1、圆锥曲线秒杀法圆锥曲线秒杀法吴磊研究高考作文之余，本人也研究高考数学的秒杀方法，主要包括 隐函数求导、柯西不等式、仿射、参数方程、极点极线、圆锥曲线部分小题用到的方法1、椭圆C: x2 /8+y2 /2=1与斜率K=1/2的直线I相切，则切点坐 标为 注：传统方法我就不讲了，讲两种秒杀法 法一、隐函数求导直接对C: x2 /8+y2 /2=1求关于X导数可得x/4+y y=0，带入K=1/2，x=-2y,带入椭圆方程，很容易解出切点为 (-2,1)和(2,-1)；法二、缩放坐标将椭圆缩放成圆利用圆的性质快速解题，将X轴压缩为原来的1/2，即x=2x(这里不是导数，只表示-个未知数);斜率K=2
2、K=1，椭圆化为圆 C: X 2 + y 2 =2;很容易求得r与C相切 于(-1,1)和(1,-1)，还原，可知I与C相切于(-2,1)和(2,-1)2、椭圆C: x2 /4+y2 /3=1上的点到直线L:x-2y-1=0距离的取值范 围为: 法一、直接用柯西不等式l= x-2y+b=0; 构造柯西不等式可知 (x2 /4+ y2 /3) ( 4+12)(x- 2y) 2 ;-4 b 4;把4和-4代入I;再利用平行线距离公式求I和 l距离，最大距离为J5所以0W d (x-my) 2可得，m2 12,注意是反设斜率，故 k= 1/m;很容易解出k的范围 为-V3/6 kV3/6法二、缩放坐
3、标I:my=x-4 , x=2x C:x 2 + y 2=1; I:m y=2 x-4,用点到直线距离公式，d=4/ V (4+ m 2 ) 12,注意是反设斜率，故k= 1/m;很容易解出k的范围为-V3/6 k* （T 宀）-宀4这 此 我们右五讲述利I .休列住换埒鮒刿变検为乩卩用川側的“忙儿何件应解决问题 的方心对桶冏的杯准力丹4 +二二I.我YJ需列IJ轴进行仲编变换L b = 1.br L r=-v a* 0),点尸的坐杯为卜u,b).(I) antfc/,: =r.Y交棉恻丁c。两J九 yrhxT.O r讥叽=十.liFWJ： 为CD的中点：对I椭圆上的点0(acos方sin)
4、0tf 使OdKL才向列过射线的A为射戋易8文于0;3.辻国与)轴正向的文点作别I的圭线过10与x轴脅向的丸点作x轴巧全氏两条垂找交于点5.追妁0T, 线.文皿 耳,6.址点疋柞*轴的*九tftffif AAJ.亿馴力瞬求.让叽 览松作因相当于作了纵轴亦角上的仲编文抉）ug.F,容易让明钱我P0与*互村$ 分.而生尉4才向上的绅蚪吏换不改芟氏段妁比仕 因比y与M互相平分.这松就有【各注】玲说明张中4何题申由虑差法得刃的拈论可以肴做爻廉田孙 语径宅盯：趣刊用仿前交楫完或炖&何作凶，注意喂13的卡敕才程在仿射交杭刃形下茯洋了码切的儿何港療刃 （2UI2年湖北Flh设刖现位|谢亍七亠1卜的仔宜A.
5、的（【找是胃线/与卄的交点，点Mt H线/上.H湛足卩“卜同加| m0. llm#l） 当.乩必脚庞动臥记点MifM为門线.求曲钱c的力稈.判斷曲线c为何神砒m纵井或魚虑【靜圻】曲线C的方程为+厶=1m05。吋.曲纵c为直点企x轴丄的蔽，热.点生张为（Ji亦.0花 当加1时由线为仪点庄）抽匕曲代田.盘点生栋力（o.+J/w|利用仿琳父按处理31枳问也边过仿射受知巾样舗圆内浜 刃用内姒 日比刖存41侧比俶关氛血求鯨惻内按三角形的曲积运算虽曼低很多他 （2012 ：|人邛* ?内法）己知直/： r-lt+M zttly+:-l不同的两点才、B.若 卑标爪点0剑虚找/的亦禹为也求BOB血枳的屋大值.
