1、51第五十一章 分类与分布第五十一章分类与分布概念1、分类计数原理： 完成一件事有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么，完成这件事情共有m1+m2+mn种不同的方法。采取其中任何一种方法都可以完成这件事情，这是进行分类计数的标志。2、分步计数原理：完成一件事有n个步骤，做第1步有m1,做第2类办法中有m2种不同的方法，做第n类办法中有mn种不同的方法，那么，完成这件事共有m1m2mn种不同的方法。只有每个步骤都做完，这件事情才算完成，这是进行分步计数的标志。3、枚举法：将符合要求的结果逐一列举出来，不重复不遗漏。枚
2、举法是进行计数的根本方法，而其他的计数原理、技巧可以简化枚举过程，更快地得到结果。例题1一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两袋子里各取一个球，不同取法的种数为()A182 B14 C48 D912从甲地到乙地一天有汽车8班，火车3班，轮船2班，某人从甲地到乙地，他共有不同的走法数为()A13种 B16种 C24种 D48种3集合Aa，b，c，Bd，e，f，g，从集合A到集合B的不同的映射个数是()A24 B81 C6 D6445本不同的书，全部送给6位学生，有多少种不同的送书方法()A720种 B7776种 C360种 D3888种5有四位老师在同一年级的4个班级
3、中，各教一个班的数学，在数学考试时，要求每位老师均不在本班监考，则安排监考的方法种数是()A8种 B9种 C10种 D11种6某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“0000”到“9999”共10 000个号码，公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为()A2 000 B4 096 C5 904 D8 3207某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这2个新节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为()A42 B30 C20 D128定义集合A与B的运算A*B如下：A*B(x，y)|xA，
4、yB，若Aa，b，c，Ba，c，d，e，则集合A*B的元素个数为()A34 B43 C12 D249某医院研究所研制了5种消炎药X1、X2、X3、X4、X5和4种退烧药T1、T2、T3、T4，现从中取出两种消炎药和一种退烧药同时使用进行疗效试验，又知X1、X2两种消炎药必须同时搭配使用，但X3和X4两种药不能同时使用，则不同的试验方案有()A16种 B15种 C14种 D13种10用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1,2相邻的偶数有_个(用数字作答)11三边均为整数且最大边长为11的三角形有_个125名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员现从中选出3名队员排成1、2
5、、3号参加团体比赛 ，则入选的3名队员中至少有一名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有_种(用数字作答)13. 有不同的红球8个，不同的白球7个(1)从中任意取出一个球，有多少种不同的取法？(2)从中任意取出两个不同颜色的球，有多少种不同的取法？14. 若x，yN*，且xy6，试求有序自然数对(x，y)的个数15随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯数字，并有3个字母必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？16
6、已知集合Aa1，a2，a3，a4，集合Bb1，b2，其中ai，bj(i1,2,3,4，j1,2)均为实数(1)从集合A到集合B能构成多少个不同的映射？(2)能构成多少个以集合A为定义域，集合B为值域的不同函数？17. 一件工作可以用2种方法完成 ，有3人会用第1种方法完成，另外5人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是（）8 15 16 3018.从甲地去乙地有3班火车，从乙地去丙地有2班 轮船，则从甲地去丙地可选择的旅行方式有（）5种 6种 7种 8种 19商店里有15种上衣，18种裤子，某人 要买一件上衣或一条裤子，共有 种不同 的选法；要买上衣，裤子各一件，共有
7、 种不同的选法20十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有种行车路线21一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同 （1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？ （2）从两个口袋内各取一个小球，有多 少种不同的取法？ 22某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成 （1）选其中1人为学生会主席，有多少种不同的选法？ （2）若每年级选1人为校学生会常委，有多 少种不同的选法？ （3）若要选出不同年级的两人参加市里组织的活动，有多少种不同的选法？23一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中取出一本，则不同的取法共有
