1、高中数学圆锥曲线知识点总结与经典例题圆锥曲线解题方法技巧第一、知识储备：1. 直线方程的形式2）与直线相关的重要内容0, ) k y2 y1x2 x1ByC 0 的距离dAx0 By0 CA2 B2k1xk2xb11 夹角为 ， b2则 tank2 k11 k2k1倾斜角与斜率 k tan点 P（x0,y0） 到直线 Ax夹角公式：直线 l1: yl2 : y3）弦长公式直线 ykx b 上两点 A(x1, y1 ), B(x2, y2 )间的距离1AB12y1 y24）两条直线的位置关系l1 : A1x B1y C1 0 l2 : A2 x B2y C2 0两平行线距离公式: y kx b1
2、距离 d |b1 b2|l1 : Ax By C1 0距离 d|C1 C2 |: y kx b21 k2l2 : Ax By C2 0A2 B2椭圆、双曲线、抛物线：椭圆双曲线抛物线l1l2定义1到两定点 F1,F 2 的距离之 和为定值 2a（2a|F 1F2|） 的 点的轨迹 2与定点和直线的距离之 比为定值 e 的点的轨迹 .（0e1）1到两定点 F1,F2 的距离之差的 绝对值为定值 2a（02a1）与定点和直线的距离相等的 点的轨迹 .轨迹条件点集： （M =2a, F MF1+ MF2 1F2 2a.点集M MF=点 M到直 线 l 的距离 .图形方 程标准 方程22x2 y2 1
3、( a b 0) ab22x2 y2 1(a0,b0) aby2 2px参数 方程x acos y bsin（参数 为离心角）x asecy btan（参数 为离心角）2x 2pt (t 为参数 ) y 2pt范围 a x a， b y b|x| a ， y Rx0中心原点 O（ 0， 0）原点 O（ 0， 0）顶点(a,0), ( a,0),(0,b) , (0, b)(a,0), ( a,0)(0,0)对称轴x 轴， y 轴； 长轴长 2a, 短轴长 2bx 轴， y 轴 ; 实轴长 2a, 虚轴长 2b.x轴焦点F1(c,0), F 2(c,0)F1(c,0), F 2( c,0)F(2
4、p,0)准线2 x= a c准线垂直于长轴，且在椭圆外.2ax=c准线垂直于实轴， 且在两顶点的 内侧 .x=- p2 准线与焦点位于顶点两侧， 且到顶点的距离相等 .焦距2c ( c= a2 b2 )222c ( c= a b )离心率e c (0 e 1) ae c (e 1)ae=1焦半径P(x 0， y0) 为圆锥曲线上一点， F1、F2分别为左、右焦点|PF 1|=a+ex 0|PF 2|=a-ex 0P 在右支时： P 在左支时：|PF 1|=a+ex 0 |PF1|=-a-ex 0|PF 2|=-a+ex 0 |PF 2|=a-ex 0|PF|=x 0+ p2备注 1】双曲线：等
5、轴双曲线：双曲线 x2 y2 a2 称为等轴双曲线，其渐近线方程为 y x，离心率 e 2.备注 2】抛物线：到准线的距离为 p.叫做焦半径 ).椭圆典型例题、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。例 1：已知椭圆的焦点是 F1(0，1)、F2(0,1)，P 是椭圆上一点， 并且 PF1PF22F1F2，求椭圆的标准方程。 解： 由 PF1PF22F1F2224，得 2a4.又 c 1，所以 b2 3.所以椭圆的标准方程是 yx 1.432已知椭圆的两个焦点为 F1(1,0)，F2(1,0)，且 2a 10，求椭圆的标准方程 22 解： 由椭圆定义知 c1， b 521 24. 椭圆的标准方程
6、为 x y 1.25 24、未知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。例：1. 椭圆的一个顶点为 A 2，0 ，其长轴长是短轴长的 2 倍，求椭圆的标准方程分析： 题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置解：（ 1）当 A 2，0 为长轴端点时， a 2，b 1，椭圆的标准方程为：22x2 y2 1；412）当 A 2，0 为短轴端点时， b 2， a 4，221；椭圆的标准方程为： x y4 16三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出，求椭圆的标准方程。x 2 y2例求过点 （3,2）且与椭圆 x y 1 有相同焦点的椭圆的标准方程94222 x y 9 解：因为c2945，所以设所求椭圆的标准方程
7、为 a2a251.由点（3,2）在椭圆上知 a2 4 2 x2 y22 1，所以 a215. 所以所求椭圆的标准方程为 1.a 5 15 10四、与直线相结合的问题，求椭圆的标准方程。由e 1，得1 k 1，即 k2 9 4k ，利用条件求 k 满足条件的 k 4 或 k4六、由椭圆内的三角形周长、面积有关的问题例： 1.若 ABC的两个顶点坐标 A(4,0)，B(4,0)，ABC 的周长为 18，求顶点 C的轨迹方程。解：顶点 C 到两个定点 A，B 的距离之和为定值 10，且大于两定点间的距离，因此顶点 C 的轨迹为椭圆，并 且 2a 10，所以 a 5,2c 8，所以 c 4，所以 b2
