1、初二数学思维训练班级八年级下姓名思维训练一（ 2019、3、8）1已知：如图，在正方形 ABCD 外取一点 E，连接 AE ，BE，DE 过点 A 作 AE 的垂线交DE 于点 P若 AE AP1，PB ，下列结论： APD AEB； 点 B到直线 AE 的距离为 ； EB ED ； S APD+S APB + 其中正确结论的序号是A B C D 2如图，边长为 6的等边三角形 ABC中， E是对称轴 AD 上的一个动点，连接 EC，将线段 EC 绕点 C 逆时针旋转 60得到 FC，连接 DF 则在点 E 运动过程中， DF 的最小值交 AB 的延长线于点 F，连接 AC AG、CG3在 ?
2、ABCD 中， ADC 的平分线交直线 BC 于点 E、1）如图 1，若 ADC 90， G是 EF 的中点，连接 求证： BE BF 请判断 AGC 的形状，并说明理由；将线段 FB 绕点 F 顺时针旋转 60至 FG，连接 AG、CG 那2）如图 2，若 ADC 60，4提出问题：如图，在 ABC 中， A 90，分别以边 AB、AC 向外作正方形 ABDE 和正方形 ACFG 连 接 EG，小亮发现 ABC 与 AEG 面积相等小亮思考：这个问题中，如果 A 90，那么ABC 与AEG 面积是否仍然相等？猜想结论：经过研究， 小亮认为： 上述问题中， 对于任意 ABC，分别以边 AB 、
3、AC 向外作正方形 ABDE 和正方形 ACFG ，连接 EG，那么 ABC 与AEG 面积相等证明猜想：（1）请你帮助小亮画出图形，并完成证明过程已知：以 ABC 的两边 AB、 AC 为边长分别向外作正方形 ABDE 、ACFG ，连接 GE求证： SAEGSABC结论应用： （2）学校教学楼前的一个六边形花圃被分成七个部分，分别种上不同品种的花卉，其中四2 2 2边形 ABCD 、CIHG 、GFED 均为正方形，且面积分别为 9m2、5m2和 4m2求这个六边形 花圃 ABIHFE 的面积5如图，以 ABC 三边为边，分别作三个等边三角形，即 ABD 、 BCE 、 ACF6如图，已知
4、 ?ABCD 中，AE 平分 BAD 交 DC 于 E，DF BC 于 F，交 AE于 G，且 AD DF过点 D 作 DC 的垂线，分别交 AE、AB 于点 M、 N（1）若 M 为 AG 中点，且 DM 2，求 DE 的长；7如图，在 ABC中，点 O是 AC 边上（端点除外） 的一个动点， 过点 O 作直线 MN BC设 MN 交BCA 的平分线于点 E，交 BCA 的外角平分线于点 F，连接 AE、AF那么当点 O 运动到何处时，四边形 AECF 是矩形？并证明你的结论8（ 1）如图 1，已知矩形 ABCD 中，点 E 是 BC 上的一动点，过点 E 作 EFBD 于点 F，EGAC
5、于点 G，CH BD 于点 H，试证明 CH EF+EG；2）若点 E在 BC 的延长线上，如图 2，过点 E 作 EFBD 于点 F，EGAC 的延长线于点 G，CHBD 于点 H，则 EF、EG、CH 三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜 想；3）如图 3，BD 是正方形 ABCD 的对角线， L 在 BD 上，且 BLBC，连接 CL，点 E 是 CL 上任一点， EFBD 于点 F，EG BC于点 G，猜想 EF、EG、BD 之间具有怎样的数 量关系，直接写出你的猜想；4）观察图 1、图 2、图 3 的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有 EF 、 EG、CH 这样的
6、线段的关系，并满足（ 1）或（ 2）的结论，写出相关题设的条件和结论参考答案与试题解析选择题（共 1 小题）ABCD 外取一点 E，连接 AE ，BE， DE过点 A 作 AE 的垂线交PB ，下列结论：；1已知：如图，在正方形DE 于点 P若 AEAP 1，1APD AEB； 点 B到直线 AE 的距离为 EB ED ； S APD+S APB +其中正确结论的序号是（ ）A B D【解答】 解：在正方形 ABCD 中， ABAD ， APAE， BAE+BAP 90， 又 DAP+BAPBAD 90， BAE DAP，在 APD 和 AEB 中， APD AEB（SAS），故 正确； AE
