1、27.2 相似三角形的判定,相似三角形的定义：,对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数).,知识回顾,注：三角形相似与三角形全等不同，全等三角形一定相似，但相似三角形不一定全等。,相似的表示方法,符号：读作：相似于,最简单的相似多边形是什么图形呢？,相似比,判定两个三角形相似的方法,(1)两角对应相等,两三角形相似;(2)两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似;(3)三边对应成比例,两三角形相似.,如何证明？,若从定义出发判断两个三角形是否相似，需要考虑6个元素，比较麻烦,判定两个三角形相似的简单方法：,如右下图：在ABC中，D、E分别
2、是AB、AC边上的点，且DEBC，则在ABC中有：,下面对以上判定方法进行严格的证明（定义法）,如果D、E交在BA、CA的延长线上，且DEBC，结论是否仍然成立呢？,注：写相似时，要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上。,EAD=CABADE=ABCAED=ACB,作EF/DB交CB延长线于F,对于上图的情形，同样可以证明ADEABC，这是判定两个三角形相似的定理，即是预备定理。,平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.,相似三角形判定的预备定理：,A字型,8字型,定理所对应的图形如下：,从预备定理出发，观察下图，你能得出什么新结论？在图形变化过
3、程中，始终满足DEBC,在图形运动中，由于DEBC，因此在D、E的变化过程中，ADE的边长在变，而角的大小始终不变。这说明什么问题呢？,说明只要两个三角形的三个对应角相等，那么两个三角形就相似，而只要两个角相等，第三个必相等，所以就有：判定定理1,思路：在运动变化中找不变性,三角形相似判定定理1,简述:两角对应相等,两三角形相似,已知,如图,在ABC和ABC中,A=A,B=B,求证:ABCABC,证明:,在ABC的边AB(或AB的延长线)上,截取AD=AB,过点D作DE/BC,交AC于点E.由预备定理得:ADEABCADE=B,B=BADE=BA=A,AD=ABADEABCABCABC,例1如
4、图,在ABC,AB=AC,D是AC边上一点,BD=BC.求证:BC2=ACCD,分析:要证明BC2=ACCD，即证明，只要证明AC、BC和BC、CD为相似三角形的两组对应边即可。,证明:,ABC是等腰三角形A=180-2CBCD是等腰三角形DBC=180-2CDBC=A又C为公共角ABCBDC,即 BC2=ACCD,如图,圆内接ABC角平分线CD延长后交圆于一点E.,分析:要证，应考虑EB、BD 和EC、CB所在的三角形相似，即是EBDECB,练一练,证明：由已知条件，可得ACE=BCE。,ACE与ABE是同弧上的圆周角，,ACE=ABE,BCE=ABE。,又 BED=CEB。,EBDECB,
5、结合下图，依照得出判定定理1的思路，即“在运动中找不变性”我们还可以发现A=A，此时两个三角形也相似。,三角形相似判定定理2,ABCA1B1C1.,即：如果,B=B1.,那么,简述:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似,ADEABC,?,DE/BC,证明:作 DE/BC,交AC于E,AE=AE,因此E与点E重合即DE与DE重合,所以 DE/BC,采用了“同一法”的间接证明,引理 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边.,当一个命题的条件和结论所指的概念唯一存在时，若直接证明有困难，就不妨改为去证它的逆否命题，然后根据唯一性的原理断言
6、命题为真，这种解题方法叫做同一法,用同一法解题一般有三个步骤先作出一个符合结论的图形，然后推证出所作的图形符合已知条件；根据唯一性，证明所作出的图形与已知的图形是全等的或重合的；从而说明已知图形符合结论,例 如图,在ABC内任取一点D,连接AD和BD.点E在ABC外,EBC=ABD,ECB=DAB.求证:DBEABC.,研究两个三角形相似的判定问题，除了上述方法外，还可以通过与三角形全等的判定进行类比，得出有关猜想。例如，类比“三边对应相等，两三角形全等”。可以得出猜想：三边对应成比例，两三角形相似。即判定定理3,三角形相似判定定理3,简述:三边对应成比例,两三角形相似,已知:如图,在ABC和
7、ABC中,求证:ABCABC,证明:在ABC的边AB(或延长线)上截取AD=AB,过点D作DE/BC,交AC于点E.,ADEABC,AD=AB,ADEABC,ABCABC,例如图,已知D、E、F分别是ABC三边BC、CA、AB的中点.求证：DEFABC,证明:线段EF、FD、DE都是ABC的中位线,DEFABC,直角三角形相似的判定,定理,此外，与直角三角形全等的判定定理类比，可以引出直角三角形相似的另一个判定定理：,(1)如果两个直角三角形有一个锐角对应相等,那么它们相似;(2)如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例,那么它们相似.,如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的
8、斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。,判定直角三角形相似的定理,ABCA1B1C1.,即：如果,那么,RtABC 和 RtA1B1C1.,例如图，已知AD、BE分别是ABC中BC边和AC边上的高，H是AD、BE的交点,求证：(1)ADBC=BEAC(2)AHHD=BHHE,分析:(1)只要证明RtADCRtBEC(2)只要证明RtAHERtBHD,小结,相似三角形的概念,预备定理,判定定理3,判定定理2,判定定理1,直角三角形判定定理,如果两个三角形有一个内角对应相等，那么这两个三角形一定相似吗？,一角对应相等的两个三角形不一定相似。,（1）所有的等腰三角形都相似。（2）所有
9、的等腰直角三角形都相似。（3）所有的等边三角形都相似。（4）所有的直角三角形都相似。（5）有一个角是100 的两个等腰三角形都相似。（6）有一个角是70 的两个等腰三角形都相似。（7）若两个三角形相似比为1，则它们必全等。（8）相似的两个三角形一定大小不等。,1.判断下列说法是否正确？并说明理由。,随堂练习,ACD CBD ABC,小练习,找出图中所有的相似三角形。,“双垂直”三角形,有三对相似三角形：ACD CBDCBD ABCACD ABC,课堂小结,1.相似图形三角形的判定方法：,通过定义（三边对应成比例，三角相等）,相似三角形判定的预备定理,三边对应成比例，两三角形相似,两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似,两角对应相等，两三角形相似,两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比 例，两直角三角形相似,