8、a2c2 9，故顶点 C 的轨x2 y2方程为 x y 1.又 A、B、C 三点构成三角形， 所以 y 0.所以顶点25 9x2 y2 x2 y2为2x5y91(y0)答案： 2x5y91(y0)222已知椭圆的标准方程是 ax22y51(a5)，它的两焦点分别是 F1， 的周长即 a 41，所以 ABF 2的周长为 4a 4 41.因为 F1F28，即即所以 2c8，即 c4，所以 a225 1641，x2 y23设 F1、F2是椭圆 x9 y4 1的两个焦点 ,P是椭圆上的点，且 PF1: PF 22: 1，求 PF 1F 2的面积解析： 由椭圆方程，得 a3，b2，c 5， PF1PF2
9、2a6.又 PF1PF221， PF1 4， PF2 2，由 22 42 (2 5)2可知 PF 1F 2是直角三角形，故 PF1F2的面积为 12PF 1PF 212 2 44.七、直线与椭圆的位置问题x2 2 1 1例 已知椭圆 x y2 1，求过点 P 1，1 且被 P 平分的弦所在的直线方程2 2 2分析一： 已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为2 2 21 2k2 x2 2k22k x1k2 k2320由韦达定理得 x12k2 2k x22212k2 P 是弦中点，x1 x21故得k1211解法二： 设过 P ， 的直线与椭圆交于22A x1，y1 、 B x2， y2 ，则由题
10、意得所以所求直线方程为 2x 4y 3 0 22得 x1 x222 y12y20将、代入得y1y211 ，即直线的斜率为1x1x222所求直线方程为 2x 4y 3 0 双曲线典型例题 、根据方程的特点判断圆锥曲线的类型。c2 a2 b2 16，这些椭圆有共同的焦点（ 4，0），（4， 0）2 2 2c2 a2 b2 16 ，这些双曲线也有共同的焦点（ 4，0），）（4， 0）k 值，画出其图形，体会一3） k 25， k 9， k 25时，所给方程没有轨迹说明： 将具有共同焦点的一系列圆锥曲线，称为同焦点圆锥曲线系，不妨取一些 下几何图形所带给人们的美感、根据已知条件，求双曲线的标准方程。例
11、 2 根据下列条件，求双曲线的标准方程223）与双曲线 x y 1 有相同焦点，且经过点 3 2，216 422解：（ 1）设双曲线方程为 x y 1 mnP、 Q 两点在双曲线上，9m n22所求双曲线方程为 x y 116 9说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的2）焦点在 x 轴上，2y 1 （其中 06x2所求双曲线方程为12巧妙的设法（2）寻找一种简捷的方法，须有牢固的基础和一定的变通能力，这也是在我们教学中应该注重的一个重要 方面三、求与双曲线有关的角度问题。2y 1的右焦点分别为 F1、F2，点 P在双曲线上的左支上且16F1PF2 的大小分析： 一般地，
12、求一个角的大小，通常要解这个角所在的三角形 解： 点 P在双曲线的左支上 PF1 PF2 622 PF1 2 PF2 2 2PF1 PF2 3622 PF1 2 PF2 2 100 F1F2 2 4c2 4 a2 b12 100F1PF2 90说明：（1）巧妙地将双曲线的定义应用于解题当中，使问题得以简单化点P在（ 2）题目的“点 P 在双曲线的左支上” 这个条件非常关键， 应引起我们的重视， 若将这一条件改为 双曲线上”结论如何改变呢？请读者试探索 四、求与双曲线有关的三角形的面积问题。2F1PF2的例 4 已知 F1、 F2是双曲线 y2 1的两个焦点，点 P 在双曲线上且满足 F1PF2
13、 90 ，求4面积分析： 利用双曲线的定义及 F1PF2 中的勾股定理可求 F1PF2的面积2解： P为双曲线 y2 1上的一个点且 F1、 F2为焦点4 PF1 PF2 2a 4, F1F2 2c 2 5 F1PF2 902 2 2在 Rt PF1F2中， PF12 PF22 F1F2 2 202 2 2 PF1 PF2 2 PF1 2 PF2 2 2PF1 PF2 16 20 2PF1 PF2 16 PF1 PF2 21S F1PF2 PF1 PF2 11 2 2说明： 双曲线定义的应用在解题中起了关键性的作用五、根据双曲线的定义求其标准方程。例 5 已知两点 F1 5，0 、 F2 5，
14、0 ，求与它们的距离差的绝对值是 6 的点的轨迹分析： 问题的条件符合双曲线的定义，可利用双曲线定义直接求出动点轨迹解： 根据双曲线定义，可知所求点的轨迹是双曲线 c 5， a 3 b2 c2 a2 52 32 42 1622所求方程 x y 1为动点的轨迹方程，且轨迹是双曲线9 1622例: P是双曲线 x y 1上一点， F1、 F2是双曲线的两个焦点，且 PF1 17，求 PF2 的值64 36 1 2分析： 利用双曲线的定义求解22解：在双曲线 x y 1中， a 8，b 6，故 c 1064 36由 P 是双曲线上一点，得 PF1 PF2 16 PF2 1或 PF2 33 又 PF2
