1、中学数学课程改革 问题与思考,人民教育出版社 章建跃01058758320,一、几个基本观点,1坚持我国数学教育的优良传统课程教材体系结构严谨，逻辑性强，语言叙述条理清晰，文字简洁、流畅，有利于教师组织教学，注重对学生进行基础训练等；教学强调概念理解和基本技能训练，强调为学生铺设合理的认知台阶，强调变式训练等；学生学习刻苦，基础扎实，运算能力和逻辑推理能力强等。,2.针对问题进行改革数学教学“不自然”，强加于人；缺乏问题意识；重结果轻过程，“掐头去尾烧中段”；重解题技能、技巧轻普适性思考方法的概括，方法论层次的内容渗透不够，机械模仿多独立思考少，数学思维层次不高；讲逻辑而不讲思想。,3处理好数
2、学课改中的各种矛盾关系，把握平衡不走极端而到达光辉顶点学生主体与教师主导接受学习与发现学习基础与创新数学知识、能力与情感态度数学化与情境化（直观与逻辑、具体与抽象等）独立思考与合作交流过程与结果面向全体与因材施教书本知识与数学应用,二、改革的几个重点问题,1亲和力问题呈现方式：自然亲切，生动活泼，激发兴趣和美感，引发学习激情。数学的内在吸引力：在体现知识归纳概括过程中的数学思想、解决各种问题中数学的力量、数学探究和论证方法的优美和精彩之处、数学的科学和文化价值等方面，引发学生的积极体验。,2加强“问题性”问题引导学习,问题引导学习应当成为基本的数学教学原则通过恰当的、对学生思维有适度启发性的问
3、题，引导学生的思考和探索，经历观察、实验、猜测、推理、交流、反思等理性思维基本过程，切实改进学生的学习方式，培养问题意识，孕育创新精神。,好问题的标准,“跳一跳能够摘到的果子”反映当前教学内容的本质；“度”似会非会，感到能解决但又不能轻易解决，经过适度努力能够解决。,案例一 梯形面积公式的推导,如图，教师在将梯形进行切割后问学生：（1）这个平行四边形的底与梯形的上、下底有什么关系？（2）平行四边形的高与梯形的高有什么关系？（3）梯形的面积与拼成的平行四边形的面积有什么关系？（4）梯形的面积应怎样算？,建立在学生思维最近发展区内的提问,我们知道，长方形面积是“长宽”。你能回忆一下，我们是如何利用
4、长方形面积得到三角形面积和平行四边形面积的吗？如何利用已有的面积公式求出梯形的面积公式？核心思想：利用割补法，将梯形面积化归为矩形、平行四边形、三角形的面积，强调了知识之间的联系与结构,3提高思想性,加强过程与联系，以数学概念的发展过程、逻辑关系组织教学内容，保持思想方法的前后一致性；以核心概念和基本思想（数及其运算、函数、空间观念、数形结合、向量、导数、统计、随机观念、算法等）为贯穿教学过程的“灵魂”。,案例二 定性平面几何的结构,主题：1.全等形平面对任意直线的反射对称性；2.平行性三角形内角和等于一个平角所表达的“平直性”。,定性平面几何的结构,由SAS公理和三角形内角和为一个平角这两个
5、基本性质为起点，先讨论等腰三角形、平行四边形的各种性质，并概括出它们的特征性质，然后再逐步运用这两个基本工具，解答、论证其他平面几何的定理和问题。,例 由等腰三角形的特征性质可以推出的定理ASA，SSS；两条直线与第三条直线相交，如果同位角相等，那么它们不相交；三角形的任一外角大于其任一内对角；AAS；大边对大角，大角对大边；,三角形的两边之和大于第三边；给定平面上两个点A，B，那么到A，B距离相等的点在线段AB的垂直平分线上；从直线l外一点P到直线上各点的距离中，垂线段最小；圆内接四边形的对角之和相等；,案例三 定量平面几何的结构,基本定理和精要三角形面积公式勾股定理相似三角形定理先简明扼要
6、地推导上述三者，再用它们来解答或论证各种各样的定量平面几何问题,我国古代的定量平面几何学,以矩形面积等于长宽为基础，用面积法推导直角三角形面积公式、勾股定理，用“出入相补”原理证明相似直角三角形的比例式。矩形面积公式、直角三角形面积公式、勾股定理、出入相补比例实际上是一组完备的定量平面几何基础。,例 相似三角形定理的面积法证明。不妨设A1=A，B1C1BC。A1(A)用两种方法计算梯形BCC1B1：S=ah/2a1h1/2；B1 C1S=(hh1)(aa1)2。两式相减得 B Ca:a1=h:h1。可得：:1=(a:a1)。同理，有:1=(b:b1)；:1=(c:c1)。于是，a:a1=b:b
