1、高中平面解析几何知识点总结直线圆椭圆曲线推荐文档高中平面解析几何知识点总结一.直线部分1.直线的倾斜角与斜率：（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与 x 轴相交的直线，如果把 x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为 叫做直线的倾斜角. 倾斜角 0,180) , = 90 斜率不存在.k = y2 - y1 (x x ), k = tan （2）直线的斜率：x2 - x1 21 两点坐标为P1(x1, y1) 、2(x2, y2 ) .2.直线方程的五种形式：（1）点斜式： y - y1 = k (x - x1 ) (直线l 过点 P1 (x1 , y1 )
2、，且斜率为k ) 注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为 x = x0 （2）斜截式： y = kx + b (b 为直线l 在 y 轴上的截距). y - y1 = x - x1 （3）两点式： y2 - y1x2 - x1 ( y1 y2 ， x1 x2 ).注： 不能表示与 x 轴和 y 轴垂直的直线； 方程形式为： (x2 - x1 )( y - y1 ) - ( y2 - y1 )(x - x1 ) = 0 时，方程可以表示任意直线x + y = 1（4）截距式： a b （ a, b 分别为 x 轴 y 轴上的截距，且a 0, b 0 ）注：不能表示与 x 轴垂直的直
3、线，也不能表示与 y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线（5）一般式： Ax + By + C = 0y = - A x - C(其中 A、B 不同时为 0)k = - A一般式化为斜截式： B B ，即，直线的斜率： B 注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为 y = kx + b 或 x = 0 已知直线横截距 x0 ，常设其方程为 x = my + x0 (直线斜率 k 存在时， m 为 k 的倒数)或y = 0 (x , y )y = k (x - x) + yx = x已知直线过点 00 ，常设其方程为0 0 或 0 （2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重
4、合；立体几何中两条直线一般不重合3.直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为 0.（1）直线在两坐标轴上的截距相等 直线的斜率为- 1或直线过原点（2）直线两截距互为相反数 直线的斜率为 1 或直线过原点（3）直线两截距绝对值相等 直线的斜率为1或直线过原点4.两条直线的平行和垂直：（1）若l1 : y = k1 x + b1 ， l2 : y = k2 x + b2 ，有 l1 / l2 k1 = k2 , b1 b2 ； l1 l2 k1k2 = -1.（2）若l1 : A1x + B1 y + C1 = 0 ， l2 : A2 x + B2 y + C2 = 0 ，有 l1 / l2 A1
5、B2 = A2 B1 A1C2 A2C1 ； l1 l2 A1 A2 + B1 B2 = 0 5.平面两点距离公式：P (x , y ) P (x , y ) P P =（1）已知两点坐标 1 1 1 、 2 2 2 ，则两点间距离 1 2 （2）x 轴上两点间距离： AB = xB - xA x1 + x2 x0 =yy +2 yP P M (x , y ) 0 = 1 2 2 （3）线段1 2 的中点是 0 0 ，则6.点到直线的距离公式：d =点 P(x0 , y0 ) 到直线l：Ax + By + C = 0 的距离： 7.两平行直线间的距离公式：d =两条平行直线l1：Ax + By
6、 + C1 = 0，l2：Ax + By + C2 = 0 的距离： 8.直线系方程：（1）平行直线系方程： 直线 y = kx + b 中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程 与直线l : Ax + By + C = 0 平行的直线可表示为 Ax + By + C1 = 0 过点 P(x0 , y0 ) 与直线l : Ax + By + C = 0 平行的直线可表示为：A(x - x0 ) + B( y - y0 ) = 0 （2）垂直直线系方程： 与直线l : Ax + By + C = 0 垂直的直线可表示为 Bx - Ay + C1 = 0 过点 P(x0 , y0 ) 与直
