1、小学数学典型应用题626 幻方问题 【含义】 把nn个自然数排在正方形的格子中，使各行、各列以及对角线上的各数之和都相等，这样的图叫做幻方。最简单的幻方是三级幻方。【数量关系】 每行、每列、每条对角线上各数的和都相等，这个“和”叫做“幻和”。 三级幻方的幻和45315五级幻方的幻和325565【解题思路和方法】首先要确定每行、每列以及每条对角线上各数的和（即幻和），其次是确定正中间方格的数，然后再确定其它方格中的数。例1 把1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数填入九个方格中，使每行、每列、每条对角线上三个数的和相等。解 幻和的3倍正好等于这九个数的和，所以幻和为（123456789）34
2、5315九个数在这八条线上反复出现构成幻和时，每个数用到的次数不全相同，最中心的那个数要用到四次（即出现在中行、中列、和两条对角线这四条线上），四角的四个数各用到三次，其余的四个数各用到两次。看来，用到四次的“中心数”地位重要，宜优先考虑。设“中心数”为，因为出现在四条线上，而每条线上三个数之和等于15，所以 （123456789）（41）154276951438 即 45360 所以 5 接着用奇偶分析法寻找其余四个偶数的位置，它们 分别在四个角，再确定其余四个奇数的位置，它们分别 在中行、中列，进一步尝试，容易得到正确的结果。例2 把2，3，4，5，6，7，8，9，10这九个数填到九个方格
3、中， 使每行、每列、以及对角线上的各数之和都相等。 解 只有三行，三行用完了所给的9个数，所以每行三数之和为 （2345678910）318 假设符合要求的数都已经填好，那么三行、三列、两条对角线共8行上的三个数之和都等于18，我们看18能写成哪三个数之和： 最大数是10：1810621053 最大数是9： 18972963954 最大数是8： 18873864最大数是7： 18765 刚好写成8个算式。首先确定正中间方格的数。第二横行、第二竖行、两个斜行都用到正中间方格的数，共用了四次。观察上述8个算式，只有6被用了4次，所以正中间方格中应填6。9274685103然后确定四个角的数。四个角
4、的数都用了三次，而上述8个算式中只有9、7、5、3被用了三次，所以9、7、5、3应填在四个角上。但还应兼顾两条对角线上三个数的和都为18。最后确定其它方格中的数。如图。 27 抽屉原则问题【含义】 把3只苹果放进两个抽屉中，会出现哪些结果呢？要么把2只苹果放进一个抽屉，剩下的一个放进另一个抽屉；要么把3只苹果都放进同一个抽屉中。这两种情况可用一句话表示：一定有一个抽屉中放了2只或2只以上的苹果。这就是数学中的抽屉原则问题。【数量关系】 基本的抽屉原则是：如果把n1个物体（也叫元素）放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中放着2个或更多的物体（元素）。抽屉原则可以推广为：如果有m个抽屉，有kmr（0
5、rm）个元素那么至少有一个抽屉中要放（k1）个或更多的元素。通俗地说，如果元素的个数是抽屉个数的k倍多一些，那么至少有一个抽屉要放（k1）个或更多的元素。【解题思路和方法】 （1）改造抽屉，指出元素；（2）把元素放入（或取出）抽屉；（3）说明理由，得出结论。例1 育才小学有367个1999年出生的学生，那么其中至少有几个学生的生日是同一天的？解 由于1999年是润年，全年共有366天，可以看作366个“抽屉”，把367个1999年出生的学生看作367个“元素”。367个“元素”放进366个“抽屉”中，至少有一个“抽屉”中放有2个或更多的“元素”。 这说明至少有2个学生的生日是同一天的。例2 据
6、说人的头发不超过20万跟，如果陕西省有3645万人，根据这些数据，你知道陕西省至少有多少人头发根数一样多吗？ 解 人的头发不超过20万根，可看作20万个“抽屉”，3645万人可看作3645万个“元素”，把3645万个“元素”放到20万个“抽屉”中，得到 3645201825 根据抽屉原则的推广规律，可知k1183 答：陕西省至少有183人的头发根数一样多。例3 一个袋子里有一些球，这些球仅只有颜色不同。其中红球10个，白球9个，黄球8个，蓝球2个。某人闭着眼睛从中取出若干个，试问他至少要取多少个球，才能保证至少有4个球颜色相同？ 解 把四种颜色的球的总数（3332）11 看作11个“抽屉”，那
7、么，至少要取（111）个球才能保证至少有4个球的颜色相同。 答；他至少要取12个球才能保证至少有4个球的颜色相同。 28 公约公倍问题【含义】 需要用公约数、公倍数来解答的应用题叫做公约数、公倍数问题。【数量关系】 绝大多数要用最大公约数、最小公倍数来解答。【解题思路和方法】 先确定题目中要用最大公约数或者最小公倍数，再求出答案。最大公约数和最小公倍数的求法，最常用的是“短除法”。例1 一张硬纸板长60厘米，宽56厘米，现在需要把它剪成若干个大小相同的最大的正方形，不许有剩余。问正方形的边长是多少？ 解 硬纸板的长和宽的最大公约数就是所求的边长。 60和56的最大公约数是4。 答：正方形的边长
8、是4厘米。例2 甲、乙、丙三辆汽车在环形马路上同向行驶，甲车行一周要36分钟，乙车行一周要30分钟，丙车行一周要48分钟，三辆汽车同时从同一个起点出发，问至少要多少时间这三辆汽车才能同时又在起点相遇？ 解 要求多少时间才能在同一起点相遇，这个时间必定同时是36、30、48的倍数。因为问至少要多少时间，所以应是36、30、48的最小公倍数。 36、30、48的最小公倍数是720。 答：至少要720分钟（即12小时）这三辆汽车才能同时又在起点相遇。例3 一个四边形广场，边长分别为60米，72米，96米，84米，现要在四角和四边植树，若四边上每两棵树间距相等，至少要植多少棵树？ 解 相邻两树的间距应