6、 I2L【解析】坐莽忌点小住如的距离力芈.千艮直如是跖+ ,=寸的切纭i X = X , - ,作仿咐交段 M 对直线r足械国=匚旦即1十】“的切线.n 3 4 7x Q设。到直刘的距离为d-/2当w 3卬质-16时S 0“敢存兹丸值3此时创4为方莊为厂鸟0因此$5的最犬位力JT此时“的方齐为“伍吋 =0嫁习3 （2UII年駆义模）LiWy + / = 1的乩右顼也分別记为乩B过,4劃率为I的右奴殳楠園十另一点S/t-lRJC t的7满足：A的而积为.试循定白7的个故.x = x， .【詹析】弭楠m通过仿射爻换彳| 则5*“25、厂二I厂尹 5XV: y = 2（r+2）. r?2f-/-4
7、= O2r到匸纟IQ*的兔有为亍:二F4 V5215妹上 A卅软包印入厂巧个數足2练习4 （2010年肓武一橫幻 笊如:+ “2 = 0勺橢愧*二=1的交点为仁B.求使AE4B的而4枳为!旳山屮的个故：【用析】2.练习5（2011年兆城楼）设卉戏桶貝彳, = 1交J zT B侪点旦以沟F径的恫过傭鬧的 右用点C，求公2BC血枳的E人佰狄宜圾4B的方牲力押 +u,期联&直线方俎刍雅方农有八6*H + 90,即9何如丄+ a x a x aV T/=- = 3 = = - = 1? 役动点P決也OPOMON.其中M. “是楠国上的点直竣0与（W的斜； 率Z机为；.同：是合“在两个尸 K|PF|i|
8、P|为定偵？ 存在，求 F. M.标；若不存在.说明理山 5（刀（文韬）段功点p滴足：op=（w+2cw. HIlw. v足怖恻t的A. nav胡朱Z积为：何：是竹仔在点尸.便命点p対点尸的臣鹿T到1线X=2怖的沪贞Z比为J定値？若存“.求F的坐标：若不存裕.说明许由.【解圻】杵何NH交枚传F方鯉交为/ + ./4,且OA/丄02（理科）囚边形OMPM为正方影.干是|0卩卜|,煦卜2迈 卩点的肚方程为囿严+ . = 8、 J J因此p点的紈童方伽八迥1沐界y | 厚农符合題立的点片.F：出标为（2.0）.（印谕肖两*D（文卩）四边形OMPT为梅形op =|wy|=?Jsr点的总方理为曲/ 4-
9、/=2o,、 2 2因北P点的轨1$方r+（J2T=20. FP+2L=i.存任轩今題危的点F. IkXjlVio.o）. 右陈习i （2011年海淀仪）设11如:屮|s I用饲冷4*工I相交Ta. b M.以线段04. 08为邻边作Y行四14舷Q询其中顶点圆C E. 0为1示原点求阳的取 値范咏【解圻】胃仿尉乏换嚅间转化为可.千是主歼四垃形O4P/?壬为克形Of卩F.由*底丄得片桂菱形耳对角罠互相去亘，Wrp.因此讣I2 J3也或是|rj=|ix|1于是|ozf =XpWxpF牛卜牛3e 3,%练习2 （2012年海淀一棋库）已圳自线爪y二fcr + 励耳恢?才二I交i A. BliA自拔X
10、尸&4叫（叫农叫）与阀MG交于（。两点创绚斗的切因所不证明:求四边形肿“的由以FjMMI【靜圻】考恵用仿祜更换.ABCDjW平行四边形.作仿4;交换旨更为31内按平行凹边石.为矩形.因此对斤线力丄比 也茂是说便内快屮什凶边彷的於人线互相#分于念点、ftnjm:=0； 国为接麵形当且久当柜形为正方形时面自最大 盖大也为眼 于是慨EJ內接丰行四过形百租的V2【毎注】也可以看作相关宜我问題（Hi殳A线）=匕+加匀州E文于曲点虫8、|团= 号价于d二加八 /叫工叫/严-码，即蜃+叫二U(2市0材与3关于$5对祚円述形4B(7)专甘故$心击矛6巧丰斤日辻形不祐黃e、02m； +(2*: + l-)-2近