7、线l : Ax + By + C = 0 垂直的直线可表示为：B(x - x0 ) - A( y - y0 ) = 0 （3）定点直线系方程： 经过定点 P0(x0 , y0 ) 的直线系方程为 y - y0 = k (x - x0 ) (除直线 x = x0 ),其中k 是待定的系数 经过定点 P0(x0 , y0 ) 的直线系方程为 A(x - x0 ) + B( y - y0 ) = 0 ,其中 A, B 是待定的系数（4）共点直线系方程：经过两直线1 A1 x + B1 y + C1 = 0 l2A2 x + B2 y + C2 = 0 交点的直线系方程为 A1x + B1 y + C
8、1 + (A2 x + B2 y + C2 ) = 09.两条曲线的交点坐标：(除开l2 )，其中 是待定的系数曲线C1 的交点坐标 方程组: f (x, y) = 0 与C2 : g(x, y) = 0 gf (xx, yy) = 00的解10.平面和空间直线参数方程：方向向量为 = ( ) 平面直线方程以向量形式给出：x-a y-b， 下面推导参数方程：=n1 n2s n1 n2 y-b x = a + n1t令：x-a =n n= t 则有y = b + n t1 2 2 空间直线方程也以向量形式给出：x-a = y-b = z-b 方向向量为 = (， , )下面推导参数方程：n1 n
9、2 n3s n1 n2 n3x = a + n1t y-b z-c n令：x-a =n1 n2= = t3则有 y= b +n2 tz = c + n3 t注意：只有封闭曲线才会产生参数方程，对于无限曲线，例如二次函数一般不会有化为如上的参数方程。二.圆部分1.圆的方程：（1）圆的标准方程： (x - a)2 + ( y - b)2 = r 2 （ r 0 ）（2）圆的一般方程： x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0(D 2 + E 2 - 4F 0) （3）圆的直径式方程：若 A(x1 , y1 )，B(x2 , y2 ) ，以线段 AB 为直径的圆的方程是：(x - x1
10、 )(x - x2 ) + ( y - y1 )( y - y2 ) = 0 (- D ,- E ) r =注：(1)在圆的一般方程中，圆心坐标和半径分别是 2 2 ， 2 （2）一般方程的特点： x 2 和 y 2 的系数相同且不为零； 没有 xy 项； D 2 + E 2 - 4F 0（3）二元二次方程 Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 表示圆的等价条件是： A = C 0 ； B = 0 ； D 2 + E 2 - 4 AF 0 2.圆的弦长的求法：（1）几何法：当直线和圆相交时，设弦长为l ，弦心距为d ，半径为r ，则：“半弦长2+弦心距2=半径
11、2”l 2( ) 2d 2 = r 2+；（2）代数法：设l 的斜率为k ， l 与圆交点分别为 A(x1 , y1 )，B(x2 , y2 ) ，则| AB |= | xA-xB |=| y A-yB |（其中| x1 - x2 |,| y1 - y2 |的求法是将直线和圆的方程联立消去 y 或 x ，利用韦达定理求解）3.点与圆的位置关系：点 P(x0 , y0 ) 与圆(x - a)2 + ( y - b)2 = r 2 的位置关系有三种 P 在在圆外 d r (x -0 a)2 + ( y -0b)2 r 2 P 在在圆内 d r (x -0 a)2 + ( y -0 b)2 r d=
12、 r d r 0 5.两圆位置关系:设两圆圆心分别为O1 , O2 ，半径分别为r1 , r2 ， O1O2 = dd rr1 +-r2r 4 ；1 2 ；d = r1 + r2 3 ；d = r1-r2 1 ； 2 r1- r2 d 0)（1）过直线l：Ax + By + C = 0 与圆C : x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 的交点的圆系方程：x 2 + y 2 + Dx + Ey + F + ( Ax + By + C) = 0 , 是待定的系数（2）1 1 1 2 2 2过圆C1 : x 2 + y 2 + D x + E y + F = 0 与圆C2 : x
