1、几何画板第三章第三章 用变换菜单作图在前两章我们一起学习了用【工具箱】中的工具和【构造】中的作图命令构造一些基本图形，让我们再一次对上海的甘志高（laoshig）老师所作的工作(前两章是甘老师原创)表示感谢！ 在本章我们一起来学习如何用【变换】菜单作图，本章内容是广东的朱宇刚（天涯过客）老师原创，在此我们对朱老师的工作表示感谢！观察下图，不难看出，这个图形都是由一些基本图形经过旋转变换得到的。 求下面图形中阴影部分的面积，会涉及到轴对称变换。 数学中所谓“变换”，是指从一个图形（或表达式）到另一个图形（或表达式）的演变，在几何画板中，研究的是图形的演变。我们能对图形进行平移、旋转、缩放、反射、
2、迭代等变换。几何画板中实现图形的变换，有两种方法，一种是前面学习过的变换工具，另一种方法就是我们现在要学习的下图中的变换菜单。一、学习目标1、会按“固定的角度”并或按“标记的角度”旋转对象;2、会在极坐标系或直角坐标系中平移对象，会按“标记”平移对象；3、会基于标记的中心按“固定比例”或按“标记比例”缩放对象；4、会基于“标记的镜面”（对称轴）作轴对称；5、会用“迭代”或“深度迭代”画图。说明：【变换】菜单中的命令项是否可用，取决于工作区中选中的对象是否符合使用该菜单项的前提条件。另外，对于【旋转】、【缩放】，要基于一个标记中心，对于【反射】，要先【标记镜面】。如果要按可变的量进行变换，还要标
3、记相关的量。不过，在4.0x版中，还有一些比较另类的用法，即使你事先没有标记中心，仍然可以选中对象，在弹出【旋转】或【缩放】对话框后，再在工作区中单击一点，此点可以被标记为中心，这种方法也可以用于改变事先标记好的中心；同样，标记角可以在弹出旋转对话框后通过单击工作区中的一个角度值来实现；标记距离就比较特殊，如果事先没有标记，在弹出平移对话框后也可以单击工作区中的一个或两个距离值来标记；标记比可以在出现“缩放”对话框后能过单击工作区中的一个比值、无单位的参数、两条线段（单击的顺序会影响比值）等方法来立即标记一个比。每个菜单项的详细使用方法见附录，在这里我们将以一些简单的实例来说明各菜单项的使用方
4、法（一）旋转对象例1 画一个正方形运行结果：画一个正方形，拖动任一顶点改变边长或改变位置，都能动态地保持图形是一个正方形。基本思路：本例将学习按固定的角度来旋转对象，1、画一条线段，用来做正方形的一边；2、双击左端点，标记为中心，选中线段和右端点，绕标记的中心旋转900（逆时针方向），得第二条边；3、双击第一条线段的右端点，标记为中心，选择第一条线段和它的左端点，绕标记的中心旋转900（顺时针方向），得第三条边；4、连结出第四条边。操作步骤：1、画线段AB。2、双击点A，点A被标记为中心。3、依次单击点B和线段AB，选择【变换】|【旋转】命令，在弹出的【旋转对话框】中作如图3-1所示的设置。图
5、3-14、双击点B，标记新的中心。5、依次单击点A和线段AB，选择【变换】|【旋转】命令，在弹出的【旋转对话框】中作如图3-2的设置。图3-26、连结上方两个顶点得第四边。拓展应用：1、本例的方法可以用来作任意的正多边形，只要计算出正多边形的内角，旋转时按内角度数进行即可，但这并不是最方便的方法，具体请参阅深度迭代画正多边形。2、并不是每次用正方形都要从头来画，事实上可以把这个画图的过程创建成一个自定义工具，请参考相关的章节。3、画正方形的方法比较多，本例介绍的是较为简便的一种，其余方法请自行尝试。例2 中心对称运行结果：如图3-3所示图3-3拖动点F，使DEF从0到180变化，如图3-4所示