8、（ ） （A） 37种 （B） 1848种 （C） 3种 （D） 6种24一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中取出语文、数学、英语各一本，则不同的取法共有（ ）（A） 37种 （B） 1848种 （C） 3种 （D） 6种25某商业大厦有 东南西3个大门，楼内东西两侧各有2个楼梯，从楼外到二楼的不同走法种数是（ ）（A） 5 （B）7 （C）10 （D）1226用1、2、3、4四个数字可以排成不含重复数字的四位数有（ ）（A）265个 （B）232个 （C）128个 （D）24个27用1、2、3、4四个数字可排成必须含有重复数字的四位数有（ ）（A）265个 （
9、B ）232个 （C）128个 （D）24个283科老师都布置了作业，在同一时刻4名学生都做作业的可能情况有（ ）（A）43种 （B）34种 （C）432种 （D） 123种 29把4张同样的参观券分给5个代表，每人最多分一张，参观券全部分完，则不同的分法共有（ ）（A）120种 （B）1024种 （C）625种 （D）5种30已知集合M=l，2，3，N=4，5，6，7，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是（ ）（A）18 （B）17 （C）16 （D）1031三边长均为整数，且最大边为11的三角形的个数为（ ）（A）25 （B）
10、36 （C）26 （D）3732某书店有不同年级的语文、数学、英语练习册各10本，买其中一种有 种方法；买其中两种有 种方法33大小不等的两个正方形玩具，分别在各面上标有数字1，2，3，4，5，6，则向上的面标着的 两个数字之积不少于20的情形有 种34从1，2，3，4，7，9中任取不相同的两个数，分别作为对数的底数和真数，可得到 个不同的对数值35在连结正八边形的三个顶点组成的三角形中，与正八边形有公共边的有个36某班宣传小组要出一期向英雄学习的专刊，现有红、黄、白、绿、蓝五种颜色的粉笔供选用，要求在黑板中A、B、C、D每一 部分只写一种颜色，如图所示，相邻两块颜色不同，则不同颜色的书写方法
11、共有 种37. 一个学生从3本不同的科技书、4本不同的文艺书、5本不同的外语书中任选一本阅读，不同的选法有_种。38. 一个乒乓球队里有男队员5人，女队员4人，从中选出男、女队员各一名组成混合双打，共有_种不同的选法。 39. 一商场有3个大门，商场内有2个楼梯，顾客从商场外到二楼的走法有_种。 40. 从分别写有1，2，3，9九张数字的卡片中，抽出两张数字和为奇数的卡片，共有_种不同的抽法。41.某国际科研合作项目成员由11个美国人，4个法国人和5个中国人组成，（1）从中选出1人担任组长，有多少种不同选法？（2）从中选出两位不同国家的人作为成果发布人，有多少种不同选法？ 42.（1）3名同学
12、报名参加4个不同学科的比赛，每名学生只能参赛一项，问有多少种不同的报名方案？（2）若有4项冠军在3个人中产生，每项冠军只能有一人获得，问有多少种不同的夺冠方案？ 43.用五种不同颜色给图中四个区域涂色，每个区域涂一种颜色， （1）共有多少种不同的涂色方法？ （2）若要求相邻（有公共边）的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？ 44.从甲地到乙地有两种走法，从乙地到丙地有4种走法，从甲地不经过乙地到丙地有3种走法，则从甲地到丙地共有_种不同的走法。 45.某电话局的电话号码为 ，若后面的五位数字是由6或8组成的，则这样的电话号码一共有_个。 46.从0，1，2，9这十个数字中，任取两个不同的
13、数字相加，其和为偶数的不同取法有_种。47.将3封信投入4个不同的信箱，共有_种不同的投法；3名学生走进有4个大门的教室，共有_种不同的进法；3个元素的集合到4个元素的集合的不同的映射有_个。 48.4个小电灯并联在电路中，每一个电灯均有亮与不亮两种状态，总共可表示_种不同的状态，其中至少有一个亮的有_种状态。 49.用五种不同颜色给图中四个区域涂色，每个区域涂一种颜色， 若要求相邻（有公共边）的区域涂不同颜色， 那么共有_种不同的涂色方法。 50.在一次读书活动中，有5本不同的政治书，10本不同的科技书，20 本不同的小说书供学生选用， （1）某学生若要从这三类书中任选一本，则有多少种不同的
14、选法？（2）若要从这三类书中各选一本，则有多少种不同的选法？ （3）若要从这三类书中选不属于同一类的两本，则有多少种不同的选法？ 51.某座山，若从东侧通往山顶的道路有3条，从西侧通往山顶的道路有2条，那么游人从上山到下山共有_种不同的走法。52.某学生去书店，发现3本好书，决定至少买其中1本，则该生的购书方案有_种。 53.已知两条异面直线 上分别有5个点和8个点，则经过这13个点可确定_个不同的平面。 54.为了对某农作物新品种选择最佳生产条件，在分别有3种不同土质，2种不同施肥量，4种不同种植密度，3种不同播种时间的因素下进行种植实验，则不同的实验方案共有_种。 55.某市提供甲、乙、丙