7、1=c:c1。,2,2,2,4加强结构性(联系性),结构良好的教学内容的特点核心知识（基本概念及由内容所反映的数学思想方法）为联结点，精中求简，易学、好懂、能懂、会用，能切实减轻学生负担；形成概念的网络系统，联系通畅，便于记忆与检索；具有自我生长的活力，容易在新情境中引发新思想和新方法。,“结构性”的几个具体要求,（1）教学目标明确，削支强干，重点突出，集中精力于核心内容。（2）教学内容安排注重层次结构，张弛有序，循序渐进。由浅入深，由易到难，先简后繁，先单一后综合。,（3）每堂课都围绕一个中心论题展开和深化，精心组织相关的数学成分，使相应的核心概念或重要思想成为一个有机整体，相关的数学术语、
8、定义、符号、概念、技能等因素都得到仔细的展开；课与课之间建立精当的序列关系，保持知识的连贯性，思想方法的一致性。易错、易混淆的问题有计划地复现和纠正，使知识得到螺旋式的巩固和提高。,（4）强调科学思考方法的应用,推广类比 当前内容 类比特殊化,案例四 三角函数中的结构思想,定义：任意角与单位圆的交点为P(x，y)，则x=cos，y=sin，对应关系明确，函数的意义直观而具体；三角函数性质：正弦、余弦函数的基本性质就是圆的几何性质（主要是对称性）的解析表述，例如（1）P(x，y)在单位圆上|x|1，|y|1，即正弦、余弦函数的值域为1，1；（2）|OP|2=sin2+cos2=1；,（3）对于圆
9、心的中心对称性 sin(+)=sin，cos(+)=cos；（4）对于x轴的轴对称性 sin()=sin，cos()=cos；（5）对于y轴的轴对称性 sin()=sin，cos()=cos；（6）对于直线y=x的轴对称性 sin()=cos，cos()=sin；,（7）sin的单调性：0 y：1 0 1 0 1（8）圆的旋转对称性：和（差）角公式 圆的反射对称性：和（差）化积公式,三、初高中衔接问题,主要问题：（1）初中内容的不适当删减、降低要求，导致学生“双基”无法达到高中教学要求；（2）初中不适当地“抢戏”，导致“夹生饭”、“注入式”教学（学生思维能力达不到要求）；（3）不顾学生的基础，
10、任意拔高教学要求，繁琐的、高难度的运算充斥课堂。,案例五 初高中不衔接内容举例,初中删除的内容1立方和公式与立方差公式2因式分解中的十字相乘法、分组分解法3含有字母的方程4三元一次方程组5根式的分母有理化、最简根式,根式化简6画频率分布直方图,7可化为一元二次方程的分式方程(只要求化为一元一次方程的分式方程)，分式乘方8无理方程9高次方程10二元二次方程组11一元二次不等式12一元二次方程根的判别式13韦达定理14换元法,15平行线等分线段定理，平行的传递性16平行线分线段成比例定理，梯形中位线（教材中有但中考不考）17截三角形两边或延长线的直线平行于第三边的判定定理18空间直线、平面的位置关
11、系19圆内接四边形的性质20轨迹定义21圆的有关定理：垂径定理及逆定理，弦切角定理，相交弦定理，切割弦定理，两圆连心线性质定理，两圆公切线性质定理22相切作图，正多边形的有关计算，等分圆周，三角形的内切圆23三角函数中的同角三角函数的基本关系式,降低要求的内容,1有理数混合运算强调最多三步，学生习惯性使用计算器，笔算、口算、心算能力弱；2多项式相乘仅要求一次式相乘，无除法；3因式分解只要求提取公因式法、公式法（平方差、完全平方），直接用公式法不超过两次；4根式的运算要求低；,5绝对值符号内不能含有字母；6配方法要求低，只在解一元二次方程中有简单的要求，而在二次函数中也不要求用配方法，求顶点、最
