1、第一章集合定稿doc天空中美丽的风筝，千姿百态，翩翩起舞，我们看到的所有的风筝，都遵从着一种数学集合的约定：确定性、互异性数学是科学的大门和钥匙 培根数学是科学和技术的基础；没有强有力的数学就不可能有强有力的科学 美国国家研究委员会第一章 集 合集合是现代数学的基本概念，用它可以简洁、准确地表达数学内容充分条件、必要条件和充要条件等逻辑用语，是数学的通用语言学好这一章可以为今后学习数学奠定基础，并能进一步提高运用数学语言去理解和处理问题的能力1. 1 集合及其表示1.1.1 集合在初中，我们用过“集合”这个词，例如，自然数的集合、有理数的集合、不等式x73解的集合、到一个定点的距离等于定长的点
2、的集合（即圆）等等那么，集合的含义是什么呢？我们再来看下面的一些例子：（1）某中等职业学校高一年级学生的全体；（2）方程x24的所有实数根； （3）所有的平行四边形； （4）平面上到一条线段的两个端点距离相等的点的全体例（1）中，我们把某中等职业学校高一年级的每一个学生作为一个确定的对象，这些对象的全体就构成一个集合；例（2）中，把方程x24的每一个实数根作为一个确定的对象，这些对象的全体也构成一个集合同样地，例（3），（4）中的对象的全体也分别构成一个集合一般地，把一些能够确定的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（简称为集）构成集合的每个对象都叫做集合的元素（边注：类
3、型：试一试 内容：试举出几个集合的例子）一个集合，通常用大写英文字母A，B，C，表示，它的元素通常用小写英文字母a，b，c，表示如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a A，读作“a 属于A”如果b不是集合A的元素，就说b不属于A，记作bA，读作“b不属于A”（边注：类型：读一读 内容：在1889年，意大利数学家皮亚诺（18581932），首先使用“ ”来表示“属于”）关于集合，再作如下说明：（1）确定性：作为集合的元素，必须是完全确定的这就是说，不能完全确定的对象，不能构成集合例如，高一（1）班高个子同学的全体，就不能构成集合这是由于没有规定多高才算是高个子，因而“高个子同学”不能确定（2
4、）互异性：一个给定集合中的元素，是互不相同的也就是说，集合中的元素不能重复出现 含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集（边注：类型：想一想 内容：在本节开始的例（1），（2），（3），（4）中，哪些是有限集？哪些是无限集？）人们约定用特定的一些大写英文字母，表示数学中一些常用的数集，见表11表11 常用数集及其记号常用数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集记号NN+或N*ZQR练习1-11.说出下面集合中的所有元素： （1）大于2且小于7的偶数构成的集合；（2）平方等于1的实数构成的集合2.用符号“ ”或“ ”填空:（1）1_N, 0_N, -4_N, 0.3_N,
5、_N；（2）1_Z, 0_Z, -4_Z, 0.3_Z, _Z；（3）1_Q, 0_Q, -4_Q, 0.3_Q, _Q；（4）1_R, 0_R, -4_R, 0.3_R, _R3.判断下列语句能不能构成一个集合，并说明理由（1）小于10的自然数的全体；（2）某校高一（2）班所有性格开朗的男生；（3）英文的26个字母；（4）非常接近1的实数；（5）小于10的质数的全体；（6）中国所有的小河流1.1.2 集合的表示方法1.列举法当集合中元素不多时，我们常常把集合的元素一一列举出来，写在大括号内表示这个集合，这种表示集合的方法叫做列举法例如，由1，2，3，4，5，6构成的集合，可表示为1，2，3，