7、AP，APAE， AEP 是等腰直角三角形， AEP APE 45 AEB APD 180 45 135， BEP135 45 90， EBED ，故 正确； AEAP1，PE AE ，在 RtPBE 中，BE 2，SAPD+SAPB SAPE+SBPE， 1 1+ 2，0.5+ ，故 正确；过点 B 作 BFAE 交 AE 的延长线于 F， BEF180 135 45， BEF 是等腰直角三角形， BF 2 ，即点 B 到直线 AE的距离为 ，故 错误，综上所述，正确的结论有 故选： A2如图，边长为 6 的等边三角形 ABC 中，E 是对称轴 AD 上的一个动点，连接 EC，将线 段 EC
8、 绕点 C 逆时针旋转 60得到 FC，连接 DF 则在点 E 运动过程中， DF 的最小值 是 1.5 【解答】 解：如图，取 AC 的中点 G，连接 EG，旋转角为 60， ECD +DCF 60，又 ECD+GCEACB60， DCF GCE，AD 是等边 ABC 的对称轴，CD BC， CDCG，又CE 旋转到 CF，CECF，在 DCF 和 GCE 中， DCF GCE（SAS）， DFEG， 根据垂线段最短， EG AD 时， EG 最短，即 DF 最短， 此时 CAD 60 30， AG AC 63， EG AG 31.5， DF 1.5故答案为： 1.53在? ABCD 中，
9、ADC 的平分线交直线 BC于点 E、交 AB 的延长线于点 F，连接 AC1）如图 1，若 ADC 90， G是 EF 的中点，连接 AG、CG 求证： BE BF2请判断 AGC 的形状，并说明理由；2）如图 2，若 ADC 60，将线段 FB 绕点 F 顺时针旋转 60至 FG，连接 AG、CG那么AGC 又是怎样的形状 （直接写出结论不必证明）ABC90， AB分析】（ 1） 先判定四边形 ABCD 是矩形，再根据矩形的性质可得DC，ADBC，然后根据平行线的性质求出 F FDC ， BEF ADF ，再根据 DF 是ADC 的平分线，利用角平分线的定义得到 ADF FDC ，从而得到
10、 FBEF， 第6 页（共 15页）然后根据等角对等边的性质即可证明； 连接 BG，根据等腰直角三角形的性质可得 F BEF 45，再根据等腰三角形三线合一的性质求出 BGFG， F CBG45，然后利用“边角边”证明 AFG 和 CBG 全等，根据全等三角形对应边相等可得 AGCG，再求出 GAC+ACG 90，然后求出 AGC 90，然后根据等腰直角三角形的定义判断即可；（2）连接 BG，根据旋转的性质可得 BFG 是等边三角形，再根据角平分线的定义以及平 行线的性质求出 AF AD，平行四边形的对角相等求出 ABC ADC60，然后求出 CBG60，从而得到 AFG CBG，然后利用“边
11、角边”证明 AFG 和CBG 全 等，根据全等三角形对应边相等可得 AG CG，全等三角形对应角相等可得 FAGBCG，然后求出 GAC+ACG 120，再求出 AGC60，然后根据等边三角形的 判定方法判定即可【解答】（1）证明： 四边形 ABCD 是平行四边形， ABC 90，四边形 ABCD 是矩形， ABC90， ABDC，ADBC， F FDC ， BEF ADF，DF 是 ADC 的平分线， ADF FDC ， F BEF ， BF BE； AGC 是等腰直角三角形理由如下：连接 BG，由 知， BFBE， FBC 90， F BEF 45， G 是 EF 的中点，BGFG， F
12、CBG 45， FAD90， AFAD ，又 ADBC，AF BC，在 AFG 和 CBG 中， ，AFGCBG（SAS），AGCG， FAG BCG ，又 FAG+ GAC+ACB90， BCG+GAC+ACB 90，即 GAC+ACG 90， AGC 90，AGC 是等腰直角三角形；（2）连接 BG， FB 绕点 F 顺时针旋转 60至 FG，BFG 是等边三角形，FG BG， FBG60， 又四边形 ABCD 是平行四边形， ADC 60， ABC ADC 60 CBG180 FBG ABC1806060 60， AFG CBG，DF 是 ADC 的平分线， ADF FDC ，ABDC，
13、 AFD FDC ， AFD ADF，AFAD，在 AFG和CBG 中， ， AFG CBG(SAS)， AGCG，FAG BCG， 在 ABC 中， GAC+ACGACB+BCG+GAC ACB+BAG+GAC ACB+BAC18060 120， AGC180( GAC+ ACG ) 180 120 60 AGC 是等边三角形4提出问题：如图，在 ABC中， A90，分别以边 AB、 AC向外作正方形 ABDE 和正方形 ACFG， 连接 EG，小亮发现 ABC 与AEG 面积相等 小亮思考： 这个问题中， 如果 A90， 那么 ABC 与AEG 面积是否仍然相等？猜想结论：经过研究， 小亮
