1、小学奥数鸡兔同笼鸡兔同笼总述鸡兔同笼是中国古代著名趣题之一。大约在1500年前，孙子算经中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头,从下面数，有94只脚。问笼中各有几只鸡和兔？算这个有个最简单的算法。（总脚数-总头数*鸡的脚数）（兔的脚数-鸡的脚数）=兔的只数（94352）2=12(兔子数) 总头数（35）兔子数（12）=鸡数（23）解释：让兔子和鸡同时抬起两只脚，这样笼子里的脚就减少了头数2只，由于鸡只有2只脚，所以笼子里只剩下兔子的两只脚，再除以2就是兔子数。别说
2、兔子和鸡不听话，现实中也没人鸡兔同笼。假设法假设全是鸡：235=70（只）鸡脚比总脚数少：9470=24 （只）兔：24(4-2)=12 （只）鸡：3512=23（只）假设法（通俗）假设鸡和兔子都抬起一只脚，笼中站立的脚：94-35=59（只）然后再抬起一只脚，这时候鸡两只脚都抬起来就摔倒了，只剩下用两只脚站立的兔子，站立脚：59-35=24（只）兔：242=12（只）鸡：35-12=23（只）方程法一元一次方程解：设兔有x只，则鸡有(35-x）只。4x+2(35-x)=944x+70-2x=942x=94-702x=24x=242x=1235-12=23(只）或 解：设鸡有x只，则兔有（35
3、-x）只。2x+4(35-x)=942x+140-4x=942x=46x=2335-23=12(只）答：兔子有12只，鸡有23只。注：通常设方程时，选择腿的只数多的动物，会在套用到其他类似鸡兔同笼的问题上，好算一些。二元一次方程解：设鸡有x只，兔有y只。x+y=352x+4y=94（x+y=35)2=2x+2y=70(2x+2y=70)-(2x+4y=94)=(2y=24)y=12把y=12代入（x+y=35)x+12=35x=35-12（只）x=23（只）。答：兔子有12只，鸡有23只。抬腿法假如让鸡抬起一只脚，兔子抬起2只脚，还有94除以2=47只脚。笼子里的兔就比鸡的头数多1，这时，脚与
4、头的总数之差47-35=12，就是兔子的只数。列表法腿数鸡（只数）兔（只数）902510922411942312详解中国古代孙子算经共三卷，成书大约在公元5世纪。这本书浅显易懂，有许多有趣的算术题，比如“鸡兔同笼”问题：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？题目中给出了鸡兔共有35只，如果把兔子的两只前脚用绳子捆起来，看作是一只脚，两只后脚也用绳子捆起来，看作是一只脚，那么，兔子就成了2只脚，即把兔子都先当作两只脚的鸡。鸡兔总的脚数是352=70（只），比题中所说的94只要少94-70=24（只）。现在，我们松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数就会增加2只，即70+2=72（只）
5、，再松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数又增加2，2，2，2，一直继续下去，直至增加24，因此兔子数：242=12（只），从而鸡有35-12=23（只）。我们来总结一下这道题的解题思路：如果先假设它们全是鸡，于是根据鸡兔的总数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较，看看差多少，每差2只脚就说明有1只兔，将所差的脚数除以2，就可以算出共有多少只兔。概括起来，解鸡兔同笼题的基本关系式是：兔数=（实际脚数-每只鸡脚数鸡兔总数）（每只兔子脚数-每只鸡脚数）。类似地，也可以假设全是兔子。我们也可以采用列方程的办法：设兔子的数量为x，鸡的数量为y那么：x+y=35那么4x+2y=
6、94 这个算方程解出后得出：兔子有12只，鸡有23只。详细解法一、基本问题鸡兔同笼是一类有名的中国古算题。最早出现在孙子算经中.许多小学算术应用题都可以转化成这类问题，或者用解它的典型解法-假设法来求解。因此很有必要学会它的解法和思路.例1 有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，鸡和兔各有多少只解：我们设想，每只鸡都是金鸡独立,一只脚站着；而每只兔子都用两条后腿，像人一样用两只脚站着。现在，地面上出现脚的总数的一半，也就是2442=122（只）.在122这个数里，鸡的头数算了一次，兔子的头数相当于算了两次。因此从122减去总头数88，剩下的就是兔子头数122-88=34（只），有34
