1、数学学科知识第一章 初中数学课程概述第二节 初中数学课程的性质和基本理念义务教育阶段的数学课程是培养公民素质的基础课程，具有基础性、普及性和发展性。数学课程能使学生掌握必备的基础知识和基本技能，培养学生的抽象思维和推理能力，培养学生的创新意识和实践能力，促使学生在情感、态度与价值观等方面的发展。义务教育的数学课程能为学生未来生活、工作和学习奠定重要的基础。第三节 初中数学课程的目标初中数学课程的总体目标通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必须的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，即“四基”体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，利用
2、数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力了解数学的价值，提高数学学习的兴趣，增强学好数学的信心，养成良好的学习习惯，具有初步创新意识和实事求是的科学态度。总目标从知识技能、数学思考、问题解决和情感态度四个方面进行阐述的，总目标的这四个方面，不是相互对立和割裂的，而是一个密切联系、相互交融的有机整体。1、 基础知识：一般是指数学课程中所涉及的基本概念、基本性质、基本法则、基本公式等。比如，说明1/4,0.25,25%的含义。2、 基本技能：包括基本的运算、测量、绘图技能。如20以内加减法和表内乘法，每分钟完成810题。3、 数学基本思想：抽象、推理、建模。比如，最简
3、单的10以内数的认识，其中就蕴含了深刻的抽象的过程和抽象的思想。4、 基本活动经验：学生的数学活动经验是个人经验中的重要组成部分，是学习数学、提高数学素养的重要基础之一。数学基本活动经验的积累要和过程性目标建立联系。第四节 初中数学课程的核心概念一、 数感：主要指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表达具体情境中的数量关系。二、 符号意识：主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到结论具有一般性。建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。三、 空间观念：
4、主要指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形。四、 几何直观：主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。五、 数据分析观念：了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析做出判断，体会数据中蕴涵着信息；了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每次收集
5、到的数据不同，另一方面只要有足够的数据就可能从中得到规律。六、 运算能力：主要指根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。七、 推理能力：推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理，在解决问题的过程中，合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。八、 模型思想：模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学
6、问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思路，提高学习数学的兴趣和应用意识。九、 应用意识和创新知识：为了适应时代发展对人培养的需要，义务教育阶段的数学教育特别注重发展学生的应用意识和创新意识。应用意识一方面指有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中问题；另一方面，认识到现实生活中蕴含着大量与数量和图形有关的问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学的方法来解决。创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中。第二章 初中数学课程的内容标准第四节 综合实践综合实践内容设置的目的（一） 培养学生综