14、认为： 上述问题中， 对于任意 ABC，分别以边 AB 、AC 向外作正方形 ABDE 和正方形 ACFG ，连接 EG，那么 ABC 与AEG 面积相等（1）请你帮助小亮画出图形，并完成证明过程已知：以 ABC 的两边 AB、 AC 为边长分别向外作正方形 ABDE 、ACFG ，连接 GE求证： SAEGSABC结论应用：（2）学校教学楼前的一个六边形花圃被分成七个部分，分别种上不同品种的花卉，其中四 边形 ABCD 、CIHG 、GFED 均为正方形，且面积分别为 9m2、5m2和 4m2求这个六边形 花圃 ABIHFE 的面积【解答】（1）证明： 如图（ 1），当 BAC90时， 四边
15、形 ABDE 和四边形 ACFG 是正方形， ABAE，AGAC， BAECAG90， BAC EAG90，在 BAC 和 EAG 中， BAC EAG（SAS）， SAEGSABC 如图（ 2），当 BAC90时， BMCG 的延长线与 M ，ENAG 于 N， AMB ANE 90，四边形 ABDE 和四边形 ACFG 是正方形，ABAE，AGAC，BAECAG GAM90， BAM EAN在 BAM 和 EAN 中， BAM EAN（ AAS），BMENSAEG AG?EN， SABC AC?BM， SAEGSABC2）解：正方形 ABCD 、 CIHG 、 GFED 的面积分别为 9m
16、2、5m2和 4m2，2 2 2 2 2 2DC2 9m2，CG25m2，DG24m22 2 2DC2 CG2+DG2，DCG 是直角三角形， DGC 90SDCG ?DG ?CG 2 m2四边形 ABCD 、CIHG 、GFED 均为正方形，根据上面结论可得：ADE 、 FGH 、 CBI 均与 DCG 的面积相等，六边形 ABIHFE 的面积为 9+5+4+4 （ 18+4 ） m25如图，以 ABC 三边为边，分别作三个等边三角形，即 ABD 、 BCE 、 ACF（1）求证：四边形 ADEF 是平行四边形；（2）当 ABC 满足什么条件时，平行四边形 ADEF 是菱形？请说明理由（3）
17、当 ABC 满足什么条件时，平行四边形 ADEF 是正方形？不必说出理由【分析】（1）根据等边三角形的性质推出 BCE FCA60，求出 BCA FCE ，证 BCA ECF ，推出 ADEF AB，同理得出 DE AF，即可得出答案；（2）根据菱形的判定证出即可；（3）根据正方形的判定证出即可解答】（ 1）证明： BCE、 ACF、 ABD 都是等边三角形，BCEACE ACF ACE， 即 BCA FCE， 在 BCA 和 ECF 中， BCA ECF， ABEF， ABAD， ADEF，同理 DE AF，四边形 ADEF 是平行四边形 （2）解：当 ABAC 且 BAC 60时，四边形
18、ADEF 是菱形， 理由是：由（ 1）知： ADABEF，AC DEAF， ACAB， ADAF， 四边形 ADEF 是平行四边形， AD AF，平行四边形 ADEF 是菱形；（3）解：当 ABAC ， BAC 150时，四边形 ADEF 是正方形， 理由是：四边形 ADEF 是平行四边形， 已证： ADAF，DAF 90， 平行四边形 ADEF 是正方形【点评】 本题考查了对平行四边形、 菱形、正方形的判定的理解和运用，同时也运用了等边 三角形性质和全等三角形的性质和判定，题目较好，有一定的难度6如图，已知 ?ABCD 中，AE 平分 BAD 交 DC 于 E，DF BC 于 F，交 AE于
19、 G，且 AD DF过点 D 作 DC 的垂线，分别交 AE、AB 于点 M、 N（1）若 M 为 AG 中点，且 DM 2，求 DE 的长；（2）求证： ABCF+DM 【解答】 解：（ 1）四边形 ABCD 是平行四边 ADBC，ABCD， BAE DEA ， AE 平分 BAD， DAE DEA ， DEAD，DF BC， DFAD， M 为 AG 中点， AG2DM 4， DNCD， ADM + MDG MDG +EDG， ADM EDG ， DAE + ADM DEA + EDG ， 即 DMG DGM，DGDM2，在 RtADG 中， DE AD ；2）证法一：过点 A 作 AD
