1、微观经济学计算题练习河南洛阳（平顶山）李恒运微观经济学计算题1.某君对消费品x的需求函数为P =100 . Q，分别计算价格P= 60和P= 40时的价格弹性系数。解：由 P =10 Q，得 Q =(100 P)2，这样,-2P100 -P即，当价格为60和40时的点价格弹性系数分别为-3和-4/32.假设某商品的50%为75个消费者购买，他们每个人的需求弹性为-2，另外50%为25 个消费者购买，他们每个人的需求弹性为-3，试问这100个消费者合计的弹性为多少？解：设被这100个消费者购得的该商品总量为 Q其市场价格为P。据题设，其中75人购买了其总量的一半，且他们每人对该商品的需求弹性为
2、-2，这样，他们每人的弹性diEdi 2 二观旦，叫二2 2,i =1,2 ,75dP Qi dP P75且 Qi =Q/2i =1又，另外25人购买了其总量之另一半，且他们每人对该商品的需求弹性为 -3，这样，他们每人的弹性25且 、Qj -Q/2j w由此，这100个消费者合计的弹性为dQ P d( Qi Qj)EddP Q dP75 dQi 25 dQj P =(- -)i4 dP dP Q将式(1)、(3)代入，得75 Qj 25 Qji 4_2 75rnQiEd T (2 =)二(一3 乍)_3 25 PQj-P j4 j Q将式(2)、(4)代入，得2 Q 3 Q PEd -( )
3、P 2 P 2 Q2 3 Q P 5()- 二一2 2 P Q 23.若无差异曲线是一条斜率是-b的直线，价格为Px、Py,收入为M时，最优商品组合是 什么？解：预算方程为：Px x+Py y = M 其斜率为-Px/PyMRS xY=MUMIU=-b由于无差异曲线是直线，这时有角解。当bPx/Py时，角解是预算线与横轴的交点，如图 3 19(a)所示。这时，y = 0由预算方程得，x=M/Px最优商品组合为(M/Px，0)当bvPx/Py时，角解是预算线与纵轴的交点，如图 3-19(b)所示。这时，x = 0由预算方程得，y=M/P最优商品组合为(0，M/Py)当b=Px/Py时，预算线上各
4、点都是最优商品组合点。4.若需求函数为q=a-bp，a、b0,求：当价格为P1时的消费者剩余是多少？ 当价格由P1变到P2时消费者剩余变化了多少？解：(1)由g = a-bP，得反需求函数为pb设价格为pl时，需求量为q1, q1=a-bP1q2 a q 2 2 qi a qc （亠）dq-p2q2 - （- q）dq-pqi 0 bq2 a b 2、0 -P2q2 -（ ap p ）2b 2 设价格为pi时，需求量为qi, qi= a-bpi 消费者剩余变化量bi 2aq -2qb2 2 .aq? -刃2 za b 2、b -P2q2 -（2b -aPi 尹）2 2a 2 b 2 .a b
5、2、ap P2 -（ api pi）2b 2 2b 2b 2 b 2=2 P2 - 2 Pi - ap2 api5.X 公司和Y公司是机床行业的两个竞争者。这两家公司的主要产品的需求曲线分别为：公司 X: Px= i 000-5Qx，公司 Y: Py= i 600-4Qy。这两家公司现在的销售量分别为 100单位X和250单位Y。(1)求X和丫当前的价格弹性。(2)假定丫降价后，使Qy增加到300单位，同时导致X的销售量Qx下降到75单位，试问 X公司产品X的交叉价格弹性是多少？解：(a)由题设，Qx= 100，Qy=25Q 贝UPx = 1 000-5Qx = 1 000-5 X 100=
6、500Py = 1 600-4Qy = 1 600-4 X 250= 600于是x之价格弹性y 之价格弹性dQy Py 1 600 3Edyy dPy Qy 4 250 5(b) 由题设，Q y = 300, Q x= 75这样， p y= 1 600-4Q y=1 600-4 X 300=400Qx= Qx-Qx=75-100=-25Py=Py-Py=400-600=-200于是，X公司产品x对丫公司产品y的交叉价格弹性-25 (6000 400)/2-200 (100 75)/21 1000=一 x 8 175 125 175=5/7即交叉价格弹性为5/76.令消费者的需求曲线为p= a-
7、bp , a、b0,并假定征收lOOt %的销售税，使得他支付 的价格提高到P(1+t)。证明他损失的消费者剩余超过政府征税而提高的收益。解：设价格为p时，消费者的需求量为q1，由p=a-bq1，得q1又设价格为P(1+t)时，消费者的需求量为q2,由P= a-bq2a -(1 t)Pb消费者剩余损失qi q2二 0 (a bq)dq - pqi - 0 (a -bq)dq - P(1 t) q?qi=(a -bq)dq - P(1 t) q2 - pqi q?b 2 ci 八= (aqq?+(i+t) pq? pqi2= (aqi q：) (aq? -gq；) (i t)pq pqi2 2政