7、只兔子.当然鸡就有54只。答：有兔子34只,鸡54只。上面的计算，可以归结为下面算式：总脚数2-总头数=兔子数. 总头数-兔子数=鸡数上面的解法是孙子算经中记载的。做一次除法和一次减法，马上能求出兔子数，多简单！能够这样算，主要利用了兔和鸡的脚数分别是4和2,4又是2的2倍.可是，当其他问题转化成这类问题时，脚数就不一定是4和2，上面的计算方法就行不通。因此，我们对这类问题给出一种一般解法.还说例1.如果设想88只都是兔子，那么就有488只脚，比244只脚多了884-244=108（只）.每只鸡比兔子少(4-2)只脚，所以共有鸡(884-244)(4-2)= 54（只）.说明我们设想的88只兔
8、子中，有54只不是兔子。而是鸡.因此可以列出公式鸡数=（兔脚数总头数-总脚数）（兔脚数-鸡脚数）.当然，我们也可以设想88只都是鸡,那么共有脚288=176（只），比244只脚少了244-176=68（只）.每只鸡比每只兔子少(4-2)只脚，682=34（只）.说明设想中的鸡,有34只是兔子，也可以列出公式兔数=（总脚数-鸡脚数总头数）（兔脚数-鸡脚数）.上面两个公式不必都用，用其中一个算出兔数或鸡数，再用总头数去减，就知道另一个数。假设全是鸡，或者全是兔，通常用这样的思路求解，有人称为假设法.现在，拿一个具体问题来试试上面的公式。例2 红铅笔每支0.19元，蓝铅笔每支0.11元，两种铅笔共买
9、了16支，花了2.80元。问红，蓝铅笔各买几支？解：以分作为钱的单位.我们设想，一种鸡有11只脚，一种兔子有19只脚，它们共有16个头，280只脚。现在已经把买铅笔问题，转化成鸡兔同笼问题了.利用上面算兔数公式，就有蓝笔数=(1916-280)(19-11)=248=3（支）.红笔数=16-3=13（支）.答：买了13支红铅笔和3支蓝铅笔。对于这类问题的计算，常常可以利用已知脚数的特殊性.例2中的脚数19与11之和是30.我们也可以设想16只中，8只是兔子,8只是鸡,根据这一设想，脚数是8(11+19)=240（支）。比280少40.40(19-11)=5（支）。就知道设想中的8只鸡应少5只，
10、也就是鸡(蓝铅笔）数是3.308比1916或1116要容易计算些。利用已知数的特殊性，靠心算来完成计算.实际上，可以任意设想一个方便的兔数或鸡数。例如，设想16只中，兔数为10,鸡数为6，就有脚数1910+116=256.比280少24.24(19-11)=3,就知道设想6只鸡,要少3只。要使设想的数，能给计算带来方便，常常取决于你的心算本领.下面再举四个稍有难度的例子。例3 一份稿件，甲单独打字需6小时完成.乙单独打字需10小时完成，现在甲单独打若干小时后，因有事由乙接着打完，共用了7小时。甲打字用了多少小时？解：我们把这份稿件平均分成30份(30是6和10的最小公倍数），甲每小时打306=
11、5（份），乙每小时打3010=3（份）.现在把甲打字的时间看成兔头数，乙打字的时间看成鸡头数，总头数是7.兔的脚数是5,鸡的脚数是3，总脚数是30，就把问题转化成鸡兔同笼问题了。根据前面的公式兔数=(30-37)(5-3)=4.5,鸡数=7-4.5=2.5,也就是甲打字用了4.5小时，乙打字用了2.5小时。答：甲打字用了4小时30分.例4 今年是1998年，父母年龄（整数）和是78岁，兄弟的年龄和是17岁。四年后(2002年）父的年龄是弟的年龄的4倍，母的年龄是兄的年龄的3倍.那么当父的年龄是兄的年龄的3倍时，是公元哪一年？解：4年后，两人年龄和都要加8.此时兄弟年龄之和是17+8=25，父母
12、年龄之和是78+8=86.我们可以把兄的年龄看作鸡头数，弟的年龄看作兔头数。25是总头数.86是总脚数.根据公式，兄的年龄是(254-86)(4-3)=14（岁）.1998年，兄年龄是14-4=10（岁）.父年龄是(25-14)4-4=40（岁）.因此，当父的年龄是兄的年龄的3倍时，兄的年龄是(40-10)(3-1)=15（岁）.这是2003年。答：公元2003年时，父年龄是兄年龄的3倍.例5蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。现在这三种小虫共18只，有118条腿和20对翅膀.每种小虫各几只？解：因为蜻蜓和蝉都有6条腿，所以从腿的数目来考虑，可以把小虫分成8条腿与6条腿
