1、高等数学专科复习题及答案中南大学现代远程教育课程考试（专科）复习题及参考答案高等数学一、填空题1函数y=x2-4+1的定义域是. x-解. (-,-2 2,+) 。2若函数f(x+1)=x2+2x-5，则f(x)=解. x-63lim答案：1 正确解法：lim2 x-sinx=_ xxx-sinxsinxsinx=lim(1-)=lim1-lim=1-0=1 xxxxxxxx2+ax+b=2，则a=_, b=_。 4.已知lim2x2x-x-2由所给极限存在知, 4+2a+b=0, 得b=-2a-4, 又由x2+ax+bx+a+2a+4li=li=2, 知a=2,b=-8 x2x2-x-2x2
2、x+13ex-b5.已知lim=，则a=_, b=_。 x0(x-a)(x-1)(x-a)(x-1)aex-b=0, a=0,b1 lim=, 即limxx0x0(x-a)(x-1)1-be-b1xsin6函数f(x)=xx+1x0x+y10x+y1 22221-x-y1x+y0z 的定义域为：(x,y)|0x2+y20） 218.2n-12n-2； xn2n=12解：令y=x，则原幂级数成为不缺项的幂级数2n-1n-1y，记其各项系数为bn，因n2n=1bn2n-12n+12n-1为R=lim=limn=2lim=2，则-2y20x22，nbnn2n+12n+12n+1故-2x0,a1)（
3、） 1函数f(x)=xxa+1A.是奇函数； B. 是偶函数；C.既奇函数又是偶函数； D.是非奇非偶函数。解：利用奇偶函数的定义进行验证。 a-x-1a-x(1-ax)ax-1 f(-x)=(-x)-x=-x-x=xx=f(x) a+1a(1+ax)a+1所以B正确。2若函数f(x+211)=x2+2，则f(x)=（ ） xx22 A.x； B. x-2； C.(x-1)2； D. x-1。 解：因为x+211121122=x+2+-2=(x+)-2f(x+)=(x+)-2 ，所以xxxx2x2则f(x)=x2-2，故选项B正确。3设f(x)=x+1 ，则f(f(x)+1)=（ ）A x B
4、x + 1 Cx + 2 Dx + 3解 由于f(x)=x+1，得 f(f(x)+1)=(f(x)+1)+1f(x)+2 将f(x)=x+1代入，得f(f(x)+1)=(x+1)+2=x+3 正确答案：Dx2-ax-b)=0，其中a,b是常数，则（ ） 4已知lim(xx+1(A) a=1,b=1, (B) a=-1,b=1(C) a=1,b=-1 (D) a=-1,b=-1(x21-a)x2-(a+b)x-b-ax-b)=lim=0, 解. lim(xx+1xx+11-a=0,a+b=0,a=1,b=-1 答案：C5下列函数在指定的变化过程中，（ ）是无穷小量。A.e,1x(x)； B.si
5、nx,(x)； xC. ln(1+x),(x1)； D.x+1-1,(x0)x解：无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量，所以limsinx=0 xx而A, C, D三个选项中的极限都不为0，故选项B正确。6下列函数中，在给定趋势下是无界变量且为无穷大的函数是（ ） n1(x); (B)y=n(-1)(n); x11(C)y=lnx(x+0)； (D)y=cos(x0) xx111=1, 故不选(A). 取m=2k+1, 则解. limxsin=limsinxxxxx(A)y=xsinnlimn(-1)=limn1=0, 故不选(B). 取xn=k2k+11n+2, 则limn11cos=0, 故不
6、选xnxn(D). 答案：C1xsin,x07设f(x)=，则f(x)在x=0处（ xx,x0A连续且可导） B连续但不可导 D既不连续又不可导 C不连续但可导解：（B）x0limf(x)=limx=0，limf(x)=limxsin-+x0x0x01=0，f(0)=0 x因此f(x)在x=0处连续f+(0)=lim+x0f(x)-f(0)=limx0+x-0xsin1-01x，此极限不存在 =limsinx0+x-0x(0)不存在，故f(0)不存在 从而f+8曲线y=x-x在点（1，0）处的切线是（ ）A y=2x-2C y=2x+2 B y=-2x+2 D y=-2x-2 3解 由导数的定
7、义和它的几何意义可知，y(1)=(x3-x)=(3x2-1)=2x=1x=1是曲线y=x3-x在点（1，0）处的切线斜率，故切线方程是 y-0=2(x-1)，即y=2x-2正确答案：A 9已知y=14x4，则y=（ ） A. x3 B. 3x2C. 6x D. 6解 直接利用导数的公式计算： y=(14x4)=x3, y=(x3)=3x2 正确答案：B10若f(1x)=x，则f(x)=（ ）。 A1x B111x2 C-x D-x2 答案：D 先求出f(x)，再求其导数。211z=lnx-y2的定义域为（ ）22Ax-y1 Bx2-y20Cx2-y21 Dx2-y20 解 z的定义域为(x,y