6、4，5，6又如，中国古代四大发明构成的集合，可以表示为指南针，造纸术，活字印刷术，火药再如，方程x2+2x30所有的解构成的集合，可以表示为3，1有些集合的元素较多，在不发生误解的情况下，也可列出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示例如，小于100的自然数的全体构成的集合，可表示为0，1，2，3，,99一个集合可能只有一个元素例如，由既不是正数又不是负数构成的实数集合中就只有一个元素0用列举法可以把这个集合表示为0但是0与0有着本质的区别：0表示集合，它只有一个元素0，而0表示的只是一个数，不是集合（边注：类型：想一想 内容： a与a有什么区别？）例 1 用列举法表示下列集合：（1）大于3且
7、小于10的所有奇数构成的集合；（2）方程x2x0的解的全体构成的集合；（3）一次函数yx1的图象与两坐标轴交点构成的集合.解： （1）5，7，9； （2）0，1； (3) （1，0），（0，1）.这里（1），（2）均为数集，而（3）是由平面上坐标为（1，0）和（0，1）的两点构成的点集.2.性质描述法我们容易看出，满足不等式2x4的全体实数构成的集合，不可能用列举法来表示，这时，可以用集合的特征性质来描述一般地，集合A的特征性质是指，属于集合A的元素都具有这种性质，不属于集合A的元素都不具有这种性质例如，满足不等式2x4的全体实数构成的集合的特征性质是：“x R，且x2”满足特征性质的元素都在
8、集合中，不满足特征性质的元素都不在这个集合中，所以，我们可以把这个集合表示为A x R|x2 大括号竖线左边的x表示这个集合的任一元素，并标出元素的取值范围U在竖线的右边写出只有集合内的元素x才具有的特征性质p这种用集合的特征性质表示集合的方法叫做性质描述法用性质描述法表示的集合A，一般记为A x U| p 在某种约定下，x的取值集合可以不写例如在实数集R中取值，x R常常省略不写上述集合A可以简写为 x|x2 （边注：类型：想一想 内容：2，4是集合A x|x2 的元素吗？）又如，正偶数2，4，6，8，的全体构成的集合，它的每一个元素都具有性质“能被2整除，且大于0”，而不属于这个集合的元素
9、都不具有这种性质我们可以把这个集合表示为x Z| x能被2整除，且大于0或 x Z | x2n，n N+有时为了方便，像正偶数集这样的集合也可以描述为x|x是正偶数例 2 用性质描述法表示下列集合：（1）不等式x15的解构成的集合；（2）大于10且小于20的所有有理数构成的集合解：（1）不等式x15的解构成的集合用性质描述法表示为 x| x6；（2）设大于10且小于20的有理数为x，它满足条件x Q，且10x20，因此，用性质描述法表示为 x Q |10x20 （边注：类型：试一试 内容：自己举出几个集合的例子，并分别用列举法和性质描述法表示出来）练习1-21. 用列举法表示下列集合：（1）大
10、于3且小于10的偶数的全体；（2）绝对值等于1的实数的全体；（3）比2大3的实数的全体；（4）一年中有31天的月份的全体；（5）大于3.5且小于12.8的整数的全体2用列举法写出图中各点的坐标构成的集合：（1）（2）3. 用性质描述法表示下列集合：（1）由山东省的省会城市构成的集合；（2）目前你所在班级所有同学构成的集合；（3）正奇数的全体构成的集合；（4）绝对值等于3的实数的全体构成的集合；（5）不等式4x52，Bx| x42用适当的符号（ ， ，）填空：（1）a_a，b，c； （2）4，5，6_6，5，4；（3）a_a，b，c； （4）a，b，c_b，c；（5） _1，2，3； （6）x|
11、x是矩形_x|x是正方形；（7）0_ x| x20； （8）0，1_N3. 写出集合As，t的所有子集和真子集1. 3 集合的基本运算“运算”这个词，过去只用于数或数学式子这里集合运算的意义是，由两个已知的集合，按照某种指定的法则，构造出一个新的集合1. 3.1 交集已知集合M1，2，3，4 ，N3，4，5，6，我们可由这两个集合的所有公共元素构造出一个新的集合3，4下面，给出这种构造的新集合的定义一般地，给定两个集合A，B，由属于A且属于B的所有元素构成的集合，叫做A与B的交集，记作AB，读作“A交B”，即 ABx| x A且x B（边注：类型：想一想 内容：你能用自己的语言表述AB的概念吗