13、两种。利用公式就可以算出8条腿的蜘蛛数=(118-618)(8-6)=5（只）.因此就知道6条腿的小虫共18-5=13（只）.也就是蜻蜓和蝉共有13只，它们共有20对翅膀。再利用一次公式蝉数=(132-20)(2-1)=6（只）.因此蜻蜓数是13-6=7（只）.答：有5只蜘蛛，7只蜻蜓，6只蝉。例6 某次数学考试考五道题，全班52人参加，共做对181道题，已知每人至少做对1道题，做对1道的有7人，5道全对的有6人，做对2道和3道的人数一样多，那么做对4道的人数有多少人？解：对2道，3道，4道题的人共有52-7-6=39（人）.他们共做对181-17-56=144（道）.由于对2道和3道题的人数
14、一样多，我们就可以把他们看作是对2.5道题的人（(2+3)2=2.5).这样兔脚数=4，鸡脚数=2.5,总脚数=144，总头数=39.对4道题的有(144-2.539)(4-2.5)=31（人）.答：做对4道题的有31人。以例1为例 有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，鸡和兔各有多少只？以简单的X方程计算的话，我们一般用设大数为X，那么也就是设兔为X，那么鸡的只数就是总数减去鸡的只数，即（88-X）只。解：设兔为X只。则鸡为（88-X）只。4X+2（88-X）=244上列的方程解释为：兔子的脚数加上鸡的脚数，就是共有的脚数。4X就是兔子的脚数，2（88-X）就是鸡的脚数。4X+28
15、8-2X=2442X+176=2442X+176-176=244-1762X=682X2=682X=34即兔子为34只，总数是88只，则鸡：88-34=54只。答：兔子有34只，鸡有54只。习题一1龟鹤共有100个头，350只脚.龟，鹤各多少只 ？2学校有象棋，跳棋共26副，恰好可供120个学生同时进行活动。象棋2人下一副棋，跳棋6人下一副.象棋和跳棋各有几副？3一些2分和5分的硬币，共值2.99元，其中2分硬币个数是5分硬币个数的4倍，问5分硬币有多少个 ？4某人领得工资240元，有2元，5元，10元三种人民币，共50张，其中2元与5元的张数一样多。那么2元，5元，10元各有多少张？5一件工
16、程，甲单独做12天完成，乙单独做18天完成，现在甲做了若干天后，再由乙接着单独做完余下的部分，这样前后共用了16天.甲先做了多少天 ？6摩托车赛全程长281千米，全程被划分成若干个阶段，每一阶段中，有的是由一段上坡路(3千米），一段平路(4千米），一段下坡路(2千米）和一段平路(4千米）组成的；有的是由一段上坡路(3千米），一段下坡路(2千米）和一段平路(4千米）组成的。已知摩托车跑完全程后，共跑了25段上坡路.全程中包含这两种阶段各几段？7用1元钱买4分，8分，1角的邮票共15张，问最多可以买1角的邮票多少张？二、两数之差的问题鸡兔同笼中的总头数是两数之和,如果把条件换成两数之差,又应该怎样
17、去解呢例7 买一些4分和8分的邮票，共花6元8角。已知8分的邮票比4分的邮票多40张，那么两种邮票各买了多少张？解一：如果拿出40张8分的邮票，余下的邮票中8分与4分的张数就一样多.(680-840)(8+4)=30（张），这就知道，余下的邮票中，8分和4分的各有30张。因此8分邮票有40+30=70（张）.答：买了8分的邮票70张，4分的邮票30张。也可以用任意假设一个数的办法.解二：譬如，假设有20张4分，根据条件8分比4分多40张,那么应有60张8分。以分作为计算单位，此时邮票总值是420+860=560.比680少，因此还要增加邮票。为了保持差是40，每增加1张4分，就要增加1张8分，
18、每种要增加的张数是(680-420-860)(4+8)=10（张）.因此4分有20+10=30（张），8分有60+10=70（张）.例8 一项工程，如果全是晴天，15天可以完成。倘若下雨，雨天比晴天多3天，工程要多少天才能完成解：类似于例3，我们设工程的全部工作量是150份，晴天每天完成10份，雨天每天完成8份.用上一例题解一的方法，晴天有(150-83)(10+8)= 7（天）.雨天是7+3=10天，总共7+10=17（天）.答：这项工程17天完成。请注意，如果把雨天比晴天多3天去掉，而换成已知工程是17天完成，由此又回到上一节的问题.差是3，与和是17，知道其一，就能推算出另一个。这说明了
