1、小学奥数论整除和余数知识点总结及经典例题1. 数论数的整除和余数2.1基本概念和基本性质2.1.1定义整数a除以整数b（b0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。2.1.2表达式和读法ba，读着b能整除a;或a能被b整除；b a，不能整除；2.1.3基本性质1 传递性：如果a|b,b|c,那么a|c;即b是a的倍数，c是b的倍数，则c肯定是a的倍数；2 加减性：如果a|b、a|c，那么a|(bc);3 因数性：如果ab|c，那么a|c，b|c;即如果ab的积能整除c,则a或b皆能整除c;4 互质性，如果a|c，b|c，且（a,b）=1,那么ab|c,即如果a能整
2、除c,b能整除c，且ab互质，则ab的积能整除c;5 a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。2.2数的整除的判别法2.2.1末位判别法整除数特 征2和5好朋友10，1个零，所以判断末1位；2：末1位能被2整除；尾是0、2、4、6、8；5：末1位能被5整除；尾是0、5；4和25好朋友100，2个零，所以判断末2位；4或25：末2位数是4（或25）的倍数8和125好朋友1000，3个零，所以判断末3位；8或125：末3位数是8（或125）的倍数16和625好朋友10000，4个零，所以判断末4位；16或625：末4位数是16（或625）的倍数2.2.2数字和判别法（用以判别能否被3或9整除）各数
3、位上数字的和是3或9的倍数，则能被3或9整除。1736529:1+7+3+6+5+2的和除以3或9；简便算法，利用整除的加减性，可以去掉1个或多个9，剩下数字的和x再除以3或9；如果x9,则余数为x-9;如果x9,则余数为x。2.2.3奇偶数位判别法（用以判别能否被11整除）从右往左编号，编号为奇数的为奇数位，编号为偶数的为偶数位，看奇数位上的数字的和与偶数位上的数字的和的两者之差是否能被11整除； 8172903311:奇数位和为6，偶数位和为27；如果奇数位和比偶数位和小，则奇数位和加1个或多个11，直到够减。余数的判断法与整数位的判断法一致。2.2.4三位一截判别法（用以判别能否被7/1
4、1/13整除）2.2.4.1基本用法从右往左三位一截并编号，编号为奇数的为奇数段，编号为偶数的为偶数段，看奇数段的数字的和与偶数段的数字的和的两者之差是否能被7、11、13整除； 如，86372548，奇数段的和为（548+86），偶数段的和为372，求两者差看能否被7整除，同样，不够减前面加1个或多个7，直到够减，余数位的判断法与整数位的判断法一致。2.2.4.2特殊用法1 一般求空格数如果中间有空格，则利用加减性加或减除数7的倍数，分别从右边和左边抵消缩减位数，到最后看7的哪个倍数与缩减后的末位数相同，并看7的哪个倍数与缩减后的首位数相同，则前一个倍数的十位数和后一个倍数的个位数的和即为空
5、格中应填的数。注意，如果这个数加或减7后为1到9间的自然数，则加或减7后的这个数也为正确答案。39586482365，答案为546392501234，答案为1和82 特殊求空格数根据整除的因数性，如果1个数能被1001整除，则这个数能被7、11、13、77、91、143整除，因为：71113=1001;7713=1001;9911=1001;7143=1001; 根据=1001; =1001;求能被7整除的空格数2.2.5有关9系列截判法（用以判别能否被9/99/999整除）除数是几位数就可以从右往左几位一截，将截取的段位数相加再截取，直至不能再截取，看相应的数能否被相应的除数9/99/999
6、整除。除数是11时，也可以用两位一截判别法，因为根据整数的因数性，能被99整除的数，肯定能被11整除。例如：2.3余数的判别法2.3.1余数的定义和性质1 整除是余数为0的情况。ab=c.0；此时，a= bc;b= ac2 有余数的情况：ab=c.d（0db）；此时，a=bc+d;b=(a-d)c; c=(a-d)b记着：ad(modb)2.3.2余数的判别法（与整除相同）【注意】：当被除数是比除数小的非零自然数，则被除数为余数；当被除数比余数大，则减去除数的倍数所得比除数小的数即为余数。序号除数余数判别法特别要点12和5末1位判断法；看末1位能否被2整除；尾是0、2、4、6、8能；看末1位能
