1、初中几何辅助线大全最全三角形中作辅助线的常用方法举例一、延长已知边构造三角形：例如：如图 7-1 ：已知 ACBD， AD AC于 A ， BC BD于 B， 求证： AD BC分析：欲证 AD BC，先证分别含有 AD， BC的三角形全等，有几种方案： ADC与 BCD，AOD与 BOC， ABD与 BAC，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。证明：分别延长 DA， CB，它们的延长交于 E 点， E AD AC BC BD （已知） CAE DBE 90 （垂直的定义）在 DBE与 CAE中 A BEE(公共角 )ODBE已证)C
2、AE(CBD已知DAC()图71 DBE CAE （ AAS） ED EC EB EA （全等三角形对应边相等） ED EA EC EB即： AD BC。（当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。）二 、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。三、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。例如：如图 9-1 ：在 Rt ABC中， AB AC， BAC 90， 1 2， CE BD的延长于 E 。求证： BD 2CE分析：要证 BD 2CE，想到要构造线段2CE，同时 CE与ABC的平分线垂直，想到要将其延长。F证明：分别延长 BA， CE交于点 F。A
3、E BE CF （已知）D BEF BEC 90 （垂直的定义）12C在 BEF与 BEC中，B图9111 2(已知 ) BE BE(公共边 )BEFBEC (已证 ) BEF BEC（ ASA） CE=FE=1 CF （全等三角形对应边相等）2 BAC=90 BE CF （已知） BAC CAF90 1 BDA 90 1 BFC 90 BDA BFC在 ABD与 ACF中BAC CAF (已证 )BDA BFC (已证 )AB AC (已知 ) ABD ACF （ AAS） BDCF （全等三角形对应边相等） BD 2CE四、取线段中点构造全等三有形。例如：如图 11-1 ： AB DC，
4、A D 求证： ABC DCB。分析：由 AB DC， A D，想到如取 AD的中点 N，连接 NB， NC，再由 SAS公理有 ABN DCN，故 BN CN， ABN DCN。下面只需证 NBC NCB，再取 BC 的中点 M，连接MN，则由 SSS公理有 NBM NCM，所以 NBC NCB。问题得证。证明：取 AD， BC的中点 N、 M，连接 NB， NM， NC。则 AN=DN， BM=CM，在 ABN和 DCNAN辅助线的作法)ANDDN (中A已知)D(AB已知)DC ( ABN DCN （ SAS）BMC图111 ABN DCNNB NC （全等三角形对应边、角相等）在 NB
5、M与 NCM中NB已证)NC ( BMCM (辅助线的作法 )NM公共边)NM ( NMB NCM ， (SSS) NBC NCB（全等三角形对应角相等）NBC ABN NCB DCN即 ABC DCB 。2巧求三角形中线段的比值例 1. 如图 1，在 ABC 中， BD： DC1： 3， AE： ED2： 3，求AF： FC。解：过点 D 作 DG/AC，交 BF于点 G所以 DG：FCBD：BC因为 BD：DC1：3 所以 BD：BC1：4即 DG： FC1：4，FC 4DG因为 DG：AFDE：AE 又因为 AE： ED2：3所以 DG：AF3：2即 所以 AF：FC ：4DG 1：6例
6、 2. 如图 2，BC CD， AF FC，求 EF： FD解：过点 C 作 CG/DE交 AB于点 G，则有 EF： GCAF：AC因为 AFFC 所以 AF：AC 1： 2即 EF： GC1：2，因为 CG：DEBC：BD 又因为 BCCD所以 BC：BD1：2 CG ：DE1：2 即 DE2GC因为 FDEDEF 所以 EF： FD小结：以上两例中，辅助线都作在了“已知”条件中出现的两条已知线段的交点处， 且所作的辅助线与结论中出现的线段平行。 请再看两例，让我们感受其中的奥妙！例 3. 如图 3，BD： DC 1： 3，AE： EB 2： 3，求 AF： FD。解：过点 B 作 BG/
7、AD，交 CE延长线于点 G。所以 DF：BGCD：CB因为 BD：DC1：3 所以 CD：CB 3： 43即 DF： BG3：4，因为 AF：BGAE：EB 又因为 AE：EB2：3所以 AF：BG2：3 即所以 AF：DF例 4. 如图 4，BD： DC 1： 3，AF FD，求 EF： FC。解：过点 D 作 DG/CE，交 AB于点 G所以 EF：DGAF：AD因为 AFFD所以 AF：AD1：2图 4即 EF： DG1：2因为 DG：CEBD：BC，又因为 BD： CD1：3， 所以 BD： BC1：4即 DG： CE1：4，CE 4DG因为 FCCEEF所以 EF：FC 1： 7练
8、习：1. 如图 5， BDDC， AE： ED 1： 5，求 AF：FB。2. 如图 6， AD：DB 1： 3， AE： EC 3： 1，求 BF： FC。答案： 1、1：10；2. 9：14二 由角平分线想到的辅助线图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。角平分线具有两条性质： a、对称性； b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。从角平分线上一点向两边作垂线；利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。通常情况下， 出现了直角或是垂直等条件时，