12、值，只要求用公式求，且又不要求记忆公式和推导（中考试卷中会给出公式）；7几何中大大减少定理的数量，删除繁难的几何证明，淡化几何证明的技巧；8反证法，初中只要求通过实例，体会反证法的含义，了解即可；9辅助线，中考只要求添加一条辅助线。,案例六 概率的初高中衔接,概率的核心：了解随机现象和概率的意义过去的概率课，把重点放在用排列组合计算古典概率上，而忽略了对概率本身的理解。学生学完后，并不能很好地认识周围发生的随机现象，如天气预报，彩票中奖等。在现在的标准中，更强调对随机现象的认识。,初中：（1）能列出随机现象所有可能的结果，以及指定事件发生的所有可能结果，了解事件发生的概率；（2）知道通过大量地
13、重复试验，可以用频率来估计概率。,高中：（1）在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别。（2）通过实例了解两个互斥事件的概率加法公式。（3）通过实例理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。（4）了解随机数的意义，能运用模拟方法（包括计算器产生随机数来进行模拟）估计概率，初步体会几何概型的意义。（5）通过阅读材料了解人类认识随机现象的过程。,古典概型中应关注的问题,特征：实验结果的有限性和每一个实验结果出现的等可能性。古典概率是一类数学模型，并非是现实生活的确切描述。例如：把2个球放入2个盒
14、中，每盒放球数不限。当球、盒都可以分辨时，有四种结果；当球不可分辨而盒可以分辨时，有三种结果；当球、盒都不可分辨时，只有两种结果。如果出现的结果是等可能的，就得到三种不同的古典概率模型。它们没有对错之分。,同一个问题可以用不同的古典概率模型来解决。例 扔一个均匀的骰子，求“出现偶数点”的概率。在古典概率的问题中，关键是要给出正确的模型。一题多解体现的恰是多个模型。,四、课改实施中应注意的问题,1认真领会课标、教材的精神 数学教育功能的全面性；正确认识和处理教学中的师生关系，发挥学生的主体作用、激发学生主动学习；改进教学方式和学习方式，例如重视教学情景创设，强调学生的自主探究、合作交流；注重数学
15、与现实的联系，强调数学应用；等。,对于教材改革的指导思想的理解：亲和力、问题性、思想性、联系性理解有待进一步加深。例如：改革思想和内容的理解需要进一步落实；教学中，擅自增加、调整内容，提高教学要求，用题海训练代替数学教学，大量增加课时等现象还比较严重，缺乏提高课堂教学质量和效率的根本办法。,2教学目标的准确、具体、有用,准确：要准确地反映“课标”的要求具体：要用可操作性语言，对“了解”“理解”“掌握”“灵活应用”等做出具体界定 实用，要阐述清楚经过教学后学生的变化教学目标的制定反映了教师对数学、教材以及学生的理解的整体水平，是教学水平的集中体现。那种“一步到位”的教学目标显然不符合要求，也是教
16、学水平不高的表现。,案例七 教学目标的陈述,例1 掌握一元二次方程根的判别式。对“掌握”的内涵作具体界定。重要概念要考虑作适当分解：（1）在用配方法推导一元二次方程求根公式的过程中，掌握判别式的结构和作用；（2）能用判别式判断一个一元二次方程是否有解；（3）能用判别式讨论一个含字母系数的一元二次方程的解；（4）能灵活应用判别式解决其他情境中的问题。,例2 理解函数单调性概念。这一陈述中，需要对“理解”的含义作具体界定，以使我们能准确把握学生是否已经达到“理解”。实际上，“理解”的基本含义是学生能用概念作出判断。因此可以改述为：能给出增函数、减函数的具体例证和图象特征；能用函数单调性定义判断一个
17、函数的单调性。,要防止教学目标“高大全”，有的甚至是“假大空”，目标“远大”、空洞，形同虚设。例如，一堂课的目标中含有：培养学生的数学思维能力和科学的思维方式；培养学生勇于探索、创新的个性品质；体验数学的魅力，激发爱国主义热情；等等。,3教学方法的多样、适切、灵活,多样、灵活：课堂教学中应当根据教学进程的需要，恰当选择和灵活调整教学方法；适切：教学方法要为学生的数学认知活动服务，适合内容的特点和学生的思维需要。教学方法改革核心是如何在接受式学习中融入问题解决的成分，使启发式讲授教学与活动式教学有机结合。,当前值得重点考虑问题：如何使活动式教学真正有成效，如何设法在学生学习中融入问题解决的成分。
