1、高中数学直线的点斜式方程3.2 直线的方程3.2.1 直线的点斜式方程【知识提炼】1.直线的点斜式方程和斜截式方程点斜式斜截式已知点P(x0,y0)和 斜率k斜率k和直线在y轴上的截距_ b条件图示点斜式斜截式方程k(x-x)y=kx+by-y0=形式0适用斜率存在条件2.直线在y轴上的截距定义:直线l与y轴交点(0,b)的 纵坐标b .符号:可正,可负,也可为零.【即时小测】1.思考下列问题:(1)直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢?提示:不能.有斜率的直线才能写成点斜式方程,凡是垂直于x轴的直线,其方程都不能用点斜式表示.(2)直线在y轴上的截距和直线与y轴交点到原点的距离是一
2、回事吗?提示:直线在y轴上的截距是它与y轴交点的纵坐标,截距是一个实数,可正、可负、可为0.当截距非负时,它等于直线与y轴交点到原点的距离;当截距为负时,它等于直线与y轴交点到原点距离的相反数.2.过点M(-3,1),斜率为2的直线的方程是 ( )A.y=2x+7 B.y=2x-7C.y=-2x+7 D.y=-2x-7【解析】选A.由直线的点斜式方程可得:y-1=2(x+3),即y=2x+7.3.直线l的点斜式方程是y-2=-2(x+3),则此直线的斜率等于 ( )A.3 B.-3 C.2 D.-2【解析】选D.由直线的点斜式方程的形式可知该直线的斜率为-2.4.一条直线的方程为y=-2x-3
3、,则该直线在y轴上的截距等于 .【解析】由直线的斜截式方程的形式可知直线y=-2x-3在y轴上的截距等于-3.答案:-35.直线l过点(1,-2),且直线的倾斜角为60,则此直线的斜截式方程为 .【解析】因为该直线的斜率为k=tan60= ,所以直线的点斜式方程为y-(-2)= (x-1),化为斜截式为y= x- -2.答案:y= x- -2【知识探究】知识点1 直线的点斜式方程观察图形,回答下列问题:问题1:上图中直线l的斜率如何用点P与点P0表示?问题2:要得到直线的点斜式方程应具备什么前提条件?【总结提升】1.直线的点斜式方程的前提条件(1)已知一点P0(x0,y0)和斜率k.(2)斜率
4、必须存在.只有这两个条件都具备,才可以写出点斜式方程.2.直线的点斜式方程形式的关注点方程y-y0=k(x-x0)与方程k= 不是等价的,前者是整条直线,后者表示去掉点P0(x0,y0)的一条直线.3.当k取任意实数时,方程y-y0=k(x-x0)表示恒过定点(x0,y0)的无数条直线.知识点2 直线的斜截式方程观察图形,回答下列问题:问题1:根据图中的条件,能否写出该直线的方程?问题2:直线在y轴上的截距有几种情况?【总结提升】点斜式与斜截式的关系(1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊情况,即过定点P(0,b).它们都不能表示斜率不存在的直线.(2)在直线方程的各种形式中,点斜式是最基本的
5、形式,它是推导其它形式的基础.(3)点斜式与斜截式是两种常见的直线方程的形式,点斜式的形式不惟一,而斜截式的形式是惟一的.(4)直线方程的斜截式与一次函数解析式的区别和联系斜截式方程中,k0时,y=kx+b即为一次函数,k=0时,y=b不是一次函数.一次函数y=kx+b(k0)一定可以看成一条直线的斜截式方程.【知识拓展】1.截距的理解(1)直线的斜截式方程是由点斜式推导而来的.直线与y轴的交点(0,b)的纵坐标b称为此直线的纵截距,值得强调的是,截距是坐标,它可能是正数,也可能是负数,还可能是0,不能将其理解为“距离”而恒为非负数.(2)直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a称为此直线的横截距
6、.并不是每条直线都有横截距和纵截距,如直线x=1没有纵截距,直线y=2没有横截距.2.对直线l在y轴上的截距b的两点说明(1)本质:直线l与y轴交点的纵坐标.(2)四种情况:当直线l与y轴正半轴相交时,截距b0;当直线l与y轴负半轴相交时,截距b0;当直线l经过原点时,截距b=0;当直线l与y轴平行时,l在y轴上没有截距.【题型探究】类型一 求直线的点斜式方程【典例】1.(2015杭州高一检测)经过点(-5,2)且平行于y轴的直线方程为 .2.直线y=x+1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90后得直线l,则直线l的点斜式方程为 .3.(2015景德镇高一检测)一直线l1过点A(2,-3),其