8、府征税而提高的收益=(i+t)pq 2-pqi消费者剩余亏损一政府征税而提高的收益b 2 b 2= (aqiVqi)(aq27q2) (i t)pq2b 2-pqi -(i t)pq2 - pqi = (aqi q )2/ b 2、 a(a b) b a - p、2-(aq-q?) ( )2 b 2 b1 2_ aa (i t)p b a -(i t)pb 2 2 22tp t p2b2bb,t, p 0因此，消费者剩余损失总是超过政府征税而提高的收益。7.假定效用函数为U= q05+2M q为消费的商品量，M为收入。求：（i）需求曲线；反 需求曲线；（3）p=0.05 , q= 25时的消费
9、者剩余。解：（i）根据题意可得，商品的边际效用MU =卫=0.5q5-q单位货币的效用为二=2SM若单位商品售价为P,则单位货币的效用就是商品的边际效用除以价格，即 =MU/P于是得，卫二/P，即 2=叱aM cq P2x +4y =24解： 0 时,dK/dL0所以该生产函数的边际技术替代率函数为减函数。所以该生产函数的边际产量函数为减函数。12.y代表乙厂的某公司拟用甲、乙两厂生产同一种产品，如果用 x代表甲厂的产量,2 2产量，其总成本函数为 C= x+3y-xy(a)求该公司在生产总量为30单位时使总成本最低的产量组合。(b)如用拉格朗日函数求解(a)题，请解释入的经济意义。解：(a)
10、这个约束最佳化问题的数学表达如下：minC = x2 + 3y2 - xyS.t.x + y = 30设拉格朗日函数为2X = x + 3y2 - xy +，(x y - 30)分别对x、y及入求偏导，得.X2x _ y = 0_ y _ 2x:x:X= 6y-x，=0 _x_6yy:xx y - 30 = 0由(1)，(2)式得y-2x=x-6y3x = 7yx=7/3y代入(3)式中，7/3y+y=3 。y=9x=7/3y = 21(b) 般说来，任何拉格朗日函数入都表明约束条件增减一个单位时对原始目标函数的边 际影响。如在本题中，入可视为总产量为30个单位时的边际生产成本，它表明如果该公
11、司原 先产量为29单位，而现在增至30单位，则其总成本将增加33。这种边际关系对企业估价放 宽某个约束条件可能得到的效益是十分重要的。13.已知生产函数为 Q= min(3K，4L)(a)作出Q=100时的等产量曲线。(b)推导出边际技术替代率函数。(c)讨论其规模报酬情况。解：(a)生产函数Q= min(3K，4L)表示定比生产函数，它反映了资本和劳动在技术上必须以固定比例投入的情况，本题 Q= 100时等产量曲线为如图所示的直角形式，资本与劳动的必要比例为 K/L=4/3。且 3K=4L=100 即 K=100/3，L=25(b)由3K=4L，推出K =4Id 4dL(3L)3dK MRT
12、S 二dL(c) Q = f(L,K) =mi n(3K,4L) .f ( L, -K min(3 K,4 L)=min (3K,4L)=-min(3K,4L)= Q该生产函数为规模报酬不变14 若很多相同厂商的长期成本函数都是 LTOG-4Q2+8Q如果正常利润是正的，厂商将进入行业；如果正常利润是负的，厂商将退出行业(1)描述行业的长期供给函数。 假设行业的需求函数为 Q= 2000-100P，试求行业均衡价格，均衡产量和厂商的人数。解：已知LTC= &-4Q2+80则LAC= Q-4Q+8,欲求LAC的最小值，只要令dLAC/dQ=0艮卩20-4=0二Q =2这就是说，每个厂商的产量为
13、Q= 2时，长期平均成本最低，其长期平均成本为：LAC=2-4 X 2+8=4。当价格P等于长期平均成本4时，厂商既不进入，也不退出，即整个 行业处于均衡状态。故行业长期供给函数即供给曲线是水平的，行业的长期供给函数为P =4(2)已知行业的需求曲线为 Q= 2 000-100P，而行业的供给函数为P= 4,把P= 4代入Q=2 000-100P 中可得：行业需求量 QD= 2 000-100 X 4= 1 600由于每个厂商长期均衡产量为 2,若厂商有n个，则供给量Qs =2n。行业均衡时，Q= Qs,即卩1 600 = 2n,A n = 800。故整个行业均衡价格为 4,均衡产量为1 60
14、0，厂商有800 家。15.假设利润为总收益减总成本后的差额， 总收益为产量和产品价格的乘积， 某产品总成 本(单位：万元)的变化率即边际成本是产量(单位：百台)的函数C = 4+Q/4，总收益的变化 率即边际收益也是产量的函数 R =9-Q,试求：(a)产量由1万台增加到5万台时总成本与总收入各增加多少？(b)产量为多少时利润极大？(c)已知固定成本FC= 1(万元)，产量为18时总收益为零，贝U总成本和总利润函数如何 ？ 最大利润为多少？解：(a)由边际成本函数C= 4+Q/4积分得2总成本函数c = 40+1/8Q+a(a为常数)当产量由1万台增加到5万台时，总成本增量 C=(4X 5+
