,(2)电感电流的连续性,例4 图示电路的开关闭合已久，求开关在t=0断 开时电容电压和电感电流的初始值uC(0+)和iL(0+)。,解：由于各电压电流均为不随时间变化的恒定值，电感相 当于短路；电容相当于开路，如图(b)所示。此时:,当开关断开时，电感电流不能跃变；电容电压不能跃变。,三、电感的储能 在电压电流采用关联参考方向的情况下，电感的吸收功率为:,当p0时，电感吸收功率；当p0时，电感发出
8、功率。,电感在从初始时刻t0到任意时刻t时间内得到的能量为:,若电感的初始储能为零，即i(t0)=0，则任意时刻储存在电感中的能量为:,例5、图示稳态电路，求WiL。,例5、图示稳态电路，求WiL。(1J),四.LTI电感元件的串联与并联（类似电阻）,1、并联,i(0)=ik(0),2、串联,等效电感,q=C u,=L i,W(t)=0.5Cu2(t),W(t)=0.5Li2(t),电流,电压,1.换路定律 通常，我们把电路中开关的接通、断开或电路参数的突然变化等统称为“换路”。我们研究的是换路后电路中电压或电流的变化规律，知道了电压、电流的初始值，就能掌握换路后电压、电流是从多大的初始值开始
9、变化的。,补充：换路定律及初始值的确定,1 换路定律 该定律是指若电容电压、电感电流为有限值，则uC、iL不能跃变，即换路前后一瞬间的uC、iL是相等的，可表达为：uC(0+)=uC(0-)iL(0+)=iL(0-)必须注意：只有uC、iL受换路定律的约束而保持不变，电路中其他电压、电流都可能发生跃变。,补充：换路定律及初始值的确定,电路中其他变量如 iR、uR、uL、iC 的初始值不遵循换路定律的规律，它们的初始值需由t=0+电路来求得。,2.初 始 值 的确 定,换路后瞬间电容电压、电感电流的初始值，用 uC(0+)和 iL(0+)来表示，它是利用换路前瞬间 t=0-电路确定uC(0-)和
10、iL(0-)，再由换路定律得到 uC(0+)和 iL(0+)的值。,具体求法是：画出t=0+电路，在该电路中若uC(0+)=uC(0-)=US，电容用一个电压源US代替，若uC(0+)=0则电容用短路线代替。若iL(0+)=iL(0-)=IS，电感用一个电流源IS 代替，若iL(0+)=0则电感作开路处理。下面举例说明初始值的求法。,2 初 始 值 的确 定,例6：在电路中，开关S在t=0时闭合，开关闭合前电路已处于稳定状态。试求初始值 uC(0+)、iL(0+)、i1(0+)、i2(0+)、ic(0+)和uL(0+)。,解(1)电路在 t=0时发生换路，欲求各电压、电流的初始值，应先求uC(
11、0+)和iL(0+)。通过换路前稳定状态下t=0-电路可求得uC(0-)和iL(0-)。在直流稳态电路中，电容C相当于开路,电感L相当于短路。所以t=0-时刻的等效电路如图(b)）所示，由该图可知：,解(1)电路在 t=0时发生换路，欲求各电压、电流的初始值，应先求uC(0+)和iL(0+)。,（2）由换路定理得:,因此，在t=0+瞬间，电容元件相当于一个4V的电压源，电感元件相当于一个2A的电流源。据此画出t=0+时刻的等效电路，如图(C)所示。（3）在t=0+电路中，应用直流电阻电路的分析方法，可求出电路中其他电流、电压的初始值，即,iC(0+)=2-2-1=-1AuL(0+)=10-32
12、-4=0V,例7:电路如图(a)所示，开关S闭合前电路无储能，开关S在 t=0时闭合，试求 i1、i2、i3、uc、uL的初始值。,例7:电路如图所示，开关S闭合前电路无储能，开 关S在 t=0时闭合，试求 i1、i2、i3、uc、uL的初始值。,解（1）由题意知：,（2）由换路定理得,因此，在t=0+电路中，电容应该用短路线代替，电感以开路代之。得到 t=0+电路，如图(b)所示。（3）在t=0+电路中，应用直流电阻电路的分析方法求得:,i3(0+)=0,uL(0+)=20i2(0+)=200.3=6V,A,通过以上例题，可以归纳出求初始值的一般步骤如下：(1)根据t=0-时的等效电路，求出
13、uC(0-)及iL(0-)。(2)作出t=0+时的等效电路，并在图上标出各待 求量。(3)由t=0+等效电路，求出各待求量的初始值。,73 动态电路的电路方程,含有储能元件的动态电路中的电压电流仍然受到KCL、KVL的拓扑约束和元件特性VCR的约束。一般来说，根据KCL、KVL和VCR写出的电路方程是一组微分方程。由一阶微分方程描述的电路称为一阶电路。由二阶微分方程描述的电路称为二阶电路。由n阶微分方程描述的电路称为n阶电路。,例8 列出图所示电路的一阶微分方程。,得到,这是常系数非齐次一阶微分方程，图(a)是一阶电路。,在上式中代入:,解：对于图(a)所示RC串联电路，可以写出以下方程,对于图(b)所示RL并联电路，可以写出以下方程,在上式中代入：,得到,这是常系数非齐次一阶微分方程。图(b)是一阶电路。,例9如图所示，试写出端口的电压电流关系：,例9如图所示，试写出端口的电压电流关系：i=1/3 du/dt,作业:P243 7-7 7-11 7-15(单周星期三交作业),