19、例7，例8与上一节基本问题之间的关系.总脚数是两数之和,如果把条件换成两数之差,又应该怎样去解呢例9 鸡与兔共100只，鸡的脚数比兔的脚数少28.问鸡与兔各几只？解一：假如再补上28只鸡脚，也就是再有鸡282=14（只），鸡与兔脚数就相等，兔的脚是鸡的脚42=2（倍），于是鸡的只数是兔的只数的2倍。兔的只数是(100+282)(2+1)=38（只）.鸡是100-38=62（只）.答：鸡62只，兔38只。当然也可以去掉兔284=7（只）.兔的只数是(100-284)(2+1)+7=38（只）.也可以用任意假设一个数的办法。解二：假设有50只鸡，就有兔100-50=50（只）.此时脚数之差是450
20、-250=100,比28多了72.就说明假设的兔数多了（鸡数少了）.为了保持总数是100，一只兔换成一只鸡，少了4只兔脚，多了2只鸡脚，相差为6只（千万注意，不是2).因此要减少的兔数是(100-28)(4+2)=12（只）.兔只数是50-12=38（只）.另外，还存在下面这样的问题：总头数换成两数之差,总脚数也换成两数之差.例10 古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；七言绝句是四句诗，每句都是七个字。有一诗选集，其中五言绝句比七言绝句多13首，总字数却反而少了20个字.问两种诗各多少首？解一：如果去掉13首五言绝句，两种诗首数就相等，此时字数相差1354+20=280（字）.每首字数相
21、差74-54=8（字）.因此，七言绝句有280(28-20)=35（首）.五言绝句有35+13=48（首）.答：五言绝句48首，七言绝句35首。解二：假设五言绝句是23首，那么根据相差13首，七言绝句是10首.字数分别是2023=460（字），2810=280（字），五言绝句的字数，反而多了460-280=180（字）.与题目中少20字相差180+20=200（字）.说明假设诗的首数少了。为了保持相差13首，增加一首五言绝句，也要增一首七言绝句，而字数相差增加8.因此五言绝句的首数要比假设增加2008=25（首）.五言绝句有23+25=48（首）.七言绝句有10+25=35（首）.在写出鸡兔同
22、笼公式的时候，我们假设都是兔，或者都是鸡，对于例7，例9和例10三个问题，当然也可以这样假设。现在来具体做一下，把列出的计算式子与鸡兔同笼公式对照一下，就会发现非常有趣的事.例7，假设都是8分邮票，4分邮票张数是(680-840)(8+4)=30（张）.例9，假设都是兔，鸡的只数是(1004-28)(4+2)=62（只）.10，假设都是五言绝句,七言绝句的首数是(2013+20)(28-20)=35（首）.首先，请读者先弄明白上面三个算式的由来，然后与鸡兔同笼公式比较，这三个算式只是有一处-成了+.其奥妙何在呢当你进入初中，有了负数的概念，并会列二元一次方程组，就会明白，从数学上说，这一讲前两
23、节列举的所有例子都是同一件事。例11 有一辆货车运输2000只玻璃瓶，运费按到达时完好的瓶子数目计算，每只2角，如有破损，破损瓶子不给运费，还要每只赔偿1元.结果得到运费379.6元，问这次搬运中玻璃瓶破损了几只？解：如果没有破损，运费应是400元。但破损一只要减少1+0.2=1.2（元）.因此破损只数是(400-379.6)(1+0.2)=17（只）.答：这次搬运中破损了17只玻璃瓶。请你想一想，这是鸡兔同笼同一类型的问题吗例12 有两次自然测验，第一次24道题，答对1题得5分，答错（包含不答）1题倒扣1分；第二次15道题，答对1题8分，答错或不答1题倒扣2分，小明两次测验共答对30道题，但
24、第一次测验得分比第二次测验得分多10分，问小明两次测验各得多少分？解一：如果小明第一次测验24题全对，得524=120（分）.那么第二次只做对30-24=6（题）得分是86-2(15-6)=30（分）.两次相差120-30=90（分）.比题目中条件相差10分，多了80分。说明假设的第一次答对题数多了，要减少.第一次答对减少一题，少得5+1=6（分），而第二次答对增加一题不但不倒扣2分，还可得8分，因此增加8+2=10分。两者两差数就可减少6+10=16（分）.(90-10)(6+10)=5（题）.因此第一次答对题数要比假设（全对）减少5题，也就是第一次答对19题，第二次答对30-19=11（题