7、被5整除；尾是0、5能；24和25末2位判断法末2位数是4（或25）的倍数即能被4或25整除38和125末3位判断法；末3位数是8（或125）的倍数416和625末4位判断法；末4位数是16（或625）的倍数53或9数字和法；弃3（9）法；各数位上数字的和是3或9的倍数，则能被3或9整除。利用整除的加减性，可以去掉1个或多个9（包括几个数的和是3或9的倍数的也可划掉），剩下数字的和x再除以3或9；如果x9,则余数为x-9; 如x=0,则余数为0，能整除；如果x9,则余数为x。67、11、13（1001）三位一截奇偶位求差判别法从右往左三位一截并编号，编号为奇数的为奇数段，编号为偶数的为偶数段，
8、看奇数段的数字的和与偶数段的数字的和的两者之差是否能被7、11、13整除； 如，86372548，奇数段的和为（548+86），偶数段的和为372，求两者差看能否被7整除，同样，不够减前面加1个或多个7，直到够减；711、99两位一截求和再截判别法两位一截，将截取的段位数相加再截取，直至不能再截取，看能否被11或99整除，注意，根据整数的因数性，能被99整除的数，肯定能被11整除。811奇偶数字和求差判别法从右往左编号，编号为奇数的为奇数位，编号为偶数的为偶数位，看奇数位上的数字的和与偶数位上的数字的和的两者之差是否能被11整除； 8172903311:奇数位和为6，偶数位和为27；如果奇数位
9、和比偶数位和小，则奇数位和加1个或多个11，直到够减。11可以无敌乱切，但还是常用奇偶位截断求差法；9999三位一截求和再截法从右往左三位一截，将截取的段位数相加再截取，直至不能再截取，看相应的数能否被999整除。1011四位一截求和法从右往左四位一截，将截取的段位数相加，看相应的数能否被11整除。如：9876543223456768，除以2,5,4,25,8,125,3,9,11的余数为0,3,0,8,0,18【例】将1，2,3,4，30从左往右依次排列成一个51位数，这个数被11除的余数是多少？奇数位数字和：（0+9+8+1）2+0+9+7+5+3+1=115偶数位数字和：3+210+11
10、0+8+6+4+2=53115-53=62；6211，余7；【例】求被13除余数是多少？ 解：注意13|111111，即每连续6 个1 是13 的倍数，且2012 除以6 余2，所以答案为11【例】把自然数1到2011这2011个数依次写下来，得到一个很大的多位数：123456789101112.20102011，则这个数除以9余数是1.无敌乱切，按1/2/3/4到2011的等差数列求和，看除以9的余数；2.3.3同余定理 2.3.2.1同余定义和充要条件定义: 用给定的正整数m分别除整数a、b，如果所得的余数相等，则称a、b关于模m同余或a同余于b模m，记作ab(mod m)，如 560 （
11、mod 8），式子称为同余式，m称为该同余式的模。充要条件：整数a,b对模m同余的充要条件是 a-b能被m整除（即m|a-b）；或 ab(mod m)的充要条件是a=mt+b（t为整数）。2.3.2.2基本定理同余关系具有自身性、对称性与传递性，即1）自身性：aa (mod m);2）对称性：若ab (mod m), 则ba (mod m);3）传递性：若ab (mod m), bc (mod m)，则ac (mod m).2.3.2.3重要定理：一个同余式的加减乘及幂的运算定理1 若ab(mod m),n为自然数，则anbn (mod m)；即a、b关于关于模m同余，则a、b的同倍数也关于模
12、m同余；定理2若cacb(mod m), (c,m)=d（最大公约数）, 且a,b为整数，则ab(mod m/d).推论若ca=cb(mod m), (c,m)=1,且a,b为整数，则ab(mod m).定理3若ab (mod m),ab (mod n),则ab(mod m,n).推论若ab(mod mi), i=1,2,n，则ab (mod m1,m2,.,mn).【例】将1996加上一个整数，使和能被9和11整除，加的整数尽可能小，那么加的整数是多少？199616(mod 99)；99-16=83定理4若ab (mod m),则anbn(modm),其中n是自然数。2.3.2.5同余定理的