11、(当且仪当叫:四边形/1BCD的曲快S的技大(1是2盯侧& 已知m为门线丄“沖曲二+二二I在討象限内的交也vkioM ffrirjmT 2A. 两虫.求证%线AM.齐线】伯卜心轴用成的三角形肚篇魏二角形【解析】&用將10二工9通过仿易童訥厂，港农同产“R. l Wr(2.2)8 2 b“y 过作 “巧鱼线.金必为.文囚,牛二8于*N则尊知W22) v (2-2)QW丄(ZY人；0N丄彳/ 级据些径岌理，a平分矗“、干是Mv是zzwy+分典.于* = 2 = 2 = *.艮MH丄P0 . VP0是事博三商彬.碎【备注1(20124云一栈理)如田所示,己知弦EI的中心庄农点，点在x轴上.宦轴弍足短
12、轴枚的3傍. 且经辻AA/(3.I. 行于0耳直典Jij*上巧暫犯为E (阿0),且文坪目于朕两不 同点.术悄国的方任；加加的取值范回；(3)求旺：亘线MA、MB与*轴绪终29成一人寺炉三肖形设虫线？： mo). e(-2.O：U(O,2);桃为连线垂直问題的推广我用仿軒交損输可解;央.妹习6 (2011年四屮&二防M试)C知心M(2.1)是柳！(寸+匚訂上 点.出线尸L + (0) 血相交TA. D两点求AU4i的内心的横坐标.【解析】号股M图H的冷点与求解的同題.考点皱用分射艾换将兼回列化为凰加以缽决. 农因卩 客场迂明M0足/Mi平分线；千是M0足/BMOj平分线. 因此AM肿的內心的険
13、坐忙为M的瓚坐杠也毗2综合6 120】年山耒)L1知动II线/与槪肉C： +十-1交丁户仏)，0(勺.八)西不HL匕AHOPQ的面积其中0为坐标廉点 2(I) O：彳+打和才+片均为定值： ;设找段W的中点力MOUPQ的最大岭和IAIC上足合存隹.点6E.G便樹Sg厂丄网 Ym#?粗血川斷厶DG ； 的o：若不濮.请迎明鯉由. i*I 【解析】如田，作仿射Z, 护千则哺回(交为S8U 严+严=3.设0刊直强”0的謳鳥力d,对；】匸正/,屛朴2 2 2于足0|二2i/T7二&。卩丄g 因此/匸一丿匸.-Afflr 中.ae. gg、rtrtta心*均为g(y 因此.不存崔泻足題老的三尙彫.塚习7
14、(2013 Jtwflf 樓理) fW. LUII撕刘二二T(rrh0的蚀內过3的白线门笊帀俐忤庆心 旷扩4-y . F为榔国的在岳点，H.|JF| |fl-l .求此购同的方程；仪P是此处贺上舁儿B的任盘点.PHL皿为 垂足.運怏尸丹点0朱衍厅尸=陀，连按.40丿;延长殳 画于点“为a倍的中点,判定直銭QV与以朋为斤径的辰0的位皆关系.【毎注】设,40易倩文于点肌则Mt与備E)柯切，比更与(2旳可以f冊炙则决.利阳仿対受挟将问越转化为儿何冋逆铸7 L1WOIJ*Y=1 h的购点八关1X如对耕.P(4,0)JMHH輛I魔在直践上时一定;A. MPff/ttLUIIII交TD. 现 直找川)恒过
15、定点幷求定点坐b【靜析】将相通过伸缩文換为SL若点B为关十圆的亘径HG时林的构点HGbR压丘罠上的一&P与B克的连线交JS + D. 则初与PH文于乂邑E 证刖佃下：妇田、进结AG. GD，设P4易药文于CTG为XCDWXB的中A :.AG. DH分料走Z4WBDG的半分钱術DO kDH、DGyZEDP的叩井线兰=翌竺因此竺匹空LA? DP GP AP DP I GF乔*E DE-EG EH （柏支肚丈卧 APDP-AP CP-PG PH （切割找屯建）“EG EH Ed EG 和加 PG*T . = k * = .PG PH PG PG EH PHV ）撕图，杵半面宜角聲标泉边v中，已知欄|
16、闻千+召=1的却、右顶直为.仁f. 右魚日为八 设过点卩（9,刚的线瑣，彷仃北程圆分剔交于点阳斗）、*/）只中 m0. 0. j4連结4片止乂史十点厂.点&如追厂与卩恵冋一卡44于川？的直理上（为/7的杓皿匹rrf.根松林“打篇务芳子是空 空=1.申r!2胆为丸位.百氏。为走A DB AC DB BC法2H AC - 4a ZT4C- a Z V4C- (J 9. AT -.45/ - Scusu BT - fi.V - 2ag0 cosa co$0AT -皿 4T AM S r BT DB BTBN 4filZA/0C-2(r . ZNOC 詡、HOC 刘 OP 的入为a-卩,以0为忸点0C