7、倾斜角等于直线l2:y= 的倾斜角的2倍,求这条直线l1的点斜式方程.【解题探究】1.典例1中平行于y轴的直线的斜率存在吗?提示:平行于y轴的直线的斜率不存在,则过点(-5,2)且斜率不存在的直线方程为x=-5.2.典例2中逆时针旋转90后得直线l的倾斜角为多少?提示:直线y=x+1的斜率k=1,所以倾斜角为45,逆时针旋转90后直线l的倾斜角为135,所以直线l的斜率为-1.3.典例3中直线l2的倾斜角为多少?直线l1的倾斜角等于多少?提示:由点斜式方程可知直线l2的斜率为 ,所以其倾斜角为30,所以直线l1的倾斜角为60.【解析】1.因为直线平行于y轴,所以直线斜率不存在,所以方程为x=-
8、5.答案:x=-52.直线y=x+1的斜率k=1,所以倾斜角为45.由题意知,直线l的倾斜角为135,所以直线l的斜率k=tan135=-1,又点P(3,4)在直线l上,由点斜式方程知,直线l的方程为y-4=-(x-3).答案:y-4=-(x-3)3.由点斜式方程可知直线l2的斜率为 ,所以其倾斜角为30,所以直线l1的倾斜角为60,其斜率k=tan60= ,由直线方程的点斜式可得,直线l1的方程为y+3= (x-2).【方法技巧】求直线的点斜式方程的方法步骤【拓展延伸】求直线的点斜式方程的注意点(1)前提条件:只有在斜率存在的情况下才可以使用点斜式方程.(2)倾斜角为0,即k=0时,这时直线
9、l与x轴平行或重合,l的方程是y-y0=0.(3)倾斜角为90时,直线无斜率,这时直线l与y轴平行或重合,l的方程是x-x0=0.【补偿训练】(2015福安高一检测)直线l过点P(2,-3)且与过点M(-1,2),N(5,2)的直线垂直,求直线l的方程.【解题指南】先求出过已知两点M,N的直线的斜率,再由已知条件判断直线l的倾斜角,可得所求直线的方程.【解析】直线MN的斜率k= =0,所以该直线平行于x轴.又直线l垂直于直线MN,因此直线l的倾斜角为90,又直线l过点P(2,-3),所以直线l的方程为x-2=0,即x=2.类型二 求直线的斜截式方程【典例】(2015常德高一检测)已知直线l1的
10、方程为y=-2x+3,l2的方程为y=4x-2,直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同,求直线l的方程.【解题探究】由直线l1的方程y=-2x+3,能得出此直线的斜率为多少吗?由l2的方程y=4x-2,可知此直线在y轴上的截距为多少?提示:直线l1的斜率为-2,直线l2在y轴上的截距为-2.【解析】由斜截式方程知直线l1的斜率k1=-2,又因为ll1,所以l的斜率k=k1=-2.由题意知l2在y轴上的截距为-2,所以l在y轴上的截距b=-2,由斜截式可得直线l的方程为y=-2x-2.【延伸探究】1.(变换条件)若将典例中“直线l与l1平行”改为“直线l与l1垂直”,其他条件不变,又如何求解
11、?【解析】由斜截式方程知直线l1的斜率k1=-2,又因为ll1,所以l的斜率k= 由题意知l2在y轴上的截距为-2,所以l在y轴上的截距b=-2,由斜截式可得直线l的方程为y= x-2.2.(变换条件)若将典例中“且与l2在y轴上的截距相同”改为“且与l2在y轴上的截距互为相反数”,又如何求解?【解析】由斜截式方程知直线l1的斜率k1=-2,又因为ll1,所以l的斜率k=k1=-2.由题意知l2在y轴上的截距为-2,所以l在y轴上的截距b=2,由斜截式可得直线l的方程为y=-2x+2.【方法技巧】求直线的斜截式方程的策略(1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式,其适用前提是直线的斜率存在,
12、只要点斜式中的点在y轴上,就可以直接用斜截式表示.(2)直线的斜截式方程y=kx+b中只有两个参数,因此要确定直线方程,只需知道参数k,b的值即可.(3)利用直线的斜截式求方程务必灵活,如果已知斜率k,只需引入参数b;同理如果已知截距b,只需引入参数k.【补偿训练】(2015潍坊高一检测)直线l与直线l1:y=3x+6在y轴上有相同的截距,且l的斜率与l1的斜率互为相反数,求直线l的方程.【解题指南】确定l1的斜率和它在y轴上的截距,再求出l的斜率和它在y轴上的截距,由斜截式写方程.【解析】由直线l1的方程可知它的斜率为3,它在y轴上的截距为6,所以直线l的斜率为-3,在y轴上的截距为6.由斜