9、是60、72、96、84的公约数，要使植树的棵数尽量少，须使相邻两树的间距尽量大，那么这个相等的间距应是60、72、96、84这几个数的最大公约数12。所以，至少应植树 （60729684）1226（棵） 答：至少要植26棵树。例4 一盒围棋子，4个4个地数多1个，5个5个地数多1个，6个6个地数还多1个。又知棋子总数在150到200之间，求棋子总数。 解 如果从总数中取出1个，余下的总数便是4、5、6的公倍数。因为4、5、6的最小公倍数是60，又知棋子总数在150到200之间，所以这个总数为 6031181（个） 答：棋子的总数是181个。 29 最值问题【含义】 科学的发展观认为，国民经济
10、的发展既要讲求效率，又要节约能源，要少花钱多办事，办好事，以最小的代价取得最大的效益。这类应用题叫做最值问题。【数量关系】 一般是求最大值或最小值。【解题思路和方法】 按照题目的要求，求出最大值或最小值。例1 在火炉上烤饼，饼的两面都要烤，每烤一面需要3分钟，炉上只能同时放两块饼，现在需要烤三块饼，最少需要多少分钟？ 解 先将两块饼同时放上烤，3分钟后都熟了一面，这时将第一块饼取出，放入第三块饼，翻过第二块饼。再过3分钟取出熟了的第二块饼，翻过第三块饼，又放入第一块饼烤另一面，再烤3分钟即可。这样做，用的时间最少，为9分钟。 答：最少需要9分钟。例2 在一条公路上有五个卸煤场，每相邻两个之间的
11、距离都是10千米，已知1号煤场存煤100吨，2号煤场存煤200吨，5号煤场存煤400吨，其余两个煤场是空的。现在要把所有的煤集中到一个煤场里，每吨煤运1千米花费1元，集中到几号煤场花费最少？ 解 我们采用尝试比较的方法来解答。 集中到1号场总费用为 12001014004018000（元） 集中到2号场总费用为 11001014003013000（元） 集中到3号场总费用为 11002012001014001012000（元） 集中到4号场总费用为 11003012002014001011000（元） 集中到5号场总费用为 11004012003010000（元） 经过比较，显然，集中到5号煤
12、场费用最少。 答：集中到5号煤场费用最少。重庆武汉北京800400上海500300例3 北京和上海同时制成计算机若干台，北京可调运外地10台，上海可调运外地4台。现决定给重庆调运8台，给武汉调运6台， 若每台运费如右表，问如何调运才使运费最省？ 解 北京调运到重庆的运费最高，因此，北京 往重庆应尽量少调运。这样，把上海的4台全都调 往重庆，再从北京调往重庆4台，调往武汉6台，运费就会最少，其数额为 5004800440067600（元） 答：上海调往重庆4台，北京调往武汉6台，调往重庆4台，这样运费最少。 30 列方程问题【含义】 把应用题中的未知数用字母代替，根据等量关系列出含有未知数的等式
13、方程，通过解这个方程而得到应用题的答案，这个过程，就叫做列方程解应用题。【数量关系】 方程的等号两边数量相等。【解题思路和方法】 可以概括为“审、设、列、解、验、答”六字法。 （1）审：认真审题，弄清应用题中的已知量和未知量各是什么，问题中的等量关系是什么。 （2）设：把应用题中的未知数设为。 （3）列；根据所设的未知数和题目中的已知条件，按照等量关系列出方程。 （4）解；求出所列方程的解。 （5）验：检验方程的解是否正确，是否符合题意。 （6）答：回答题目所问，也就是写出答问的话。 同学们在列方程解应用题时，一般只写出四项内容，即设未知数、列方程、解方程、答语。设未知数时要在后面写上单位名称
14、，在方程中已知数和未知数都不带单位名称，求出的值也不带单位名称，在答语中要写出单位名称。检验的过程不必写出，但必须检验。例1 甲乙两班共90人，甲班比乙班人数的2倍少30人，求两班各有多少人？ 解 第一种方法：设乙班有人，则甲班有（90）人。 找等量关系：甲班人数乙班人数230人。 列方程： 90230解方程得 40 从而知 9050第二种方法：设乙班有人，则甲班有（230）人。列方程 （230）90解方程得 40 从而得知 23050 答：甲班有50人，乙班有40人。例2 鸡兔35只，共有94只脚，问有多少兔？多少鸡？ 解 第一种方法：设兔为只，则鸡为（35）只，兔的脚数为4个，鸡的脚数为2
15、（35）个。根据等量关系“兔脚数鸡脚数94”可列出方程 42（35）94 解方程得 12 则3523 第二种方法：可按“鸡兔同笼”问题来解答。假设全都是鸡，则有 兔数（实际脚数2鸡兔总数）（42） 所以 兔数（94235）（42）12（只） 鸡数351223（只） 答：鸡是23只，兔是12只。例3 仓库里有化肥940袋，两辆汽车4次可以运完，已知甲汽车每次运125袋，乙汽车每次运多少袋？ 解 第一种方法：求出甲乙两车一次共可运的袋数，再减去甲车一次运的袋数，即是所求。 9404125110（袋） 第二种方法：从总量里减去甲汽车4次运的袋数，即为乙汽车共运的袋数，再除以4，即是所求。 （9401254）4110（袋） 第三种方法：设乙汽车每次运袋，可列出方程 9404125 解方程得 110 第四种方法：设乙汽车每次运袋，依题意得 （125）4940 解方程得 110 答：乙汽车每次运110袋。