17、为仅E环么直嵐MV的才恒为pcwe (a )卜必O,) 即pco-(a 0)卜初 cos(cr+0)工 /B COS(a cocrcos/? sinrrsin/? 1- tanrrtan/9T AOD Ad 二 Ao a),u “) csucg“*sinu、in0 1-tUiialan/?ZTACZMlBZMOB-a EB 二 ZNOB rc q f BC. tana Unp = Un Zo7(= AC TC21此0D = 加一于艮点。为犬点.1 +竺 AC四、参数方程椭圆参数方程 吴磊一、没吃过猪肉，你还没见过猪跑x=acosB; y=bsin 9 是一组我们熟悉而又陌生的方程，可问题是你真
18、懂他们的含义吗9究竟是个什么东东，和圆参数方程和极坐标方程中 9是一个意思吗1、从一道百分之九十以上人都做错的简单题展开例1、P是椭圆C上一点：x= 4 cos 9 ; y=2 V3sin 9 且在第一象限0 ( 0为原点)P的倾斜角为n /3，贝U P点的坐标为 经典错法：因为倾斜角为n /3，x= 4 cos 9 ; y=2 V3sin 9，所以x= 4cos n /3=2; y=2 V3sin n /3 =3 求得 P 坐标(2、正解：椭圆参数方程9是旋转而成的圆心角而不是倾斜角因为0P的倾斜角为n /3，故0P的斜率K=tan n /3= V3;V3=y/x 2 V3sin 9 /4
19、cos 9 =V3 sin 9 2 +cosa 9 2 =1 (2) 联立二式，P 在第一象限，可解 cos 9 =V5/5 sin 9 =2V5/5 P 点坐标为(4 V5/5、4V15/5 )2、椭圆参数方程的推导和含义解释r id I h； 心、JZj I 注1 WJ bJL Ik T 乜H lAAi怡冋1 * 八汎n 2 人回I屮QA 1 J -J -回I白勺夂丿駅 kJ: A H 人 z 丄工鼻 j Tft ZlL M jzt 人丄 AE* Yft 丿丄 1/EVI * 1Ji 十 1 .v/ir K iJ (V* ri 杆小时： iu-Vi 、n 。上l av yjn - x 4Z
20、trrj iHc込/学磁* wij 卒才2 -秽数门勺佢义3、椭圆参数方程的设法可能有的同学会按照焦点在 X轴：x=acosB; y=bsin 0焦点在 丫 轴:x=b cos 0; y=asin 0 去记忆，老师告诉你别这么理解，你只要记住 cos 0对应的系数是a和b中大的，cos和扩大谐音，参数方程还原主要看 cos 0前的系数，它一定是大的，焦点在哪个轴，他在哪个下面。二、椭圆参数方程妙用1、椭圆内内接面积问题例1:Ti i Air T IdT/； I / 4l . 才 厂 1 I It jFL1_j 兀【I finJ |vl| t( j o 1 1 J J /12 ) 14,W ABC DfK Jiri 人 Mi【利44yB .D厂2 A-o / XXa Xu解:可设 A( 10cosB ; 8sin 9 ),利用对称性可知 B( 10cosB ;-8sin 9 )C( -10 cos 9; - 8 sin 9 ) ; D( -10 cos 9; 8sin 9 )AB长度为16 sin 9 ; AD长度为20 cos 9 , 矩形面积S=160sin2 9,由三角函数知识可知，面积最大为 160例2:嘶圆未+厂】和X的正半轴的交点为阳解:要使SOAPE最大，由图可知SOAB为定值，需求出
