1、深圳市普通高中高三年级第二次测试统一测试数学理科含参考答案绝密启用前 试卷类型：A2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试理科数学本试卷共 6 页，23 小题，满分 150 分考试用时 120 分钟一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的( R B) =x | 21.已知集合 A = 1 x 2 ， B = x | ln(x - 1 ) 0 ，则 A 2 2 A B -1, 1 C 1 ,1D (-1,1 2 2 2. 棣莫弗公式 (cos x + i sin x)n = cos nx + i sin nx (i
2、 为虚数单位） 是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数(cos + i sin )6 在复平面内所对应的点位于5 5A 第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3已知点(3,1) 和(-4, 6) 在直线3x - 2y + a = 0 的两侧，则实数a 的取值范围是A - 7 a 24 B a = 7 或a = 24C a 24(a - 1)x + 3a, x 1,D - 24 a 0 ，若 Sn 取得最大值，则n为A 20 B 21 C 22 D 238. 已知抛物线 y 2 = 8x ，过点 A(2, 0) 作倾斜角为 的直线l ，若l 与抛物线交于
3、 B 、C 两点，弦 BC3的中垂线交 x 轴于点 P ，则线段 AP 的长为A. 163B. 83C. 16 33D. 89. 3已知函数 f (x) = sin( x + )( 0,| | b 0)的左焦点 F 的直线交椭圆于 A ，B 两点，b2C 为椭圆的右焦点，且ABC 是等腰直角三角形，且A = 90 ，则椭圆的离心率为 三 、 解答题： 共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答(一 ) 必考题：共 60 分17（本小题满分 12 分）在ABC 中，内角 A 、 B 、C 对边分别
4、是a 、b 、c ，已知sin2 B = sin Asin C （1）求证： 0 B ；3（2）求2 sin2 A + C + sin B -1的取值范围.218（本小题满分 12 分）如图所示，四棱锥 S - ABCD 中，SA 平面 ABCD ， AD / / BC ，SA = AB = BC = CD = 1 ，AD = 2 （1） 在棱 SD 上是否存在一点 P ，使得CP / 平面 SAB ?请证明你的结论；（2） 求平面 SAB 和平面 SCD 所成锐二面角的余弦值DSAB C19（本小题满分 12 分）2已知椭圆C : x2+ y= 1 ， A 、 B 分别是椭圆C 长轴的左、右
5、端点， M 为椭圆上的动点.12 4（1） 求AMB 的最大值，并证明你的结论；（2） 设直线 AM 的斜率为k ，且k (- 1 , - 1) ，求直线 BM 的斜率的取值范围.2 320（本小题满分 12 分）已知函数 f (x) = ln(x +1) , g(x) = ex （ e 为自然对数的底数）（1） 讨论函数(x) =f (x) - x + a 在定义域内极值点的个数；x（2） 设直线l 为函数 f (x) 的图象上一点 A(x0 , y0 ) 处的切线，证明：在区间(0, +) 上存在唯一的 x0 ，使得直线l 与曲线 y = g(x) 相切21（本小题满分 12 分）2020
6、 年初，新冠肺炎疫情袭击全国，某省由于人员流动性较大，成为湖北省外疫情最严重的省份之一，截至 2 月 29 日，该省已累计确诊 1349 例患者（无境外输入病例）.（1） 年龄10,20(20,30(30,40(40,50(50,60(60,70(70,80(80,90(90,100人数26121822221242为了解新冠肺炎的相关特征，研究人员从该省随机抽取 100 名确诊患者，统计他们的年龄数据，得下面的频数分布表：由频数分布表可以大致认为，该省新冠肺炎患者的年龄 Z 服从正态分布 N(,15.22 ) ，其中近似为这 100 名患者年龄的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代
7、表).请估计该省新冠肺炎患者年龄在70 岁以上（ 70 ）的患者比例；（2） 截至 2 月 29 日，该省新冠肺炎的密切接触者（均已接受检测）中确诊患者约占10% ，以这些密切接触者确诊的频率代替 1 名密切接触者确诊发生的概率，每名密切接触者是否确诊相互独立.现有密切接触者 20 人，为检测出所有患者，设计了如下方案：将这 20 名密切接触者随机地按n（1 n 20 且 n 是 20 的约数）个人一组平均分组，并将同组的 n 个人每人抽取的一半血液混合在一起化验，若发现新冠病毒，则对该组的n 个人抽取的另一半血液逐一化验，记n 个人中患者的人数为 Xn ，以化验次数的期望值为决策依据，试确定