9、 一般考虑作垂线； 其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。与角有关的辅助线（一）、截取构全等例1 如图 1-2 ，AB/CD， BE平分 BCD，ACE平分 BCD，点 E 在 AD上，求证：BC=AB+CD。E分析：此题中就涉及到角平分线，可以利用角平分线来构造全等三角形，即利用解平分BF线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段图1-2的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明， 延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。 但无论延长还是截取都要证明线段的相等， 延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截
10、取后剩下的线段与某条线段相等，进而达到所证明的目的。例2 已知：如图 1-3 ，AB=2AC， BAD=CAD，DA=DB，求证 DCAC分析：此题还是利用角平分线来构造全等三角形。 构造的方法还是截取线段相等。其它问题自已证明。 ACE5DBDC图 1-3例3 已知：如图 1-4 ，在 ABC中， C=2 B,AD 平分 BAC，求证： AB-AC=CD分析：此题的条件中还有角的平分线， 在证明A中还要用到构造全等三角形， 此题还是证明线段的和差倍分问题。 用到的是截取法来证明的， 在长的E线段上截取短的线段， 来证明。试试看可否把短的延长来证明呢？CBD图 1-4（二）、角分线上点向角两边
11、作垂线构全等过角平分线上一点向角两边作垂线， 利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。A例1 如图 2-1 ，已知 ABAD, BAC= FAC,CD=BC。求证： ADC+B=180D分析：可由 C 向 BAD的两边作垂线。近而证 ADCFE与 B 之和为平角。BC图 2-1例2 如图 2-2 ，在 ABC中， A=90，AB=AC， ABD= CBD。求证： BC=AB+ADA分析：过 D 作 DEBC于 E，则 AD=DE=CE，则构造出D全等三角形，从而得证。此题是证明线段的和差倍分问题，从中利用了相当于截取的方法。BCE图2-2例3 已知如图 2-3 ， ABC的角平分线
12、BM、CN相交于点 P。求证： BAC的平分线也经过点 P。A分析：连接 AP，证 AP平分 BAC即可，也就是证 P 到 AB、AC的距离相等。NMDFBPC6 图 2-3（三）：作角平分线的垂线构造等腰三角形从角的一边上的一点作角平分线的垂线， 使之与角的两边相交， 则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点， 该角平分线又成为底边上的中线和高， 以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。 （如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交）。例1 已知：如图 3-1 ， BAD=DAC，ABAC,CDAD于 D，H 是1求证： DH= （AB-AC）2分析：延长 CD交
13、 AB于点 E，则可得全等三角形。问题可证。B例2 已知：如图 3-2 ， AB=AC， BAC=90 ，AD为 A BC的平分线， CEBE.求证： BD=2CE。分析：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的B垂线，可延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角形。BC中点。AD CEH图示 3-1 FAEDC图 3-2例 3已知：如图 3-3 在 ABC中， AD、AE分别 BAC的内、外角平分线，过顶点 B 作 BFAD，交 AD的延长线于 F，连结 FC并延长A交 AE于 M。 M求证： AM=ME。 B DC E分析：由 AD、AE 是 BAC内外角平分线，可得 EAFN 图3-
14、3 AF，从而有 BF/AE，所以想到利用比例线段证相等。例4 已知：如图 3-4 ，在 ABC中， AD 平分 BAC， AD=AB，CM AD 交 AD 延长线于 M。求证： AM=1 （AB+AC）2分析：题设中给出了角平分线 AD，自然想到以 AD为轴作对称变换，作 AB1D 关于 AD的对称 AED，然后只需证 DM= EC，另外 21由求证的结果 AM= （AB+AC），即 2AM=AB+AC，也可2AEFDnCBM图 3-47尝试作 ACM关于 CM的对称 FCM，然后只需证 DF=CF即可。三 由线段和差想到的辅助线线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角去
15、。遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法：1、截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；2、补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。对于证明有关线段和差的不等式， 通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法放在一个三角形中证明。注意：利用三角形外角定理证明不等关系时， 通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。例 1如图， AC平分 BAD，CEAB，且 B+D=180，求证： AE=AD+BE。A D例 3 已知：如图，等腰三角形AB