15、和丁四个企业供育才诈中学高三级3个班级进行社会实践活动，其中甲是市明星企业，必须有班级去进行社会实践，每个班级去哪个企业由班级自己在四个企业中任意选择一个，则不同的安排社会实践的方案共有_种。56.有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1，2，3，任取3面，它们的颜色与号码均不相同的取法有_种 57.1)从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车一天中，火车有 3 个班次，汽车有2个班次那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同的走法？2)从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船一天中，火车有 4个班次，汽车有 2 个班次，轮船有 3 个班次那
16、么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同的走法？3)从甲地到乙地，有 n 类方法，第一类方法中有 m1 种不同的方法，在第二类方法中有 m2种方法在地 n类方法中有 mn种不同的方法。那么从甲地到乙地共有几种不同的方法？4)从甲地到乙地，要从甲地先坐火车到丙地，在于次日从丙地坐汽车到乙地。一天中，火车有 3 班，汽车有 2 班，那么两天中，从甲地到乙地共有几种不同的走法？58.某学生填报高考志愿，有 m个不同的志愿可供选择，若只能按第一、二、三志愿依次填写 3 个不同的志愿，求该生填写志愿的方式的种数59.在所有的三位数中，有且只有两个数字相同的三位数共有多少个？60.现有高中一年
17、级的学生 3 名，高中二年级的学生 5 名，高中三年级学生 4 名，从 3 个年级的学生中各选出一名参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？答案与解析1. 【分析与解】答案C解析由分步乘法计数原理得不同取法的种数为6848，故选C.2. 【分析与解】答案A解析应用分类加法计数原理，不同走法数为83213(种)故选A.3. 【分析与解】答案D解析由分步乘法计数原理得4364，故选D.4. 【分析与解】答案B解析每本书有6种不同去向，5本书全部送完，这件事情才算完成由乘法原理知不同送书方法有657776种5. 【分析与解】答案B解析设四个班级分别是A，B，C，D，它们的老师分别是a，b，c，d，并
18、设a监考的是B，则剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级，共有3种不同的方法；同理当a监考C，D时，剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级也各有3种不同的方法这样，用分类加法计数原理求解，共有3339(种)不同的安排方法另外，本题还可让a先选，可从B，C，D中选一个，即有3种选法若选的是B，则b从剩下的3个班级中任选一个，也有3种选法，剩下的两个老师都只有一种选法，这样用分步乘法计数原理求解，共有33119(种)不同的安排方法6. 【分析与解】答案C解析可从反面考虑，卡号后四位数不带“4”或“7”的共有88884 096个，所以符合题意的共有5 904个7. 【分析与解】答案A解析将新增的2个节目
19、分别插入原定的5个节目中，插入第1个有6种插法，插入第2个时有7个空，共7种插法，所以不同的插法共6742(种)8. 【分析与解】答案C解析显然(a，a)、(a，c)等均为A*B中的元素，确定A*B中的元素是A中取一个元素来确定x，B中取一个元素来确定y，由分步计数原理可知A*B中有3412个元素故选C.9. 【分析与解】答案C解析解决这类问题应分类讨论，要做到不重不漏，尽量做到一题多解，从不同角度思考问题试验方案有：消炎药为X1、X2，退烧药有4种选法；消炎药为X3、X4，退烧药有3种选法；消炎药为X3、X5，退烧药有3种选法；消炎药为X4、X5，退烧药有4种选法，所以符合题意的选法有433
20、414(种)10. 【分析与解】答案24解析可以分三类情况讨论：若末位数字为0，则1,2为一组，且可以交换位置，3,4各为1个数字，共可以组成12个五位数；若末位数字为2，则1与它相邻，其余3个数字排在前3位，且0不是首位数字，则共有4个五位数；若末位数字为4，则1,2为一组，且可以交换位置，3,0各为1个数字，且0不是首位数字，则共有8个五位数，所以符合要求的五位数共有24个11. 【分析与解】答案36解析另两边长用x，y表示，且不妨设1xy11.要构成三角形，需xy12.当y11时，x1,2，11，有11个三角形；当y10时，x2,3，10，有9个三角形当y6时，x6，有1个三角形所以满足