8、使得 20 人的化验总次数最少的n 的值参考数据：若 Z N (, 2 ) ，则 P( - Z + ) = 0.6826 ，P( - 2 Z + 2 ) = 0.9544 ， P( - 3 Y + 3 ) = 0.9973 ，0.94 0.66 ， 0.95 0.59 ， 0.910 0.35 .（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一题计分22（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOyl x = t cos（ t 为参数，0 2x + 1 ；（2） 若存在实数 a (1, +) ，使
9、得关于 x 的不等式 f (x)+ x+2a -1 m 有实数解，求实数 m 的取值范围.绝密启封并使用完毕前 试题类型：A2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试 理科数学试题答案及评分参考一、选择题1. B 2. C 3. A 4. C 5. D 6. D7. A 8. A 9. D 10. B 11. B 12. A二、填空题：13. 1 414. 32 15. 142716. -63三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（本小题满分 12 分） 在ABC 中，内角 A 、 B 、C 对边分别是a 、b 、c ，已知sin2 B = sin Asin C （1
10、）求证： 0 B ；3（2）求2 sin2 A + C + sin B -1的取值范围.2解：（1）由正弦定理可得 asin A= bsin B= csin C= 2R ， sin A =a ， sin B =2Rb ， sin C =2Rc， 2 分 2R sin2 B = sin Asin C ， b2 = a c ， 4 分 a2 + c2 - b2 cos B = 2ac - ac = 1 ， 2ac而0 B 2ac 2 0 B 6 分 3（2） 2 sin2 A + C + sin B -1 2= -cos(A + C) +sin B = cos B + sin B =2 sin(B
11、 + ) ， 8 分 4由（1）知0 B ， 3 B + 7 ， 10 分 4 4 121 2 sin(B + ) 24即2 sin2 A + C + sin B -1的取值范是(1,22 12 分 18(本小题满分 12 分) 如图所示，四棱锥 S - ABCD 中，SA 平面 ABCD ， AD / / BC ，SA = AB = BC = CD = 1 ，AD = 2 （1）在棱 SD 上是否存在一点 P ,使得CP / 平面 SAB ?请证明你的结论； （2）求平面 SAB 和平面 SCD 所成锐二面角的余弦值 证明：（1）当点 P 为棱 SD 的中点时, CP / 平面 SAB .证
12、明如下: 取 SA 的中点 F ,连结 FP 、 FB 、 PC ，则 zSFPAED yB CFP / AD 且 FP = 1 AD ， 2 分 2 AD / / BC ， BC = 1 AD = 1 ， 2 FP / /BC 且 FP = BC ， 四边形 FBCP 为平行四边形， 4 分 CP / /BF ， CP 平面 SAB ， BF 平面 SAB ， x CP / 平面 SAB 6 分 （2）在平面 ABCD 内过点 A 作直线 AD 垂线 Ax ， SA 平面 ABCD ， SA AD ， SA Ax ， 直线 AS 、 Ax 和 AD 两两垂直， 以点 A 为原点，分别以直线
13、Ax 、 AD 和 AS 为 x 、 y 和 z 建立如图所示的直角坐标系， 过点 B 作 BE AD 交直线 AD 于 E ， AD / / BC ， AB = BC = CD = 1， AD = 2 ， AE = 1 ， BE = 3 ， 2 233B( 1 3从而可得 A(0, 0, 0)， , , 0) ， C( , , 0) ， D(0, 2, 0) ， S(0, 0,1) ，则 2 2 2 2AS = (0, 0,1) ， AB = (, , 0) ， SD = (0, 2, -1) ， DC = (3 12 23 , - 1 , 0) ，8 分 2 2设平面 SAB 的法向量为n