6、。图3-4最后结果，如图3-5所示。图3-5基本思路：本例将在前面学习的基础上，学习【按标记的角】旋转对象，同时能通过改变角的大小来动态演示对象的旋转过程。1、为了方便观察，连结对称中心和各关键点间的虚线段，让研究对象和虚线段绕对称中心旋转1800，形成中心对称，；2、画一个角并标记这个角；3、再次选择原来的对象及虚线段，按标记的角旋转；4、拖动标记的角为0，观察到的图形为中心对称，拖动标记的角从0到180，可以看到旋转180后重合的过程。操作步骤：1、准备工作，完成到如图36所示。图3-62、用选择工具双击点O，标记为中心。3、同时选择点A、B、C，线段AB、AC、BC、OA、OB、OC，绕
7、点O旋转180，如图3-7所示。图3-74、用选择工具确保按顺序点D、E、F选中这三点，并注意不要多选其它对象，选择【变换】|【标记角】命令，可以看到所标记的角闪烁。5、同时选择点A、B、C，线段AB、AC、BC、OA、OB、OC，选择【变换】|【旋转】命令，在弹出的对话框中作如图3-8所示的设置。图3-86、为便于观察，改按角度旋转所得的所有对象为红色，如图3-9所示。图3-97、拖动点F，使线段EF与ED重合，可以看到红色三角形与ABC重合。说明：本例中标记的角度是图形，这种情况要注意选取三个点的顺序，按“边上的点、顶点、边上的点”来选，如果选择时按逆时针方向，标记的是正角；按顺时针方向，
8、标记的是负角，这将影响对象的旋转方向。标记的角也可以是度量角所得的度数（这时只能是正角），还可以是由计算器计算出来的度数（可正可负）。练习：1、用旋转交换的方法画一个正三角形，并与前面用工具画正三角形的方法比较，你觉得哪种方法简便些？（二）平移对象 平移是指：对于两个几何图形，如果在它们的所有点与点之间可以建立起一一对应关系，并且以一个图形上任一点为起点，另一个图形上的对应点为终点作向量，所得的一切向量都彼此相等，那么 其中一个图形到另一个图形的变换叫做平移。平移是一个保距变换，又是一个保角变换。几何画板中，平移可以按三大类九种方法来进行，其中的有些方法事先要标记角、标记距离或标记向量。在极坐
9、标系中最多可以组合出四种方法，如图3-10所示。 图3-10在直角坐标系中可以组合出四种方法，如图3-11所示。图3-11按标记的向量平移有一种方法，如图3-12所示。图3-12例3 画一个半径为cm的圆运行结果：得到一个半径为cm的圆，无论如何移动位置，半径保持不变。基本思路：根据勾股定理，让一个点在直角坐标系中按水平方向、垂直方向都平移1cm，得到的点与原来的点总是相距cm，然后以圆心和圆周上的点画圆即可。操作步骤：1、画一个点A。2、单击点A，选择【变换】|【平移】命令， 在弹出的对话框中作如图3-13的设置，平移后效果如图3-14所示。 图3-13 图3-143、顺次单击点A和点A，选
10、择【构造】|【以圆心和圆周上的点绘圆】命令。4、最后效果如图3-15所示，无论如何移动，圆的半径固定为cm。图3-15例4 全等三角形运行结果：如图3-16所示。图3-16拖动点F在线段DE上移动，可演示两个三角形重合和分开，可用来说明全等形。基本思路：本例学习根据标记的向量平移对象，1、画好一个三角形。2、另画一条线段（为方便观察，画成水平线）。3、在线段上画一点。4、标记线段左端点到线段上一点的向量。5、将三角形按标记的向量平移。操作步骤：1、画ABC。2、画线段DE，在DE上画一点F；3、顺次单击点D和点F，选择【变换】|【标记向量】命令，标记从点D到F的向量。4、选取ABC的三边和三个
11、顶点，选择【变换】|【平移】命令，在弹出的对话框中作如图3-17的设置（如果标记好向量，会自动设置为按标记的向量平移）。图3-175、用文本工具标记新三角形的三个顶点，最后如图13所示。例 平行四边形的画法前面在学习构造菜单时，我们学习过根据平行四边形的定义，用构造平行线的方法来画一个平行四边形，这种画法对于一般情况下是没有问题的，但如果你想用来说明向量加法的平行四边形法则，你会发现当两个向量共线时，无法构造平行线的交点，因而就无法正确表示两个向量的和。本例介绍根据标记的向量平移的方法来画平行四边形，这样的平行四边形可以正确演示向量加法的平行四边形法则。操作步骤：1、新建一个几何画板文件。2、