12、？）例如，a，b，c，d b，c，d，e，fb，c，d集合A与B的交集，可用图12中的阴影表示（边注：类型：想一想 内容：如果两个集合没有公共元素，那么它们的交集是什么？）由交集的定义可知，对于任意两个集合A、B，都有（1）ABBA；（2）AAA；（3）A ；（4）如果A B，那么ABA如图12（2），（3）所示例 1 已知集合Ax| x1，B x| x2，求AB解： ABx| x1x| x2 x| x1例 2设集合Ax| x是奇数，Bx| x是偶数，Zx| x是整数，求AZ，BZ，AB解： 因为A Z，B Z，所以AZA； BZB； ABx| x是奇数x| x是偶数 （边注：类型：想一想 内
13、容：例1和例2的解法，各自的依据是什么？）1.3.2 并集已知M1，2，3，4 ，N3，4，5，6，这两个集合的所有元素合并在一起，构造出一个新的集合1，2，3，4，5，6（边注：类型：想一想 内容：两个集合的公共元素，在新集合中为什么只出现了一次？）下面，给出这种构造的新集合的定义一般地，给定两个集合A，B，由属于集合A或属于集合B的所有元素构成的集合，叫做A与B的并集，记作AB，读作“A并B”，即 AB或例如，a，c b，c，d a，b，c，d（边注：类型：读一读 内容：并集定义中的“或”有三层含义，一是元素在集合A中但不在集合B中；一是元素在集合B中但不在集合A中；一是元素在集合A中且在
14、集合B中）集合A与B的并集，可用图13中的阴影表示.注意： 在求集合的并集时，同时属于A和B的公共元素，在并集中只列举一次由并集的定义可知，对于任意两个集合A，B，有（1）ABBA；（2）AAA；（3）A A；（4）如果A B，则ABB如图13（3），（4）所示. 例 3 已知集合A1，3，4，B2，4，5，求AB解： AB1，3，42，4，51，2，3，4，5例 4 设集合A x| x3，B x| x5，求AB，AB解： 因为B A，所以ABA； ABB（边注：类型：想一想 内容：例3和例4的解法，各自的依据是什么？）练习1-41. 已知集合A3，4，5，6，7，B5，7，9，求AB ，AB
15、 2. 已知集合Aa，b，c，d，Bb，d，e，f，求AB ，AB3. 设集合A x| x-1，B x| x3，求AB ，AB4. 设集合A x| x2，B x| x6，求AB ，AB5. 已知集合A x| x290，B x| x30 ，求AB，AB6. 已知集合A ，B1，2，求AB ，AB1. 3.3 补集在研究问题时，我们经常需要确定研究对象的范围例如，设U是全班同学的集合， A是班上所有参加某次演出的同学的集合，而B是班上所有没有参加这次演出的同学的集合，那么这三个集合有什么关系呢？容易看出，集合B就是集合U中所有不属于集合A的元素所构成的集合一般地，如果在讨论的问题中，每一个集合都是
16、某一个集合U的子集，那么就称U为这些集合的全集例如，我们在研究数集时，常常把实数集R作为全集如果A是全集U的一个子集，由全集U中所有不属于A的元素构成的集合，叫做A在U中的补集，记作UA，读作“A在U中的补集”如图14中的阴影所示由补集的定义可知，对于给定的全集U以及它的任意一个子集A，有（1）AUAU；（2）AUA ；（3）U（UA）A例 5 设全集U1，2，3，4，5，6，集合A1，3，5，求UA，AUA，AUA解： UA2，4，6，AUA ，AUAU1，2，3，4，5，6例 6 设全集U x| x是实数，Qx| x是有理数，求UQ解： UQx| x是无理数例 7 设全集U R，A x|
17、x5，求UA解： UA x| x5（边注：类型：试一试：你能举出几个补集的例子吗？）练习1-51. 设全集Ux| x是小于9的正整数，集合A1，2，3，B3，4，5，6，求UA，UB2. 设全集UR，A x| x0，求UA3. 设全集U1，2，3，4，5，6，集合A5，2，1，B5，4，3，2，求UA，UB，UAUB，UAUB4. 设全集UZ，集合A x| x2k, k Z ，B x| x2k+1, k Z ，求UA，UB1. 4 充要条件1.子集与推出的关系已知集合Qxx是有理数，Rxx是实数，容易判断Q是 R的子集.如果再考虑它们特征性质之间的关系,也容易判断命题:“如果x是有理数，则x是