15、25/8+a)-(4+1/8+a)=19(万元)由边际收益函数及R= 9-Q积分得总收益函数R=9Q-1/2Q+b(b为常数)当产量从1万台增加到5万台时，总收益增量 R=(45-25/2+b)-(9-1/2+b)=24(万元)=R -C(b) 二y R-C = 9 _Q _4 _Q45 Q 54令 八=0求得Q = 4(万台)当产量为4万台时利润最大(C)固定成本FC=1即在(a)题中求得的总成本函数中常数a=1 总成本函数 -Q2 4Q 18又 t Q=18 时，R= 01 1即 R =9Q Q2 b =9 18 182 b =02 2求得b=0总收益函数R=9Q-1/2Q12 12二=R
16、 C = 9Q Q Q 4Q 1则 2 8一5Q2 5Q _18又由(b)题的结论当产量Q=4万台时利润极大1 1总成本 C Q2 4Q 1 42 4 4 18 8= 19(万元)总收益 R = 9Q - Q =9 4 4 - 32 (万兀)2 2总利润 =R-C =32 -19 =13 (万元)16.完全竞争行业中某厂商的成本函数为 STS6Q+ 30Q+ 40,成本用美元计算，假设产品价格为66美元。(1)求利润极大时的产量及利润总额。(2)由于竞争市场供求发生变化，由此决定的新的价格为 30美元，在新的价格下，厂商是否会发生亏损？如果会，最小的亏损额为多少？(3)该厂商在什么情况下才会退
17、出该行业？解：(1)已知厂商的短期成本函数为 STC= G-6Q2+30Q+40则SMC=dSTC/dQ=3Q2Q+3O,又知 P=66美元。利润极大化的条件为 P=SMC卩66= 302120+30,解方程得：Q=6，Q=2出现两个产量值时，可根据利润极大化的充分条件来判断，即根据 也C 略来判断dQ2 dQ22 2 2哪个产量水平使利润极大,齐W2,当Q 6时，賠=24;当4 2时等=。而PQ-(Qf-6Q2+30Q+40)=66X 6-(6 3-6 X 62+30X 6+ 40) = 176,即利润极大值为 176 美元。(2)由于市场供求发生变化，新的价格为 P= 30美元，厂商是否会
18、发生亏损？仍要根据P=MC所决定的均衡产量计算利润为正还是为负。不论利润极大还是亏损最小，均衡条件都为 P= MC即30=3Q-12Q+30,.Q=4 Q = 0(没有经济意义，舍去)。一般来说，方程只有一个 有经济意义的解时可以不考虑充分条件。 需要验证是否满足充分条件也是可以的。当Q= 4时，=TR-TO PQ-(Cf-6Q2+30Q+40)=30X 4-(43 一 6 42 30 4 40) = 一8，可见，当价格为 30 元时，厂商会发生亏损，最小亏损额为 8美元。(3)厂商退出行业的条件是 PvAVC勺最小值。：TC = Q5 -6Q2+30Q+20 ； VC=Q-6Q2+30Q A
19、VC=VC/Q=Q-6Q+30要求 AVC最低点的值，只要令 dAVC/dQ=0 即 dAVC/d* 2Q-6 = 0，二Q= 3当Q= 3时AVC= 32 -6 3 30 =21，可见，只要价格 P0，即dQ2 dQ2=TR-TO PQ-(d-6Q2+30Q+40)=30X 4-(43 一 6 42 30 4 40) = 8，可见，当价格为 30 元时, 厂商会发生亏损，最小亏损额为 8美元。(3)厂商退出行业的条件是 PvAVC勺最小值。：TC = Q5 -6Q2+30Q+20 t VC=Q-6Q2+30Q AVC=VC/Q=Q-6Q+30要求 AVC最低点的值，只要令 dAVC/dQ=0
20、 即 dAVC/d* 2Q-6 = 0，二Q= 3当Q= 3时AVC= 32 -6 330=21，可见，只要价格 P21，厂商就会停止生产。18.若很多相同厂商的长期成本函数都是 LTC= CI-4Q2+ 8Q,如果正常利润是正的，厂商将进入行业；如果正常利润是负的，厂商将退出行业。(1)描述行业的长期供给函数。(2)假设行业的需求函数为 Q= 2 000 100P,试求行业均衡价格，均衡产量和厂商的人 数。解：已知LTC= Qf-4Q2+80则LAO Q-4Q+8,欲求LAC的最小值，只要令dLAC/dQ=0艮卩20-4 二0二Q二2这就是说，每个厂商的产量为 Q=2时，长期平均成本最低，其长期平均 成本为：LAC=2-4 X 2+8=4当价格P等于长期平均成本4时，厂商既不进入，也不退出， 即整个行业处于均衡状态。故行业长期供给函数即供给曲线是水平的，行业的长期供给函 数为P =4。(2) 已知行业的需求曲线为