7、合运用相关知识与方法解决问题（二） 培养学生的综合意识、应用意识和创新意识（三） 积累学生的获得经验（四） 提高学生解决实际问题的能力综合实践课程设置的必要性我国学生的实践能力和综合运用能力相对薄弱，为此基础教育课程改革纲要（试行）在规划新的课程体系时，规定“从小学到高中设置综合实践活动并作为必修课程”，强调通过学生实践，增强探究和创新意识，学习科学研究的方法，发展综合运用知识的能力，增进学校与社会的密切联系，培养学生的社会责任感。同时基础教育课程改革纲要（试行）有指出综合实践活动与各学科领域应形成一个有机整体，二者既有其相对独立性，又存在紧密联系，在某些情况下，综合实践活动也可和某些学科教学
8、打通进行，同时，各科学科中应注重培养学生的实际和综合应用能力。综合与实践的教学特点（一） 综合性：对任何主题的探究都必须体现科学、艺术、道德的内在整合（二） 实践性：综合实践活动课程的展开往往以各种活动为载体，强调学生通过活动或亲身体验来进行学习，但不是为了“活动”而活动。（三） 开放性：“综合实践活动”课程往往面向学生整个的生活世界，往往表现为一个没有固定答案的开放性问题，学生只有通过自己的努力去探索、去发现，才能找到可能的答案。（四） 生成性：综合实践活动的展开很少从预定的课程目标入手，它常常围绕某个开放性的主题或问题来开展。（五） 自主性：综合实践活动的实施十分注重从学生现有的兴趣与经验
9、出发，强调学生的自主选择与探究。第二章 初中数学课程的内容标准第二节 图形与几何根据新课标的要求，图形与几何课程领域的学习内容有图形的性质、图形的变化、图形的坐标三个部分组成。图形的性质：点、线、面、相交线与平行线，三角形、四边形、多边形、圆、尺规作图，视图与投影；几何证明的基础图形的变化：图形的轴对称、中心对称，图形的平移、旋转，图形的相似与位似图形与坐标：确定物体位置的要素、表示物体位置的基本方法，直角坐标系，图形变化的坐标第三章 初中数学课程实施建议第二节 教学中应当注意的关系一、“预设”与“生成”的关系教学方案是教师对教学过程的“预设”，教学方案的形成依赖于教师对教材的理解、钻研和再创
10、造。实施教学方案，是把“预设”转化为实际的教学活动。二、面向全体学生与关注学生个体差异的关系教学活动应努力使全体学生达到课程目标的基本要求，同时要关注学生的个体差异，促进每个学生在原有基础上的发展。对于学习有困难的学生，教师要给予及时的关注与帮助，鼓励他们主动参与数学学习活动，并尝试用自己的方式解决问题、发表自己的看法，要及时地肯定他们点滴的进步，耐心引导他们分享产生困难或错误的原因，并鼓励他们自己去改正，从而增强学习数学的兴趣和信心。对于学有余力并对数学有兴趣的学生，教师要为他们提供足够的材料和思维空间，指导他们阅读，发展人们的数学才能。在教学活动中，要鼓励提倡解决问题策略的多样化，尽可能地
11、让所有学生都能主动参与，并引导学生通过与他人的交流，丰富数学活动的经验，提高思维水平。三、合情推理与演绎推理的关系推理贯穿于数学教学的始终，包括合情推理与演绎推理。教师在教学过程中，应该设计适当的学习活动，引导学生观察、尝试、估算、归纳、类比、画图等活动发现一些规律，猜测某些结论，发展合情推理能力；通过实例使学生逐步意识到，结论的正确性需要演绎推理的确认，可以根据学生年龄特征提出不同程度的要求。在第三学段中，应把证明作为探索活动的自然延续和必要发展，使学生知道合情推理与演绎推理是相辅相成的两种推理形式。四、使用现代信息技术与教学手段多样化的关系积极开发和有效利用各种课程资源，合理地应用现代信息
12、技术，注重信息技术与课程内容的整合，能有效地改变教学方式，提高课堂教学的效益。现代信息技术的作用不能完全替代原有的教学手段，其真正价值在于实现原有的教学手段难以达到甚至达不到的效果。教学原则一、抽象与具体相结合原则从具体到抽象符合学生在学习过程中从感知到理解，从表象到概念的认识规律。理性知识的形成必须具有感性知识基础，只有在此基础上，进一步区分这些研究对象所共有的，决定它们本质属性和个别特有的非本质属性，才能在头脑中形成理性知识。例如学习数学概念时，首先通过一定的感性材料得到具体对象的感知和表象，然后抽象概括出对象的本质属性，再用概念去解决具体问题，这个过程体现了有具体到理性的抽象，由理性到对
13、更为广泛的具体的认识。贯彻此原则的方法：要着重培养学生的抽象思维要培养学生的观察能力和提高他们的抽象、概括能力二、严谨性与量力行相结合原则数学的严谨性指对数学结论的叙述必须精确，结论的论证必须严格；量力性针对数学教学的对象而提出，它要求教师充分考虑学生思维发展的水平、理解程度来组织教学，既不过分要求，也不要求过低，使学生能够接受。运用此原则进行教学1. 认真钻研课程标准、教材，明确把握教材的严谨性要求。2. 在具体的概念和定理等内容 教学中，不要一下子和盘托出所要学习的概念和定理等全部内容，要体现出逐层逐部严谨的过程3. 在教学中，要有意识地逐步培养学生言必有据、思考严密、思路清晰的良好思维习