16、C中， AB=AC，ECA=108， BD平分ABC。求证： BC=AB+DC。BADB C例 4 如图，已知 RtABC中， ACB=90， AD是 CAB的平分线， DMAB1 A于 M，且 AM=MB。求证： CD=2 DB。MC D B81如图， ABCD，AE、 DE分别平分 BAD各 ADE，求证： AD=AB+CD。D CEA B2. 如图， ABC中， BAC=90， AB=AC，AE 是过 A 的一条直线，且 B，C在 AE的异侧，BD AE于 D，CEAE于 E。求证： BD=DE+CE9四 由中点想到的辅助线三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。
17、（一）、由中点应想到利用三角形的中位线例 2如图 3，在四边形 ABCD中，AB=CD，E、F 分别是 BC、AD的中点， BA、CD的延长线分别交 EF的延长线 G、 H。求证： BGE= CHE。证明：连结 BD，并取 BD的中点为 M，连结 ME、MF，ME是 BCD的中位线，ME CD， MEF=CHE，MF是 ABD的中位线，MF AB， MFE=BGE，AB=CD， ME=MF， MEF=MFE，从而 BGE=CHE。（二）、由中线应想到延长中线例 3图 4，已知 ABC中，AB=5，AC=3，连 BC上的中线 AD=2，求 BC的长。解：延长 AD到 E，使 DE=AD，则 AE
18、=2AD=22=4。在 ACD和 EBD中， AD=ED， ADC=EDB， CD=BD， ACDEBD， AC=BE，从而 BE=AC=3。在22222ABE中，因 AE+BE=4 +3 =25=AB，故 E=90，10BD= = = ，故 BC=2BD=2 。例 4如图 5，已知 ABC中， AD是 BAC的平分线， AD又是 BC边上的中线。求证： ABC是等腰三角形。证明：延长 AD到 E，使 DE=AD。仿例 3 可证：BEDCAD，故 EB=AC， E=2，又 1=2， 1=E，AB=EB，从而 AB=AC，即 ABC是等腰三角形。（三）、直角三角形斜边中线的性质例 5如图 6，已
19、知梯形 ABCD中，AB/DC，ACBC，ADBD，求证： AC=BD。证明：取 AB的中点 E，连结 DE、CE，则 DE、CE分别为 Rt ABD，Rt ABC斜边 AB上的中线，故 DE=CE= AB，因此 CDE= DCE。AB/DC， CDE= 1， DCE= 2， 1=2，在 ADE和 BCE中，DE=CE， 1= 2， AE=BE， ADEBCE， AD=BC，从而梯形 ABCD是等腰梯形，因此 AC=BD。（四）、角平分线且垂直一线段，应想到等腰三角形的中线例 6如图 7， ABC是等腰直角三角形， BAC=90， BD平分 ABC交 AC 于点 D，CE垂直于 BD，交 BD
20、的延长线于点 E。求证： BD=2CE。证明：延长 BA，CE交于点 F，在 BEF和 BEC中， 1=2，BE=BE， BEF=BEC=90， BEFBEC， EF=EC，从而 CF=2CE。11又 1+F=3+F=90，故 1=3。在 ABD和 ACF中， 1=3，AB=AC， BAD=CAF=90， ABDACF， BD=CF， BD=2CE。注：此例中 BE是等腰 BCF的底边 CF的中线。（五）中线延长口诀：三角形中有中线，延长中线等中线。题目中如果出现了三角形的中线， 常延长加倍此线段 ，再将端点连结， 便可得到全等三角形。1 如图， AB=CD，E 为 BC的中点， BAC=BC
21、A，求证： AD=2AE。AB E C D3 如图， AB=AC，AD=AE，M为 BE中点， BAC=DAE=90。求证： AM DC。ADB M CED DDD5已知：如图 AD为 ABC的中线， AE=EF，求证： BF=ACAEFB D C12五 全等三角形辅助线（一）、倍长中线（线段）造全等1：（“希望杯”试题）已知，如图ABC中， AB=5，AC=3，则中线 AD的取值范围是 _.AB D C2：如图， ABC中， E、F 分别在 AB、AC上， DEDF，D 是中点，试比较 BE+CF与 EF的大小 .AEFB D C3：如图， ABC中， BD=DC=AC，E 是 DC的中点，
22、求证： AD平分 BAE.AB D E C中考应用例题：以 ABC 的两边 AB、AC为腰分别向外作等腰 RtABD 和等腰 RtACE ，BADCAE 90 ,， 、DE的位连接 DE MN分别是 BC DE的中点探究： AM与置关系及数量关系（1）如图 当 ABC 为直角三角形时， AM与 DE的位置关系是，线段 AM与 DE的数量关系是 ；13（2）将图中的等腰 Rt ABD 绕点 A 沿逆时针方向旋转 (0 90) 后，如图所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由（二）、截长补短1. 如图，ABC中， AB=2AC， AD平分BAC，且AD=BD，求证： CDACACBD
23、2：如图， ACBD，EA,EB分别平分 CAB,DBA，CD过点 E，求证 ;AB AC+A DBDEBCABC 内，04003：如图，已知在BAC 60 ， C，P，Q 分别在 BC，CAA上，并且 AP，BQ分别是BAC ，ABC 的角平分线。求证： BQ+AQ=AB+BPBQP14C4：如图，在四边形ABCD中， BC BA,AD CD， BD 平分ABC ，求证：AC 1800ADB C5（三）、借助角平分线造全等1：如图，已知在 ABC中， B=60， ABC的角平分线 AD,CE相交于点 O，求证： OE=ODAEO2：（06 郑州市中考题）如图， ABC中，A BDCD 平分 BAC， DG BC且平分 BC，DE AB于 E，DF AC于 F. （1）说明 BE=CF的理由；（2）如果 AB=a ，AC=b ，求 AE、BE的长 .AEGB CFD153. 如图， OP是 MON的平分线，请你利用该图形画一