25、）.第一次得分519-1(24- 19)=90.第二次得分811-2(15-11)=80.答：第一次得90分，第二次得80分。解二：答对30题，也就是两次共答错24+15-30=9（题）.第一次答错一题，要从满分中扣去5+1=6（分），第二次答错一题，要从满分中扣去8+2=10（分）.答错题互换一下，两次得分要相差6+10=16（分）.如果答错9题都是第一次，要从满分中扣去69.但两次满分都是120分。比题目中条件第一次得分多10分,要少了69+10.因此，第二次答错题数是(69+10)(6+10)=4（题）第一次答错9-4=5（题）.第一次得分5(24-5)-15=90（分）.第二次得分8(
26、15-4)-24=80（分）.习题二1买语文书30本，数学书24本共花83.4元。每本语文书比每本数学书贵0.44元。每本语文书和数学书的价格各是多少 ？2甲茶叶每千克132元，乙茶叶每千克96元，共买这两种茶叶12千克.甲茶叶所花的钱比乙茶叶所花钱少354元。问每种茶叶各买多少千克？3一辆卡车运矿石，晴天每天可运16次，雨天每天只能运11次.一连运了若干天，有晴天，也有雨天。其中雨天比晴天多3天，但运的次数却比晴天运的次数少27次.问一连运了多少天 ？4某次数学测验共20道题，做对一题得5分，做错一题倒扣1分，不做得0分。小华得了76分.问小华做对了几道题？5甲，乙二人射击，若命中，甲得4分
27、，乙得5分；若不中，甲失2分，乙失3分。每人各射10发，共命中14发.结算分数时，甲比乙多10分。问甲，乙各中几发 ？6甲，乙两地相距12千米.小张从甲地到乙地，在停留半小时后，又从乙地返回甲地，小王从乙地到甲地，在甲地停留40分钟后，又从甲地返回乙地。已知两人同时分别从甲，乙两地出发，经过4小时后，他们在返回的途中相遇.如果小张速度比小王速度每小时多走1.5千米，求两人的速度。？三、从三到二鸡和兔是两种东西，实际上还有三种或者更多种东西的类似问题.在第一节例5和例6就都有三种东西。从这两个例子的解法，也可以看出，要把三种转化成二种来考虑.这一节要通过一些例题，告诉大家两类转化的方法。例13
28、学校组织新年游艺晚会，用于奖品的铅笔，圆珠笔和钢笔共232支，共花了300元.其中铅笔数量是圆珠笔的4倍。已知铅笔每支0.60元，圆珠笔每支2.7元，钢笔每支6.3元。问三种笔各有多少支解：从条件铅笔数量是圆珠笔的4倍,这两种笔可并成一种笔，四支铅笔和一支圆珠笔成一组，这一组的笔，每支价格算作（0.604+2.7)5=1.02（元）.现在转化成价格为1.02和6.3两种笔。用鸡兔同笼公式可算出，钢笔支数是(300-1.02232)(6.3-1.02)=12（支）.铅笔和圆珠笔共232-12=220（支）.其中圆珠笔220(4+1)=44（支）.铅笔220-44=176（支）.答：其中钢笔12支
29、，圆珠笔44支，铅笔176支。例14 商店出售大，中，小气球，大球每个3元，中球每个1.5元，小球每个1元。张老师用120元共买了55个球，其中买中球的钱与买小球的钱恰好一样多.问每种球各买几个解：因为总钱数是整数，大，小球的价钱也都是整数，所以买中球的钱数是整数，而且还是3的整数倍。我们设想买中球，小球钱中各出3元.就可买2个中球，3个小球。因此，可以把这两种球看作一种，每个价钱是(1.52+13)(2+3)=1.2（元）.从公式可算出，大球个数是(120-1.255)(3-1.2)=30（个）.买中，小球钱数各是(120-303)2=15（元）.可买10个中球，15个小球。答：买大球30个
30、，中球10个，小球15个.例13是从两种东西的个数之间倍数关系，例14是从两种东西的总钱数之间相等关系（倍数关系也可用类似方法），把两种东西合井成一种考虑，实质上都是求两种东西的平均价，就把三转化成二了。例15是为例16作准备.例15 某人去时上坡速度为每小时走3千米，回来时下坡速度为每小时走6千米，求他的平均速度是多少解：去和回来走的距离一样多。这是我们考虑问题的前提.平均速度=所行距离所用时间去时走1千米，要用20分钟；回来时走1千米，要用10分钟。来回共走2千米，用了30分钟，即半小时，平均速度是每小时走4千米.千万注意，平均速度不是两个速度的平均值：每小时走(6+3)2=4.5千米。例16 从甲地至乙地全长45千米，有上坡路，平路，下坡路.李强上坡速度是每小时3千米，平路上速度是每小时5千米，下坡速度是每小