13、重要推论：两个同模同余式的加减乘运算若ab(mod m), cd (mod m),则可以将这两个同余式左右两边分别相加、相减或相乘：1）a+cb+d (mod m);即和的余数等于余数的和2）a-cb-d (mod m);即差的余数等于余数的差；3）acbd (mod m)；即积的余数等于余数的积；【例】316419813除以13所得的余数2.3.4只知被除数和余数，求除数或求商2.3.4.1余数确定（注意余数比除数小）有余数的情况：ab=c.d（0db）； b=(a-d) c;或c=(a-d) b如果，只知a和d,求b或c【例】1111 某2位数=（）.662.3.4.2余数不确定1 余数不
14、确定余数的和【例1】63=m（）+a 90=m（）+b130=m（）+c,余数和为25；（63+90+130）=m（）+（a+b+c）=m（）+25（63+90+130-25）=m（）258=m（）258的约数有8个：1/2582/1293/866/43因为余数要小于除数，判断9m63；所以m=432 余数不确定余数相同【例2】300=m（商）+a 262=m（）+a205=m（）+a,根据同余定理：m（300-262）= m（38）；m（262-205）= m（57）；m（300-205）= m（95）；满足两个即可，选数小的算，求同时满足能整除38和57，即求这两个数的公约数，分别有1和1
15、9，答案为19。3 余数不确定余数的差【例3】97=m（商）+a+3 29=m（）+a变为94=m（）+a,根据同余定理：m（94-29）= m（65）；65的约数有1/65,5/13，除数大于余数，排除1和65,5和13都满足； 4 余数不确定余数的倍数【例4】61=m（商）+2a 90=m（）+a变为180=m（）+2a,根据同余定理：m（180-61）= m（119）；119的约数有1/119,7/17，除数大于余数，排除1和119,仅17满足； 2.3.5幂和连乘积的余数余数的周期性 周期性的用法：可用以求某个数的若干次方的个位数：【例】的个位数：3的若干次方的个位数，依次枚举，找出循
16、环规律，4个一个周期，2015除以4，余几为周期内第几个。幂的余数的求法：先求底数的余数，再算底数的幂的余数的周期性，再根据指数相应的周期来确定最终的余数；【例】除以7的余数：1（mod7）6,36,196,1176除以7的余数分别为6,1,6,1，2个为1周期，1002=50余0，故余数为1。特殊情况：1 【例】除以8的余数：1（mod8）9除8的余数为1，所以无论指数多少，余数皆为1。【例】除以9的余数：【例】除以7的余数：【例】+除以7的余数：2 作业5，2的3次方以上模8的余数皆为02.3.6中国剩余定理物不知数 （韩信点兵）2.3.6.1传统题目和传统解法【题目】今物知其数三三数剩二
17、（数除三余数二意思）,五五数剩三,七七数剩二,问物几何（韩信点兵算所谓剩余定理）【解法】三人同行七十稀；把除以3所得的余数用70乘五树梅花廿一枝；把除以5所得的余数用21乘；七子团圆正半月；把除以7所得的余数用15乘除百零五便得知；把上述三个积加起来,除以105的余数即为得数；270+321+215=233 233105=223；得数为23。2.3.6.2物不知数：余数问题的通解：基本的枚举法1 从除数大的开始枚举；2 先找同时满足两个除数的最小符合数，再加这俩除数的最小公倍数，直到满足所有除数的最小的符合数；3 再加所有除数的最小公倍数n，直到符合题意；【例】3余2，5余3，7余2，求满足条
18、件的数；【注意】1 从除数大的着手；【例】5余4,97余1； 1,98,195，得389；2 找最小符合数时不要忽略商为0的情况；【例】某除48余23，除49余23；某最小的答案就是23；【例】例3：49余23,48余23；最小符合数为23，连续两个自然数的最小公倍数为其积；4849能整除14，余数是0,23除14的余数，全是9。3 在所有除数的最小公倍数内一定能找到最小的满足数；4 多个符合数必然是一个以所有除数的最小公倍数为等差的等差数列2.3.6.3物不知数：余数问题的通解：特殊情况1 余数相同的最小符合数就是余数，其他的为除数的最小公倍数的倍数+余数（即最小符合数+除数的最小公倍数的倍