18、这就要考虑：什么样的活动是有效的？什么样的交流才是真正的数学交流？什么样的探究才是真正的数学探究？有效的“活动”“探究”“问题解决”等，主要看学生思维的参与度，要让学生真正通过自己实质性的思维活动获取数学知识、方法和数学思想，并逐渐发展数学能力,4教学过程有效、开放、重点突出,有效：通过教学能确保达成教学目标，保证课堂教学的效率和效果。开放：学生有广阔、独立的数学思维空间，有机会经过自己的独立思考获得对数学知识的理解。重点突出：教学要抓住数学核心概念和思想方法。,5问题要有意义、适度、恰时恰点,有意义：问题要反映当前学习内容的本质；适度：提问要把握好“度”，使学生处于“跳一跳摘果子”的状态；恰
19、时恰点：要在学生处于思维困惑时提出问题，使问题能够启发和引导学生的数学思维活动。构建恰时恰点的问题（系列）是有效教学的基本线索，“问题引导学习”应是教学的一条基本原则,怎样的情境才是教学情境,强调“生活情境”，人为制造情境，特别是与当前学习任务没有太大关系的情境较多。例：讲椭圆概念时，要用“神舟五号”的太空飞行图，而且问学生“飞行路线是什么？”有效的教学情境是与当前学习任务相关的、能反映当前学习内容本质的。,五、课堂教学的几个关键,1.三个基本点理解数学对数学的思想、方法及其精神的理解；理解学生对学生数学学习规律的理解，核心是理解学生的数学思维规律；理解教学对数学教学规律、特点的理解。,2.两
20、个关键提好的问题在学生思维最近发展区内，有意义；设计自然的过程数学知识发生发展的原过程（再创造），学生对数学知识的认识过程。,过程抽象与具体、特殊与一般的关系,抽象是数学的一个公认的、最显著的特点数学的抽象是从具体中得来的，具体中蕴含了本质从具体中可以进行多次抽象可以从不同的角度进行抽象特殊化能使一般的性质得到最明显的表征,案例八 正、余弦定理的推导,三角形有各种几何量，如三边长、三个内角的角度、面积、外经、内径等。“解三角形”就是给定三角形的若干几何量，求其余几何量。你认为至少给定几个量就可以求出其余量？（从定性到定量）特殊化：解直角三角形（利用勾股定理、两个锐角互余、锐角三角函数等）。,推
21、广：能否将上述结论推广到一般三角形？在已有结果的基础上，探索新的证明方法，如：三角形面积与正弦定理垂直投影与余弦定理用余弦定理推导正弦定理借助于外接圆证明正弦定理,3.一个核心概括引导学生自己概括出典型实例的共同本质特征强调学生实质的、高水平的思维参与度，使学生在教学过程中保持高水平的数学思维活动,案例九 平行线分线段成比例定理的概括,先行组织者：研究平行线的性质，就是探究在一组直线平行的条件下可以得出哪些结论。特例1 一组等距平行线截另一组平行直线，结果如何？特例2 一组等距平行线截另一组任意直线，结果如何？平行线等分线段定理、三角形和梯形的中位线定理。特例3 已知距离的不等距平行线截另一组
22、直线，结果如何？平行线分线段成比例定理。,4努力改进教学方式,在教学方式的改进中，最重要的是要让学生有自己积极地、独立地进行数学思考的空间。不管是传授式还是活动式（相应的，学生学习方式是接受式或发现式），只要学生有思维的自主，就是学生的自主地位得到体现。,根据数学知识的认知需要，为学生设置恰当的教学情景，通过恰时恰点的问题引导学生的学习活动，充分使用“先行组织者”，在思想方法上多做引导，在具体细节上让学生自己多动手做、多阅读、多思考、多交流，让学生多发表意见，教师自己参与到学生的活动中去，多听少讲，在关键点上让学生有机会提出自己的见解。,课堂教学的“六字经”,问题引导学习教学重心前移典型丰富例证提供概括时机保证思考力度加强思想联系使用变式训练强调反思迁移,欢迎批评指正,谢 谢！,