15、 c a 2 ，得 PF2 33说明： 本题容易忽视 PF2 c a 这一条件，而得出错误的结论 PF2 1或 PF2 33六、求与圆有关的双曲线方程。例 6 求下列动圆圆心 M 的轨迹方程：21）与 C：x 2 22 y2 内切，且过点A 2，02）与C1： x2 y1221和 C2：x2y 1 24 都外切3）与C1：x 3 22y29 外切，且与2C 2：x 32y2 1 内切r2 解分析： 这是圆与圆相切的问题，解题时要抓住关键点，即圆心与切点和关键线段，即半径与圆心距离如果 相切的 C1、 C2的半径为 r1、r2且 r1 r2 ，则当它们外切时， O1O2 r1 r2；当它们内切时
16、， O1O2 r1 题中要注意灵活运用双曲线的定义求出轨迹方程解： 设动圆 M 的半径为 r（1） C1与 M 内切，点 A 在 C 外 MC r 2 ， MA r ， MA MC 2 点 M 的轨迹是以 C、 A为焦点的双曲线的左支，且有：22227a ， c2，b2ca22双曲线方程为2x22y21 x 272） M 与 C1、 C2 都外切 MC1 r 1， MC2 r 2 ，MC 2 MC1 1所求的双曲线的方程为：3） M 与 C1外切，且与 C2 内切 MC1 r 3 ， MC2 r 1， MC1 MC2 4a 2，c 3， b2 c2 a2 5所求双曲线方程为：22 xy45说明
17、：（ 1）“定义法”求动点轨迹是解析几何中解决点轨迹问题常用而重要的方法 （2）巧妙地应用“定义法”可使运算量大大减小，提高了解题的速度与质量 （3）通过以上题目的分析，我们体会到了，灵活准确地选择适当的方法解决问题是我们无休止的追求目标抛物线典型例题一、求抛物线的标准方程。 例1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程22（1） x 4y （2） x ay （a 0）分析：（ 1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出 p，再写出焦点坐标和准线方程（2）先把方程化为标准方程形式，再对 a进行讨论，确定是哪一种后，求 p 及焦点坐标与准线方程解：（1） p 2 ，焦点坐标是（ 0， 1），准线
18、方程是： y 1、求直线与抛物线相结合的问题分析：由直线与抛物线相交利用韦达定理列出 k 的方程求解另由于已知与直线斜率及弦中点坐标有关，故 也可利用“作差法”求 ky kx 2 2 2解法一： 设 A（x1, y1）、 B（x2, y2） ，则由： 2 可得： k x （4k 8）x 4 0 y2 8x直线与抛物线相交， k 0且 0 ，则 k 1AB 中点横坐标为： x1 x2 4k 8 2，解得： k 2或 k21 （舍去）k2故所求直线方程为：y 2 x 2 解法二： 设 A(x1, y1)、 B(x2, y2)，则有2 y18x12 y28x2两式作差解： （ y1y2)( y1 y
19、2)8(x1x2)，即 y1x1y28x2y1 y2x1 x2 4 y1y 2 kx12 kx22k(x1x2)4 4k 4 ，k 8 故 k 4k 42或 k 1(舍去）则所求直线方程为：y 2x 2 三、求直线中的参数问题3 5 ，求 k 值9 时，求 P 点坐标 P 点坐标例 3（1）设抛物线 y2 4x被直线 y 2x k 截得的弦长为（ 2）以（ 1）中的弦为底边，以 x 轴上的点 P 为顶点作三角形，当三角形的面积为 分析：（ 1）题可利用弦长公式求 k，（ 2）题可利用面积求高，再用点到直线距离求解：( 1)由 y 4x 得： 4x2 (4k 4) x k2 0 y 2x kAB
20、 3 5, 5(1 2k) 3 5，即 k 4四、与抛物线有关的最值问题例 4 定长为 3的线段 AB的端点 A、B在抛物线 y2 x上移动，求 AB的中点到 y 轴的距离的最小值，并求出此时 AB 中点的坐标解：如图，设F 是y2x 的焦点，A 、 B两点到准线的垂线分别是AC、BD，又M 到准线的垂线为 MN，C、D和 N是垂足，则MN112(AC BD )12(AF设 M 点的横坐标为x，纵坐标为1y， MN x ，则31x24等式成立的条件是5 时，4当xy1y2AB 过点 F P 2 14(y1y2)22 y12 y22y1y22x 2 2 ，y1y22，所以M(45, 22)，此时 M到y轴的距离的最小值为例 已知点 M (3 , 2)， F 为抛物线 y2 2x 的焦点，点P 在该抛物线上移动，当 PM PF取最小值时，点 P 的坐标为分析： 本题若建立目标函数来求题不难解决解： 如图，由定义知 PFPE ，故 PM取等号时，M、所以 P 点坐标为PMPFP、 E三点共线，(2, 2)PF的最小值是困难的，若巧妙地利用抛物线定义，结合图形则问PFPMP 点纵坐标为MEMN1322，代入方程，求出其横坐标为 2，