18、实数”是正确的.反过来,如果上述命题正确,那么有理数集Q也一定是实数集R的子集.由此可见,我们可通过判断两个集合之间的关系，来判断它们的特征性质之间的关系；反之，我们也可通过判断两个集合特征性质之间的关系，来判断这两个集合之间的关系.一般地，设集合 Axp，Bxq.如果 A B(图15)，则x具有的性质p推出 x具有的性质q，记做p q，读作p 推出q.反之，如果p q，则集合A一定是集合B的子集.如果A B,则p q；如果p q, 则A B即A B 与p q 等价2.充要条件 “p q”通常还可表述为p是q的充分条件；或q是p的必要条件.这就是说“如果p, 则q”是正确的； p q； p是q
19、的充分条件； q是p必要条件. 这四句话的含义是相同的.下面我们举例说明（1）“如果x2，那么x240”是正确的，这个命题还可表述为x2 x240；或 x2 是 x240的充分条件；或 x240是x2的必要条件（2）“如果四边形是矩形，那么四边形的对角线互相平分” 是正确的，这个命题还可表述为 四边形是矩形 四边形的对角线互相平分；或 “四边形是矩形”是“四边形的对角线互相平分”的充分条件；或 “四边形的对角线互相平分”是“四边形是矩形”的必要条件. 如果p是q的充分条件, p又是q的必要条件,则称p是q的充要条件，记做p q读作“p与q等价”或“p与q互为充要条件”例如：如果二次方程ax2b
20、xc0的判别式b24ac0，那么这个二次方程有两个相等的实数根；反之，如果二次方程ax2bxc0有两个相等的实数根，那么0由于这两个命题都是真命题，所以这两个命题合起来可用充分必要条件表述为0是二次方程ax2bxc0有两个相等实数根的充要条件例 判定下列各题中p是q的什么条件,q是p的什么条件?（1）p:x3，q:x5；（2）p:xy，q:x2y2；（3）p:x是矩形，q:x是有一个角为直角的平行四边形.解： （1）因为 x5 x3， 所以q是p的充分条件； p是q的必要条件（2）因为 xy x2y2，所以p是q的充分条件； q是p的必要条件（3） 因为 x是矩形 x是有一个角为直角的平行四边
21、形， “x是矩形”是“x是有一个角为直角的平行四边形”的充要条件练习1-61口答下列各题：（1）x0是x20的什么条件？（2）请你说出“p q”的其它等价说法；（3）回忆你已学过的一些数学定理，并换用充分条件、必要条件或充要条件表述2用充分条件、必要条件或充要条件填空：（1）a0是ab0的 ；（2）x3是x22x30的 ；（3）如果x0且y0（x，y R）是x2y20的 ；（4）x210是x1的 3判定下列各题中p是q的什么条件,q是p的什么条件?（1）p:x是12的约数，q:x是36的约数；（2）p: x2y2，q : xy04已知p:x是自然数，试确定一个命题q，使得p是q的充分条件习题一
22、1.用适当的方法表示下列集合：（1）中国国旗图案颜色的全体所构成的集合；（2）地球上最高的山峰所构成的集合；（3）大于1且小于100的整数的全体所构成的集合；（4）能被4整除的所有的自然数所构成的集合；（5）相反数等于本身的实数的全体所构成的集合；（6）绝对值等于2的实数的全体所构成的集合；（7）在直角坐标平面上，直线yx上所有的点所构成的集合；（8）9的平方根的全体所构成的集合2.判断下列关系是否正确：（1）2 x| x10 ； （2）2 x| x10 ；（3）2 x| x10 ； （4） x| x10 ；（5） x| x10 ； （6） x| x10 3.已知集合A1，2，3，4，B3，4，5，6，7，C6，7，8，9，求 （1）AB，BC，AC；（2）AB，BC，AC4.已知集合A x| x是平行四边形，B x| x是矩形，求AB，AB5.已知全集U1，2，3，4，5，6，7，8，A3，4，5，B4，7，8（1）求：UA，U B，UAU B，UAU B；（2）验证：U（AB）UAU B， U（AB）UAU B6.用适当的符号（ ， ，）填空：（1）2_x|x是奇数； （2）a_a；（3）0_ ； （4）Z_ R；（5）a，b，c，d _ b，a，c，d ； （6）2，3_x Z|0x5 7. 用充分条件、必要条件或充要条件填空：（1）x1