14、惯，这些思维习惯是学生的数学思维严谨性程度高低的主要标志。4. 在平时，要研究学生的年龄特点、个性特点、智力、能力水平方面下工夫总之，教学的严谨性与量力性要很好地相结合，在教学中要注意教学的“分寸”，另外要注意教学的阶段性，做到前后呼应。通过对学生严谨性的培养使学生养成良好的思考习惯。课堂导入技能（一） 直接导入：开门见山紧扣教学目标要求直接给出本节课的教学目的，以引起学生的有意注意，使学生直接进入学习状态。这种导入能使学生迅速定向，对本节课的学习有个基本轮廓，能提高学生自学的效率和质量。（二） 复习导入：主要利用新旧知识的逻辑关系，找出新旧知识联结的交点，由旧知识的复习迁移到新知识的学习上来
15、导入新课。通过这种方式导入新课，可以淡化学生对新知识的陌生感，有效降低学生对新知识的认知难度。（三） 事例导入是选取与新课有关的生活实例，通过对其分析归纳出从特殊到一般、从具体到抽象的规律来导入新课。这种导入强调了实践性，能使学生产生亲切感，同时让学生感觉到现实世界中处处充满数学。（四） 趣味导入：把与课堂内容相关的趣味知识导入新课，避免平铺直叙之弊，可以创设引人入胜的学习情境。（五） 悬念导入：指教师从侧面不断巧设带有启发性的悬念问题，唤起学生的好奇心和求知欲，激起学生解决问题的愿望来导入新课。这种导入类型使学生由“要我学”转化为“我要学”，使学生的思维活动和教师的讲课交融在一起，使师生之间
16、产生共振。但悬念的设置要恰当。（六） 类比导入：当两个对象都有某些相同或类似属性，了解其中一个对象的某些性质时，推测另一个对象也有相同或类似性质的思维方式。采用类比导入简洁明快，同时能高效地调动学生思维的积极性。第四节 课堂结束技能结束技能是教师在一个教学内容或一节课的教学任务结束时，有目的、有计划地通过归纳总结、重复强调、实践等活动使学生对所学的新知识、新技能进行及时地巩固、概括、运用，把新知识、新技能纳入原有的认知结构，使学生形成新的完整的认知结构，并为以后的教学做好过渡的一类教学行为方式。具体方法有：练习法、比较与归纳法、承上启下法、提问与答疑法、发散与拓展法等。试卷一现代数学教学观（一
17、） 数学教学的交往、互动性（二） 数学教学的过程性 让学生经历一个数学化的过程让学生进行动手操作数学活动是学生自己建构数学知识的活动，数学教学是“生成”数学内容的过程让学生在具体活动中体验数学知识技能与思想方法让学生在现实的情境中和已有知识的基础上体验数学知识，获得数学发展。（三） 数学教学中的师生发展 教学促进了学生的发展教学促进了教师本身的专业发展建立求解模型的过程从现实生活或情境中抽象出数学问题 用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题的数量关系和变化规律 求出结果并讨论其意义解答题新课标要求，让学生在实际背景中理解基本的数量关系和变化规律，注重使学生经历从实际问题中建立数学模型、
18、估计、求解、验证解的正确性与合理性的过程。在实际工作中让学生学会从具体问题情境中抽象出数学问题，使用各种数学语言表达问题、建立数学关系、获得合理的解答、理解并掌握相应的数学知识与技能，这些多数老师都注意到了，但要做好还要一定难度。该教师在贯彻新课标这一方面做得较为优秀尤其是以下几个方面：该教师在课堂中设置了几个台阶，符合循序渐进的教学原则例题贴近学生实际，在教学中有采用了更亲近的教学语言，有利于激发学生的探究欲望关注学生的学习状态，随时采取灵活适宜的教学方法，师生互动，生生互动，课堂教学才更加有效学生在学习后，确实感受到“不等式的方法”就像方程的方法一样从字母表示数开始研究解决。这种方法可以帮
19、助我们用数学的方式解决实际问题。数学思想：转化化归思想、类比思想、特殊到一般思想、整体带入思想试卷三创造性思维的五个特点：（一） 新颖、独特具有意义的思维活动（二） 思维加想象是创造性思维的两个重要成分（三） 在创造性思维过程中，常有灵感发生（四） 分析思维和直觉思维的统一（五） 发散思维和辐合思维的统一培养创造性思维：（一） 培养归纳、类比能力，鼓励大胆猜测（二） 一题多解，培养发散思维（三） 鼓励质疑提问，培养思维的批判性（四） 重视直觉思维能力的培养（五） 引入数学开放题（六） 指导学生写数学小论文（七） 对一点耐心和宽容“多样化”解题策略设计的作用：鼓励学生解题多样化，能充分体现以学生