13、截式可得直线l的方程为y=-3x+6.【延伸探究】1.(变换条件)若将本题中的“直线l与直线l1:y=3x+6在y轴上有相同的截距”,改为“截距互为倒数”,其他条件不变,又如何求直线l的方程?【解析】由直线l1的方程可知它的斜率为3,它在y轴上的截距为6,所以直线l的斜率为-3,在y轴上的截距为 .由斜截式可得直线l的方程为y=-3x+ .2.(变换条件)若将本题中“l的斜率与l1的斜率互为相反数”改为“直线l与l1垂直”,其他条件不变,又如何求解?【解析】由直线l1的方程可知它的斜率为3,它在y轴上的截距为6,由题意可得直线l的斜率为- ,在y轴上的截距为6.由斜截式可得直线l的方程为y=-
14、 x+6.类型三 两直线平行与垂直的应用【典例】1.(2015鄂州高一检测)若直线l1:y=(2a-1)x+3与直线l2:y=4x-3垂直,则a= .2.若直线l1:y=-x+2a与直线l2:y=(a2-2)x+2平行,则a= .3.(2015安阳高一检测)已知直线l过点A(2,-3),若直线l与直线y=-2x+5平行,求其方程.【解题探究】1.典例1中直线l1与直线l2垂直可得两直线的斜率有怎样的关系?提示:可得两直线的斜率乘积等于-1.2.典例2中由两直线平行可得两直线的斜率有怎样的关系?提示:可得两直线的斜率相等.3.典例3中由直线l与直线y=-2x+5平行,可得到什么结论?提示:可得两
15、直线斜率相等.【解析】1.由题意可知,kl1=2a-1,kl2=4.因为l1l2,所以4(2a-1)=-1,解得a= .故当a= 时,直线l1:y=(2a-1)x+3与直线l2:y=4x-3垂直.答案:2.因为l1l2,所以a2-2=-1,且2a2,解得a=-1;所以a=-1时两直线平行.答案:-13.方法一:因为直线l与y=-2x+5平行.所以kl=-2,由直线方程的点斜式知y+3=-2(x-2),即l:2x+y-1=0.方法二:因为已知直线方程为y=-2x+5.又l与其平行,则可设l为y=-2x+b,因为l过点A,所以有-3=-22+b,则b=1,所以l:y=-2x+1,即2x+y-1=0
16、.【延伸探究】若把典例3中的平行改为垂直,此时直线l的方程又如何?【解析】方法一:因为直线l与y=-2x+5垂直.所以kl= ,由直线方程的点斜式知y+3= (x-2), 即l:x-2y-8=0.方法二:因为已知直线方程为y=-2x+5.又l与其垂直,则可设l为y= x+b,因为l过点A,所以有-3= 2+b,则b=-4,所以l:y= x-4,即x-2y-8=0.【方法技巧】两条直线平行和垂直的判定已知直线l1:y=k1x+b1与直线l2:y=k2x+b2,(1)若l1l2,则k1=k2,此时两直线与y轴的交点不同,即b1b2;反之k1=k2且b1b2时,l1l2.所以有l1l2k1=k2且b
17、1b2.(2)若l1l2,则k1k2=-1;反之k1k2=-1时,l1l2.所以有l1l2k1k2=-1.【变式训练】已知在ABC中,A(0,0),B(3,1),C(1,3).(1)求AB边上的高所在直线的方程.(2)求BC边上的高所在直线的方程.(3)求过A与BC平行的直线方程.【解题指南】先求直线的斜率,再代入点斜式方程求解.【解析】(1)直线AB的斜率k1= AB边上的高所在直线斜率为-3且过点C,所以AB边上的高所在直线方程为y-3=-3(x-1).(2)直线BC的斜率k2= =-1,BC边上的高所在直线的斜率为1且过点A,所以BC边上的高所在直线的点斜式方程为y=x.(3)由(2)知
18、过点A与BC平行的直线的斜率为-1,其点斜式方程为y=-x.易错案例 求直线的斜截式方程【典例】(2015韶关高一检测)已知直线l的斜率为3,且与两坐标轴围成的三角形的面积为6,则直线l的方程为_.【失误案例】【错解分析】分析解题过程,你知道错在哪里吗?提示:错误的根本原因是误认为b是边长或是距离,只能取正值,混淆截距的概念,没有真正理解截距的定义实质.【自我矫正】由题意设直线方程为y=3x+b,令x=0,得y=b;令y=0,得x=由于直线与两坐标轴围成的三角形的面积为6,故解得b2=36,故b=6,所以直线方程为y=3x+6或y=3x-6.答案:y=3x+6或y=3x-6【防范措施】准确理解截距的概念直线在y轴上的截距是直线与y轴的交点的纵坐标,可正,可负,可为零,截距不是距离,若把截距理解为正值,则易漏解.