12、用【直尺工具】画出线段AB和AD，如图3-18所示。图3-183、用【选择箭头工具】按顺序选取点A、B，选择【变换】|【标记向量】命令，标记一个从点A指向点B的向量。4、确保只选中线段AD和点D，选择【变换】|【平移】命令，设置线段AD和点D按向量AB平移，如图3-19所示。图3-195、作出第四条边，改第四顶点标签为C，如图3-20所示。图3-20（三）缩放对象缩放是指对象关于【标记的中心】按【标记的比】进行位似变换。其中标记比的方法有：（1）选中两条线段，选择【变换】|【标记线段比例】命令（此命令会根据选中的对象而改变），标记以第一条线段长为分子，第二条线段长为分母的一个比，这种方法也可以
13、事先不标记，在弹出【缩放对话框】后依次单击两条线段来标记。（2）选中度量得的比或选中一个参数（无单位），选择【变换】|【标记比例系数】命令，可以标记一个比。在弹出【缩放对话框】后单击工作区中的相应数值也可以“现场”标记一个比。（3）选中同一直线上的三点，选择【变换】|【标记比例】命令，可以标记以一、三点距离为分子，一、二点距离为分母的一个比。这种方法控制比最为方便，根据方向的变化，比值可以是正、零、负等。例5 相似三角形运行结果：通过拖动点F，让图形动态发生变化，以下三图是F点所在三个不同位置对相似三角形位置的影响： 基本思路：1、由在同一直线上的三个点标记一个比。2、让三角形以其中一个顶点为
14、中心，按标记的比缩放。3、拖动比值控制点让图形在“A”形和“X”型中转变。操作步骤：1、画ABC。2、画一条直线，隐藏直线上的两个控制点，如图3-21所示。图3-213、在直线上画三个点D、E、F，用【选择箭头工具】依次选取点D、E、F，选择【变换】|【标记比例】命令，标记一个比。4、选取三角形的三边和三个顶点，选择【变换】|【缩放】命令，弹出缩放对话框后如图3-22所示进行设置。单击点A，确保对话框中的旋转中心为A，图3-225、拖动点F在直线上移动，可以看到相似三角形的变化，还可以通过度量相关的值来帮助理解。（四）反射对象反射是指将选中的对象按标记的镜面（即对称轴，可以是直线、射线或线段）
15、构造轴对称关系。但并不是所有的对象都可以反射，例如轨迹就不能反射。反射命令不会弹出对话框，反射前必须标记镜面，否则即使能够进行反射，得到的结果一般不会是你想要的。例6 轴对称运行结果：从左到右演示了拖动三角形顶点改变其位置和形状，可以观察到动态保持的对称关系和相关性质。基本思路：1、画一条直线并标记它为镜面；2、在直线的一旁画一个三角形；3、选取这个三角形的全部，进行反射；4、拖动其中一个三角形的顶点改变它的形状和位置，可以观察到轴对称的相关性质。操作步骤：1、用画直线工具画一条直线。2、选中这条直线，选择【变换】|【标记镜面】命令，标记这条直线为对称轴。3、在直线的一旁画一个ABC，结果如图
16、3-23所示。 图3-23 4、选取ABC的全部，选择【变换】|【反射】命令，并用文本工具标记反射所得的三角形的顶点，得如图3-24所示。图3-24例 用对称变换画一个等腰三角形。本例将介绍用变换的方法来画一个动态的等腰三角形。操作步骤：1、新建一个几何画板文件。2、先用工具完成到如图3-25所示。图3-253、双击线段AD，标记为镜面。4、确保只选取了点B和线段AB，选择【变换】|【反射】，效果得如图3-26所示。图3-265、隐藏点D和线段AD，按Ctrl+H，隐藏这两个对象。6、画出第三条边，并改第三个顶点的标签为C，如图3-27所示。图3-27任意拖动三个顶点之一，可以看到，无论形状如