14、1 = (x1, y1, z1 ) ，平面 SCD 的法向量为n2 = (x2 , y2 , z2 ) ，则 n1 AS = 0, n2 SD = 0, n1 AB = 0, n2 DC = 0,z1 = 0,2 y2 - z2 = 0, 3 x+ 1 y= 0, 3 x - 1 y = 0, 2 1 2 1 2 2 2 23取 x1 = 3 ， x2 = ，可得 n1 = ( 3, -3, 0) ， n2 = ( 3, 3, 6) ， 10 分 cos= = - 1 , n , n =n1 n21 2| n | | n |1 2( 3, -3, 0) ( 3, 3, 6)( 3)2 + (-
15、3)2 ( 3)2 + 32 + 624平面 SAB 和平面 SCD 所成锐二面角的余弦值为 1 12 分 419（本小题满分 12 分） 2已知椭圆C : x2+ y= 1 ， A 、 B 分别是椭圆C 长轴的左、右端点， M 为椭圆上的动点. 12 4（1） 求AMB 的最大值，并证明你的结论； （2） 设直线 AM 的斜率为k ，且k (- 1 , - 1) ，求直线 BM 的斜率的取值范围. 2 33解：（1）根据椭圆的对称性，不妨设 M (x0 , y0 ) (-2 x0 2 3, 0 y0 2) . 过点 M 作 MH x 轴，垂足为 H ，则 H (x0 , 0) (0 y0 2
16、) ， 1 分 于是，有 x0 + 2 32 3 - x0 = = = =tan AMH | AH | ， tan BMH | BH | ， | MH | y0 | MH | y0 tanAMB = tan(AMH + BMH) =tan AMH + tan BMH1- tan AMH tan BMH= x2 + y2 -124 3y00 0，3 分 点 M (x0 , y0 ) 在椭圆C 上， x2 y2 0 + 0 = 1， x2 = 12 - 3y2 ， 12 4 0 02 3 tan AMB = - ， 5 分 y0而0 y0 2 ， 2 3 - 3 ， tan AMB = -y0点0
17、 AMB ， AMB 的最大值为 2 ，此时 y = 2 ，即点 M 为椭圆C 的上顶点. 3 0根据椭圆的对称性，当点 M 为椭圆 C 的短轴的顶点时， AMB 取最大值，其最大值为2. 7 分 3（2） 设直线 BM 的斜率为k ， M (x0 , y0 ) ，则 x0 + 2 3x0 - 2 30k = y0 ， k = y ， y2 k k = 0 ， 0x2 -12x2 y2又 0 + 0 = 1， x2 = 12 - 3y2 ， 12 4 0 0 k k = - 1 ， 10 分 3 k (- 1 , - 1) ， 2 3 2 k -= ln(x +1) -（x 1且 x 0) ，
18、x 1a x2 + ax + a(x) = +x +1= ，x2 (x +1)x2令 h(x) = x2 + ax + a ， = a2 - 4a ， 1 分当 = a2 - 4a 0 时，即当0 a 4 时，(x) 0 ，此时，(x) 在(-1, 0) 和(0, +) 单调递增，无极值点； 2 分-a - a2 - 4a-a + a2 - 4a当 = a2 - 4a 0 时，即当a 4 时， 函数h(x) = x2 + ax + a 有两个零点,x1 =2 ， x2 = 2 ，（i） 当a 0 时，-2 + a + a2 - 4a2a2 - 4a - a2 - 4a + 42因为-1- x1
19、 = = 0 x1 -1， 3 分所以函数(x) 在(-1, x1) 单调递增，在( x1，0) 和(0，x2 ) 上单调递减，在(x2，+) 上单调递增，此时函数(x) 有两个极值点； 4 分（ii） 当a 4 时，-2 + a + a2 - 4aa2 - 4a + 4 - a2 - 4a-因为 1- x2 = 2 = 0 ，2所以 x1 x2 0 ，(x) 在(-1, 0) 和(0, +) 单调递增，无极值点.5 分综上所述，当a 0 时，函数(x) 无极值点，当a -1) 在(0, +) 单调递增， 1 2 （xe2 - 2又 (e -1) = - 0 ，e2 -1所以函数(x) 在(e
20、 -1, e2 -1) 上有唯一的零点，又因为(x) 在(0, +) 单调递增，所以方程ln(x0+1) - x0 +1 = 0 在(0, +) 上存在唯一的根，x0故在区间(0, +) 上存在唯一的 x0 ，使得直线l 与曲线 y = g(x) 相切 12 分21（本小题满分 12 分）2020 年初，新冠肺炎疫情袭击全国，某省由于人员流动性较大，成为湖北省外疫情最严重的省份之一，截至 2 月 29 日，该省已累计确诊 1349 例患者（无境外输入病例）.（1） 为了解新冠肺炎的相关特征，研究人员从该省随机抽取 100 名确诊患者，统计他们的年龄数据，得下面的频数分布表：由频数分布表可以大致认为，该