13、2 + y 2 + D x + E y + F = 0 的交点的圆系方程：x 2 + y 2 + D1 x + E1 y + F1 + (x2 + y 2 + D 2 x + E2 y + F2) = 0 , 是待定的系数特别地，当 = -1 时， x2 + y2 + D x + E y + F + (x2 + y2 + D x + E y + F ) = 0 就是1 1 1 2 2 2(D1 - D2 )x + (E1 - E2 ) y + (F1 - F2 ) = 0 表示两圆的公共弦所在的直线方程，即过两圆交点的直线7.圆的切线方程：（1）过圆 x 2 + y 2 = r 2 上的点 P
14、(x0 , y0 ) 的切线方程为: x0 x + y0 y = r 2 （2）过圆(x - a)2 + ( y - b)2 = r 2 上的点 P(x0 , y0 ) 的切线方程为: (x - a)(x0 - a) + ( y - b)( y0 - b) = r 2（3）当点 P(x0 , y0 ) 在圆外时，可设切方程为 y - y0 = k (x - x0 ) ，利用圆心到直线距离等于半径，即d = r ，求出k ；或利用 = 0 ，求出k 若求得k 只有一值，则还有一条斜率不存在的直线x = x0 8.圆的参数方程：圆方程参数方程源于：（x-a)2sin2 + cos2 = 1( y-
15、b)2那么 + = 1R R（设： x-a)R= sin =得： x a +R sin （ y-b) = cos R = b +R cos 9.把两圆 x 2 + y 2 + D x + E y + F = 0 与 x 2 + y 2 + D1 1 1 2 x + E2 y + F2 = 0 方程相减即得相交弦所在直线方程: (D1 - D2 )x + (E1 - E2 ) y + (F1 - F2 ) = 0 10.对称问题：（1）中心对称： 点关于点对称：点 A(x1 , y1 ) 关于M (x0 , y0 ) 的对称点 A(2x0 - x1 ,2 y0 - y1 ) 直线关于点对称：法
16、1：在直线上取两点，利用中点公式求出两点关于已知点对称的两点坐标，由两点式求直线方程法 2：求出一个对称点，在利用l1 / l2 由点斜式得出直线方程（2）轴对称： 点关于直线对称：点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数，点与对称点的中点在直线上 AA l k AA kl = -1A AAAl AA l点 关于直线l 对称 直线关于直线对称：（设a, b 关于l 对称）法 1：若a, b 相交，求出交点坐标，并在直线a 上任取一点，求该点关于直线l 的对称点 若a / l ，则b / l ，且a, b 与l 的距离相等法 2：求出a 上两个点 A, B 关于l 的对称点，在由两点式求出直线的
17、方程（3）其他对称：点(a,b)关于 x 轴对称：(a,-b)； 关于 y 轴对称：(-a,b)；关于原点对称：(-a,-b)；点(a,b)关于直线 y=x 对称：(b,a)； 关于 y=-x 对称：(-b,-a)；关于 y =x+m 对称：(b-m、a+m)； 关于 y=-x+m 对称：(-b+m、-a+m).11.若 A(x1 , y1 )，B(x2 , y2 )，C(x3 , y3 ) ，则ABC 的重心 G 的坐标 x1 + x2 + x3 y1 + y2 + y3 是 3 ，12.各种角的范围：3 直线的倾斜角 0 180两条相交直线的夹角两条异面线所成的角0 900 90三.椭圆部
18、分1.椭圆定义： 到两定点距离之和为一常数的平面几何曲线：即MO1+MO2=2a 或定义：任意一条线段，在线段中任取两点（不包括两端点），将线段两端点置于这两点处，用一个钉子将线段绷直旋转一周得到的平面几何曲线即为椭圆。 从椭圆定义出发得到一个基本结论：椭圆上任意一点引出的两个焦半径之和为常数 2a。2.椭圆性质：由于椭圆上任意一点到两点距离之和为常数，所以从 A 点向焦点引两条焦半径AO1+AO2=AO2+O2B=2a这是因为AO1=O2B(由图形比较看出) 椭圆的标准方程：2x + = 1a2 b2 椭圆参数方程：从圆方程知： x2 + y2 = R22+圆方程参数方程源于： sin2 +