17、何改变，ABC始终是等腰形。五）迭代与深度迭代问题：我们用旋转变换不难画出正多边形，但边数太多，如要画正十七边型，你不嫌繁的话，得用旋转变换16次，那么有没有简单的方法呢，有，那就是【迭代】。例1、正十七边形的画法操作步骤：1、 1、 画两个点，让B点围绕点A旋转得，连接如图3-28所示。图3-282、选定B点，单击菜单“变换”“迭代”，出现【迭代】对话框，如图3-29所示。图3-293、 3、 单击，工作区中的变化如图3-30所示，注意到“迭代规则数：3”，图形在原有的基础上，增加了3条线段。（想一想，应让计算机重复画几条线段？）图3-304、 4、 重复按小键盘上的“”键，直到迭代规则数变
18、为16（也就是要让计算机重复画16条），注意工作区中图形的变化，如图3-31所示。图3-315、 5、 单击【迭代】按钮，正十七边形构造完毕，如图3-32所示。图3-32迭代变换使用的前提条件：1)选定一个（或几个）自由的点，即平面上任一点，或线（直线、线段、射线、圆、轨迹）上的任一点，如上例的B点。2)由选定的点产生的目标点（不要选定，出现迭代对话框后，再选），如线段的中点，或由选定点经过变换产生的点。迭代的深度（即重复的次数），可用参数控制，即深度迭代，请看例2例2、正n边形的画法运行结果：如图3-33所示，选定参数n，按小键盘上的“”或“”键，可改变n的值，从而改变多边形的边数，即得到正
19、n边形（这在黑板上是画不出的）。图3-33基本思路：1、画两个点，标记其中一个点作为正n 边形的中心。另一个点为最基本的第一顶点；2、“新建参数”n，用3600除以n，得正n边形的圆心角；3、选取圆心角后【标记角度】，让第一顶点绕中心按【标记的角度】旋转,得第二顶点；4、选取参数n、进行第一顶点到第二顶点的【深度迭代】；5、选取参数n，按小键盘上的“+、”键可以改变参数，得到动态的正n边形。操作步骤：一、准备工作（确定旋转角的度数和迭代的深度）1、 1、 按“Alt”键，调出计算器，输入“360”（“”由单位按钮输入），如图3-34所示。图3-342、 2、 单击计算器的【数值】按钮，选择【新
20、建参数】命令，弹出【新建参数对话框】，如图3-35所示。图3-353、 3、 将新建参数的对话框进行如图3-36所示的设置。图3-364、单击新建参数的对话框的【确定按钮】后，单击计算器上的【确定按钮】，再调出计算器，计算n1。画出点A和点B，如图3-37所示。图3-375、让B点绕点A旋转“”，得，连接。如图3-38所示：图3-38二、深度迭代1、同时选取点B、“n15”；2、按住Shift键不放，选择【变换】|【深度迭代】命令，弹出如图3-39所示的迭代对话框；图3-39说明：此步如不按住Shift 键，菜单中的命令项是“迭代”，几何画板中部分菜单项会根据按键、工具按钮的选取状态而改变。本
21、例中为了能动态地构造正n边形，必须用深度迭代。3、单击工作区中的点，使图3-39中“初象”下面框中的问号变成，单对话框中的“迭代”按钮。4、本例至此基本完成，选取工作区中的参数n，用小键盘上的“+、”键可以改变n的大小。说明：参数可以减少到2以下甚至负数，这时已不能构成多边形，在进阶实例中，大家会学习到控制参数大于或等于3的技巧。如图3-40所示，为当n=6时的图形。图3-40【本章小结】通过本章学习，大家可以看到，利用变换菜单作图比前面的运用工具箱和构造菜单有如下一些特点。前面章节的方法中，主要是根据图形本身的定义来作图，作图过程需要用的辅助对象较多，步骤较繁。运用变换菜单作图，大多是根据图形的几何性质来作，这样做的优势在于，作图速度快，可以精确作图。