19、数）；【例】5余4,7余4,9余4，最小的为4；【例】某除4、除5、除6皆余1，某=4/5/6的公倍数+1；2 差相同的余数都不相同但除数与余数的差相同的，最小符合数为除数的最小公倍数-差；其他符合数为除数的最小公倍数的倍数-差（也即最小符合数+除数的最小公倍数的倍数）；【例】5余3,7余5,9余7：都补上两个的就都整齐了，所以为最小公倍数-2；为313；【例】5千多根火柴棍，10根一盒的分余9，9根一盒的分余8，8根一盒的分余7，7根一盒的分余6，6根一盒的分余5，5根一盒的分余4，问到底多少根火柴棍？10余9，9余8，8余7，7余6，6余5：【5,6,7,8,9】-1=【1,2,3,4,5
20、,6,7,8,9，10】-1=2520-1=25192519+2520=5039【例】有不足100个苹果，如果是10个一堆，那么剩余9个；9个一堆剩余8个；6个一堆剩余5个；5个1堆剩余4个；3个一堆剩2个；求开始有多少个苹果？【10,9,6,5,3】-1=893 和相同余数都不相同的，但除数与余数的和相同的，可以转化为同余的，最小符合数就为最小的除数+余数；其他的符合数为除数的最小公倍数的倍数+和（也即最小符合数+除数的最小公倍数的倍数）；【例】5余4,7余2,6余3：最小符合数为5+4=9；【注意】多个除数的时候一定先看有无特殊情况；先利用部分特殊规律的，再找一般的；【例】3余2,5余4,
21、7余1，【例】3余1,5余2,7余2,11余3；先找同余，2+35,37+已满足的3个的最小公倍数；2.3.6.4物不知数：可以用来解决除以12和6的余数的算法：互质分解求A=123456319被12/14/15/45/99除的余数；将12互质分解=43,求同时满足除以4和除以3的；A3（mod4）;A(1+2+3+.+319)(1+319)319216031911（mod3）4余3,3余1，最小符合数为7，其他符合数为7+12n所以A7（mod12）;【注意】1 常见的互质分解有：12=43,14=27,15=35,45=59，99=911；105=357，其中105的频率最高；【例】5余4
22、,97余1； 1,98,195，得389；2 99有两种算法，两位截断法和互质分解；求A=123123123被99除的余数 123个123互质分解法：将99互质分解=911,求同时满足除以9和除以11的；A123123660（mod9）;A(62123)- (61123)1232（mod11）9余0,11余2，最小符合数为90，其他符合数为90+99n所以A90（mod99）;两位截断法：A(23+31+12)61+ (123)6661+244026+2466+2490（mod99）3 求A=201620162016被495除的余数 100个2016互质分解法：将495互质分解=957,求同时
23、满足除以9余0，除以5余1，除以11余9的物不知数，即为余数；2.3.6.4物不知数：非典型物不知数题目转为物不知数题目【例1】三个非0的连续自然数，分别是3、5、7的倍数，找出符合要求的最小的一组自然数；设n,n+1,n+2分别能被3、5、7整除，则n3余0，（n+1）5余0，（n+2）7余0，3余0，5余4，7余51954答案为54、55、56【例2】三个非0的连续自然数，分别是7、9、11的倍数，找出符合要求的最小的一组自然数；设n,n+1,n+2分别能被7、9、11整除，则n7余0，（n+1）9余0，（n+2）11余07余0，9余8，11余953350答案为350、351、352图1:2m+(m+1)=a=3m+1;图2:3n+2(n+1)=a=5n+2;图3:4x+3(x+1)=a=7x+3;所以，3m+1=5n+2，m=除3余1，除5余2；除7余3；根据物不知数通常求法，得出a=52作业6：如果倒过来不够减怎么办，-450时，前面加一个够减的7的倍数就可以；例2：19余9,23余7；用余数来取代，7+23的倍数，模19时，变为7+4的倍数，列举除19余9的数直到符合的，9,28,47，从47往回导出倍数为10，再往回算为237；与辗转相除法类似；