19、 cos2 = 1所以按上面逻辑将椭圆方程x y2 = 1 视为 x = sin a2 b2得： x =设 R y R = cos y = x =R sin R cos 同理椭圆参数方程为： a yb由于两个焦半径和为 2asin = cos 得： x = a sin y = b cos 所以O1C+O2 C= 2a O1C= O C2= a 得： a2 =b2 + c22 O C = b = - 2 O1C= O2 CO C = c c a 椭圆离心率，来源于圆的定义：圆实际上是一种特殊的椭圆，而圆不过是两个焦点与坐标圆点重合罢了。e椭圆离心率为 = ca四.双曲线部分1.双曲线定义：到两定
20、点的距离之差的绝对值为常数的平面几何图形，即：MO2 - MO1 = 2a 双曲线的标准方程：2x - = 1a2 b2 由于双曲线上任意一点两个焦点之差的绝对值为常数 2a. AQ2 - AQ1 = AB = 2a AQ2-AQ= AB+BQ-AQ= AB= 2a 双曲线的渐近线：2 b2 ( 2 ) b 2由标准方程知： y = a2 x - a y = ax2 - a2又 y = ba b = b x a a y = bax 为渐近线，另一条为 y = - b xa以上为渐近线的推导过程。2= a 2 -2 a = a若标准方程为 y -b2x = 1a2x，那么这时b y b b b
21、yb y = a x注意 y 下面对应 b，x 下面对应 a. 取 x=a 及 x=-a 两条直线，它们与渐近线的两个焦点的连线和 y 轴的交点称为虚焦点， 该轴称为虚轴。 推导 a、b、c 之间的关系：设双曲线上任意一点坐标 M（x，y）MO2 =MO1 MO2=- MO1 = -= 2ax2 y2经化简得： 2a- = 1c2 - a22 2 2x2 y2设： c - a= b 双曲线标准方程为： - = 1a2 b2从而得到: c2 = a2 + b2五. 抛物线部分1.定义：到定点与定直线距离相等的平面曲线称为抛物线。为了推导抛物线标准式，设：定直线为 x=-p，定点为 O1（p，0）
22、，（尽管这是一种特殊情况，但同样具有一般性） 设：抛物线上任意一点坐标为 M(x，y) M 点到定直线 x=-p 的距离为 x+ pM 点到定点 O1（p，0）的距离为x+ p = x2 + p2 + 2 px2 y = 4 px= x2 + p2 - 2 px + y2 很显然与以前学习的二次函数是一致的，只不过这里自变量变成 y，函数变成 x；而二次函数自变量是 x，函数是 y，因而二次函数也是抛物线，同样具有抛物线的性质。如下： y = a x2 + bx + c (a 0)x + x = - b 1 2 a韦达定理： . = c x1 x2 a. 顶点坐标 b 4ac - b2 ，推导
23、采用配方法： (- ， )2a 4ay = 2 + b + b -2 b 2a xa x 2a 2a +c b 2 4ac - b2 a x+ + 2a 4a 求根公式： x1，2 = 2a从而零点坐标为(x ，0 )、(x ，0 。1 2 平移例如：a、( y+1)2 = 2 px 如何平移呢？那就要看( y+1)2 怎么样才可等于零，不难看出只有在 y+1 = 0 时，y = -1 ,即向下移动一个单位。b、y2 = 2 p(x+1) 同样看(x+1) 如何为零，不难看出x = -1 ，即图像向左移动一个单位c、( y-1)2 = 2 p(x-1) 同样看( y-1)2 和(x-1) 如何
24、为零，不难看出 y即图像想上移动一个单位，向右移动一个单位。= 1 及 x = 1 ，注意，平移部分需要自己琢磨，根据上面三个例子.At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, people who learn to learn are very happy people. In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the im
25、portance of continuous learning, life is diligent, nothing can be gained, only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!