20、发展为本，解题过程不局限，把思考的时间和空间留给学生课堂活动与新教材学习目标（一） 加强过程性，教学过程以学生为主体，注重过程性目标的生成（二） 增强活动性，学生积极参与其中，促进情感性目标的达成（三） 加强层次性，促进知识技能、思想方法的掌握与提高（四） 加强现实性，学生在学习中，发展数学应用意识（五） 突出差异性，让所有学生都得到相应的发展等试卷四数学探究：即数学探究性课题学习，是指学生围绕某个数学问题，自主探究、学习的过程。这个过程包括：观察分析数学事实，提出有意义的数学问题，猜测、探究适当的数学结论或规律、给出解释或证明。组织数学探究学习活动的基本策略：注重数学探究课题的选择、数学探究
21、课题应该多样化、教师要成为学生进行数学探究的组织者、指导者、合作者；恰当评价学生在探究过程中的表现。初中函数的要求：能探索具体问题中的数量关系和变化规律了解常量、变量的意义，了解函数概念和表示方法能结合图像分析，能用适当函数表示刻画某些实际问题中变量之间的关系对具体的一次函数、二次函数、反比例函数体会意义，画出图像，确定解析式、能利用函数解决一些实际问题利用函数思想解决问题时要注意的问题是：（一） 函数知识的横向、纵向联系（二） 把函数、方程、不等式看成一个整体（三） 将函数性质、特征与图像紧密结合（四） 二次函数的综合应用（五） 实际问题通过建立函数模型解决等函数内容学习的主要内容不仅仅是掌
22、握知识本身，还包括认识相关现象、学会应用相关知识解决问题的方法等；函数知识本身的内涵不单纯是定义、公式、定理，还有函数内部不同部分的联系；代数式、方程、不等式与函数相关部分的联系应当与学习这些知识的过程相联系，有助于学生理解它们和函数本身；学生认识函数的主要认知过程要从感性到理性，而不能仅仅是抽象符合的运算等。试卷五教学过程优化的过程（一） 对教学目标的最优化（二） 对教学内容的最优化（三） 教学方法的最优化（四） 习题练习的最优化实施优化的方法（一） 引导学生将知识转化为能力（二） 积极开展数学探究、相互交流、合作学习的教学方式（三） 淡化形式化的教学，注重应用与创新（四） 注重学生个性和人
23、格健全的发展试卷六空间概念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形运动和变化；依据语言的描述画出图形等。（一） 让学生学好有关反映空间观念的课程内容和有关空间形式的数学基础知识；如三角形、平行四边形的概念性质等等；（二） 从学生的认识规律入手，通过实物或模型的观察、解剖、分析、制作等实践活动，形成学生的空间概念。如平行四边形的判定，先做一个模型得到结论再利用定义和已学习过的去证明（三） 培养学生看图能力，教给学生正确的画图规律和方法，是培养学生的观察力和空间想象能力的主要途径之一；如对称图形的画法，全等的画法（四）
24、通过平面图形折叠的教学培养学生的空间想象能力（五） 通过变式教学强化空间观念（六） 通过对多面体和旋转体的侧面展开、组合、切割、运动来提高学生的空间想象力（七） 加强对几何体截面的教学，提高空间想象力案例分析：工程问题（1）“工程问题”虽然在小学就涉及到了，但仍然是七年级学生难以掌握的问题。这个教学片段以“工程问题”中的基本例题为“根基”，教师有目的、有意识地筛选出学生们自己提出的问题进行解决；从“两人合作”到“一人先做再合作”到“先合作再一人单做”再到“报酬的合理分配”。这四个问题，采用“给出情境，让学生参与”的教学方法，对教科书中的例题进行了合理的变形、转化、拓展与综合，深入挖掘其中潜在的
25、数学思想方法，并揭示其丰富内涵。不但有利于学生掌握基础知识、激发学生的学习兴趣、发挥学生的想象力和创造精神，而且对培养学生的应变能力、开括思维，提高学生对数学建模思想的认识等都有益的。这种训练，也符合目前中考命题“源于教科书、高于教科书”的原则，与素质教育要求的“培养学生的创新能力”相吻合。（2）创造性地使用教科书（一）摒弃陈旧的教材使用观（二）紧扣课程标准（三）抓住学生这个主体（四）根据具体教学情境活用课程资源试卷七应用意识：表现在认识到现实生活中蕴含着大量的数学信息，数学在现实世界中有着广泛的应用；面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略；面对新的数学知识时，能主动地寻找其实际背景，并探索其应用价值推理能力：能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出反例；能清晰、有条理地表达自己的思考过程，做到言之有理、落笔有据；在与他人交流过程中，能运用数学语言合乎逻辑地进行讨论与质疑随机事件【重点】随机事件、必然事件、不可能事件的判断，随机事件的特点【难点】区别随机事件、必然事件、不可能事件，对随机事件做出准确的判断反比例函数及其图像【重点】结合图像分析总结出反比例函数的性质【难点】描点画出反比例函数的图像