20、的垂线交 DN 的延长线于点 H， 在 ADH 和 FDC 中， DAH DFC （ ASA），AHFC，DHDC，DF AD ， AHDF， HAM DGM ， AMH DMG ，DMG DGM ， HAM HMA ，AHMH ，MH CF， ABCDDHMH+DMCF+DM 证法二：延长 MD 到点 P，使 DP CF，连接 PE由（ 1）知 ADDE ， 又 ADDF ，DFDE，DFC EDP90RtDCFRtEPD，DCEP， CDF PEDPEDF， PEA DGA，由（ 1）得 DGA DME ， PEA DME PM PE，而 PM DM+DPDM+CF，PECDAB，ABDM
21、 +FC证法三：过点 A 作 AHCB 于点 H， 易证 ABH DCF ，从而证得四边形 AHFD 为正方形 把ADG 绕点 A顺时针旋转 90，得 AHP ， AHP AHB90P、H、B 三点共线AE 平分 BAD， 1 2，而 2 HAP， HAB+1 HAB+ HAP ，即 HAG PAB AH DF ， HAG DGA 而 DGA APB PAB APBABPBPBPH+HBDG+FC ABDM +FC证法四：在 DC 上截取 DP DM ，连接 PF，四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD BAE DEA ，而 BAE DAE， DAE DEA? DADE，又 ADF MDE
22、90， ADM EDG， ADM EDG ， DMDG，DGDP，又 AD DF ， DF DE，而 PDF FDP， PDF GDE ， DPF DGE ， DFP DEG，第 13 页（共 15 页） CPF DGM ， DFP + CFP DEG + DMG 90， CFP DMG ，而 DMGDGM， CFP CPF? CFCP， 而 CDDP+CPDM +CF，ABCD， ABDM +CF8如图，在 ABC中，点 O是 AC 边上（端点除外） 的一个动点， 过点 O 作直线 MN BC设 MN 交BCA 的平分线于点 E，交 BCA 的外角平分线于点 F，连接 AE、AF那么当点 O
23、 运动到何处时，四边形 AECF 是矩形？并证明你的结论【解答】 解：当点 O 运动到 AC的中点（或 OAOC）时，四边形 AECF 是矩形证明： CE 平分 BCA， 1 2，又 MN BC， 1 3， 3 2， EOCO，同理， FOCO， EOFO ，又 OAOC，四边形 AECF 是平行四边形， CF 是BCA 的外角平分线， 4 5，又 1 2， 1+5 2+ 4， 又 1+5+2+4 180， 2+490， 平行四边形 AECF 是矩形9（ 1）如图 1，已知矩形 ABCD 中，点 E 是 BC 上的一动点，过点 E 作 EFBD 于点 F，EGAC 于点 G，CH BD 于点
24、H ，试证明 CHEF+EG；2）若点 E在 BC 的延长线上，如图 2，过点 E 作 EFBD 于点 F，EGAC 的延长线于点 G，CHBD 于点 H，则 EF、EG、CH 三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜 想；3）如图 3，BD 是正方形 ABCD 的对角线， L 在 BD 上，且 BLBC，连接 CL，点 E 是 CL 上任一点， EFBD 于点 F，EG BC于点 G，猜想 EF、EG、BD 之间具有怎样的数 量关系，直接写出你的猜想；（4）观察图 1、图 2、图 3 的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有 EF 、EG、CH 这样的线段的关系，并满足（ 1）或
25、（ 2）的结论，写出相关题设的条件和结论 【解答】（1）证明：过 E 点作 ENCH 于 NEFBD， CHBD，四边形 EFHN 是矩形 EFNH，FHEN DBC NEC四边形 ABCD 是矩形， AC BD，且互相平分 DBC ACB NEC ACB EGAC，ENCH， EGC CNE90， 又 ECCE， EGC CNEEGCNCHCN+NHEG+EF；（2）解：猜想 CH EFEG ；（3）解： EF +EG BD；（4）解：点 P 是等腰三角形底边所在直线上的任意一点，点 P 到两腰的距离的和（或差）等于这个等腰三角形腰上的高如图 ，有 CGPF PN点评】 此题主要考查矩形的性质和判定， 解答此题的关键是作出辅助线， 构造矩形和三角 形全等来进行证明