21、条件的三角形有119753136(个)12. 【分析与解】答案48解析本题可分为两类完成：两老一新时，有32212(种)排法；两新一老时，有233236(种)排法，即共有48种排法13. 【分析与解】答案16解析五个开关全闭合有1种情况能使电路接通；四个开关闭合有5种情况能使电路接通；三个开关闭合有8种情况能使电路接通；两个开关闭合有2种情况能使电路接通；所以共有158216种情况能使电路接通14. 【分析与解】分析由题目可获取以下主要信息：(1)由x，yN*且xy6，知x，y的取值均不超过6；(2)(x，y)是有序数对解答本题可按x(或y)的取值分类解决解析按x的取值时行分类：x1时，y1,
22、2，5，共构成5个有序自然数对；x2时，y1,2，4，共构成4个有序自然数对；x5时，y1，共构成1个有序自然数对根据分类计数原理，共有N5432115个有序自然数对点评本题是分类计数原理的实际应用，首先考虑x，y的取值均为正整数，且其和不能超过6，同时注意(x，y)是有序数对，如(1,2)与(2,1)是不同的数对，故可按x或y的取值进行分类解决计数的关键是抓住完成一件事是分类还是分步，一个类别内又要分成几个步骤，一个步骤是否又会分若干类15. 【分析与解】解析将汽车牌照分为2类，一类的字母组合在左，另一类的字母组合在右字母组合在左时，分6个步骤确定一个牌照的字母和数字：第1步，从26个字母中
23、选1个，放在首位，有26种选法；第2步，从剩下的25个字母中选1个，放在第2位，有25种选法；第3步，从剩下的24个字母中选1个，放在第3位，有24种选法；第4步，从10个数字中选1个，放在第4位，有10种选法；第5步，从剩下的9个数字中选1个，放在第5位，有9种选法；第6步，从剩下的8个数字中选1个，放在第6位，有8种选法根据分步乘法计数原理，字母组合在左的牌照共有262524109811 232 000(个)同理，字母组合在右的牌照也有11 232 000个所以，共能给11 232 00011 232 00022 464 000辆汽车上牌照16. 【分析与解】解析(1)因为集合A中的元素a
24、i(i1,2,3,4)与集合B中元素的对应方法都有2种，由分步乘法计数原理，可构成AB的映射有N2416个(2)在(1)的映射中，a1，a2，a3，a4均对应同一元素b1或b2的情形此时构不成以集合A为定义域，以集合B为值域的函数，这样的映射有2个所以构成以集合A为定义域，以集合B为值域的函数有M16214个17. 【分析与解】答案：18. 【分析与解】答案：19. 【分析与解】 答案：33，27020. 【分析与解】 答案：1221. 【分析与解】（1） 种；（2） 种22. 【分析与解】（1） 种；（2） 种；（3） 种23. 【分析与解】A24. 【分析与解】B 25. 【分析与解】D
25、26. 【分析与解】D27. 【分析与解】B 28. 【分析与解】B 29. 【分析与解】D 30. 【分析与解】B31. 【分析与解】B 32. 【分析与解】30；300 33. 【分析与解】534. 【分析与解】17 35. 【分析与解】40 36. 【分析与解】180 37. 【分析与解】 12 38. 【分析与解】20 39. 【分析与解】6 40. 【分析与解】20 41. 【分析与解】（1）20 （2）11942. 【分析与解】（1）64 （2）81 43. 【分析与解】（1）625 （2）180 44. 【分析与解】11 45. 【分析与解】32 46. 【分析与解】20 47.
26、 【分析与解】64、64、64 48. 【分析与解】15 49. 【分析与解】260 50. 【分析与解】（1）35 （2）1000 （3）350 51. 【分析与解】25 52. 【分析与解】7 53. 【分析与解】13 54. 【分析与解】72 55. 【分析与解】37 56. 【分析与解】 657. 【分析与解】 1)解：因为一天中乘火车有 3 种走法，乘汽车有 2 种走法，每种走法都可以完成由甲地到乙地这件事情所以，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有 2+3=6 种不同的走法（通过数形结合，引导学生更好地掌握解题的方法。）2)分析: 从甲地到乙地有 3 类方法 , 第一类方法 ,
27、乘火车，有 3 种方法 ; 第二类方法 , 乘汽车，有 2 种方法 ; 第三类方法 , 乘轮船 , 有 3 种方法 ; 所以 从甲地到乙地共有 3 + 2 + 3 =8 种方法 。3)分析: 从甲地到乙地有 n 类方法 , 第一类方法 , 有 m1 种方法 ; 第二类方法 , 有 m2 种方法 ; 第三类方法 , 有 mn 种方法 ; 所以 从甲地到乙地共有 m1+m2+mn 种方法4)因为乘火车有 3 种走法， 乘汽车有 2 种走法， 所以乘一次火车再接乘一次汽车从甲地到乙地，共有 3 26 种不同的走法。58. 【分析与解】 提示：需要按三个志愿分成三步，共有 m（m-1）（ m-2）种填写方式59. 【分析与解】 可以用下面方法来求解：（ 1），（ 2），（ 3），（ 1），（2），（ 3）类中每类都是 99种，共有 99+99+99=399=243 个只有两个数字相同的三位数）60. 【分析与解】 分析：高中一年级 高中二年级 高中三年级 3 名 5 名 4 名解：从中任选一名，可以分成 3 类，从高中一年级的学生中选出 1 名，从高中二年级的学生中选 1 人，从高中三年级的学生中选出 1 名，有分布计数原理， 所以共有 3+4+5=12种不同的选法