8、)x2-y20个，选D。 12.下列极限存在的是（ ）（A）limx （B）1 （C）x2 （D）xy00x+ylimxlimlimx0xsin1 y00x+yx0y0x+yy0x+y解 A. 当P沿x=0时，ylim0f(0,y)=0，当P沿直线y=0时，xlim0f(x,0)=1，故xlimy0xx+y不存在； B. limx 1=，不存在； C. 如判断题中1 题可知lim x2不存在；y00x+yxy00x+y因为lim1x yxsin0x+ylimxx=0，所以lim1y0xxsin=0，选D y00x+yD.13.若f(-x)=f(x)(-x0,f(x)0,f(x)0,f(x)0（
9、C）f(x)0,f(x)0 （D）f(x)0解：因f(x)为偶函数,则f(x)为奇函数,f(x)为偶函数,故应选(C).14设f(x)为奇函数，且x0时f(x)0，则f(x)在-10,-1上的最大值为（ ）Af(-10)解：（B）因为f(x)是奇函数，故f(-x)=-f(x)，两边求导-f(-x)=-f(x)，从而Bf(-1) Cf(10) Df(1) f(x)=f(-x)，设x0，从而f(x)=f(-x)0，所以f(x)在-10，-1上单调增加，故最大值为f(-1)15函数f(x,y,z)=4(x-y)-x2-y2 ( )(A)、有极大值8 （B）、有极小值8 （C）无极值 （D）有无极值不
10、确定解 fx=4-2x，fy=-4-2y，x=2fx=0 f=0y=-2y-20H= 0 -0-215.设f(x)是以T为周期的连续函数,则I=（A）依赖于a,T a+T af(x)dx的值（ ）. （B）依赖于a,T和x（C）依赖于T,x，不依赖于a （D）依赖于T，不依赖于a解：根据周期函数定积分的性质有,32 l+T lf(x)dx=f(x)dx,故应选(D). 0 T17.曲线y=sinx (0x)与x轴围成的图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积为（ ）.（A）44222 （B） （C） （D） 3333解：所求旋转体的体积为 V=ydx=sinxdx=-00230cos3x4(1-cos
11、x)dcosx=-cosx-0=. 332故应选(B).sinx434218.设M=2，cosxdxN=(sinx+cosx)dx， 2 -1+x -22P=2(x2sin3x-cos4x)dx，则有（ ）.-2（A）NPM（C）NMP（B）MPN （D）PM0，P=-22cos4xdx0，所以PM0 (B)I021设f(t)是可微函数，且f(0)=1，则极限（lim+t01t3x2+y2t2f(x2+y2)dxdy）( )2f(0) 3(C) 等于+ （D）不存在且非（A）等于0 （B）等于 C）1解：由极坐标，原极限=lim3t0t+0d0rf(r)dr=tlim0+2t20rf(r)dr
12、tt3=2f(t)lim=+ 3t0t+22.设函数项级数un=1n(x)，下列结论中正确的是( ).（A）若函数列un(x)定义在区间I上，则区间I为此级数的收敛区间 （B）若S(x)为此级数的和函数，则余项rn(x)=S(x)-Sn(x)，limrn(x)=0n（C）若x0I使un=1n(x0)收敛，则|x|0为常数，则级数（A）绝对收敛nun=1n(x0)必收敛于S(x0) an(-1)(1-cos)（ ）. nn=1（C）发散 （D）敛散性与a有关 （B）条件收敛 aa2a22a解：因为(-1)(1-cos)=2sin2，而2收敛，因此原级数绝对收敛. 故n2n2nn=12n选（A）.
13、(x-a)n24.若级数(-1)在x0时发散，在x=0处收敛，则常数a=（ ）. nn=1n（A）1 （B）-1 （C）2 （D）2 n(-a)nn(x-a)解：由于(-1)收敛，由此知a1.当-10时发散矛盾，因此a=-1.故选（B）.25.y+2y+5y=e-xcos2x的特解可设为（ ）（A）y=e*-xAcos2x; （B）y*=xe-xAcos2x; （C）y=xe-x(Acos2x+Bsin2x); （D）y*=e-x(Acos2x+Bsin2x).解：C26.微分方程的阶数是指（ ）（A）方程中未知函数的最高阶数； （B）方程中未知函数导数或微分的最高阶数；（C）方程中未知函数的
14、最高次数； （D）方程中函数的次数.解：B27.下面函数( )可以看作某个二阶微分方程的通解.（A）x+y=c; （B）y=c1x2+c2x+c3;（C）y=c1sinx+c2cosx; （D）y=ln(c1x)+ln(c2cosx). 2222解：C28.A、B均为n阶可逆矩阵，则A、B的伴随矩阵(AB)*=（ ）.（A）A*B*； （B）|AB|A-1B-1； （C）B-1A-1 （D）B*A*；解答：D29. 设A、B均为n阶方阵，则必有 。(A) |A+B|=|A|+|B| (B) AB=BA(C) |AB|=|BA| (D) (A+B)1=A1+B1解：正确答案为(C)30.A,B都
15、是n阶矩阵,则下列各式成立的是 （ ）（A）(AB)=ATBT （B）(A+B)=AT+BT TT（C）(AB)解答：B -1=A-1B-1 （D）(A+B)=A-1+B-1 -131. 在随机事件A，B，C中，A和B两事件至少有一个发生而C事件不发生的随机事件可表示为（ ）（A）AC BC （B）ABC （C）ABC ABC ABC （D）A B C 解 由事件间的关系及运算知，可选（A）32. 袋中有5个黑球，3个白球，大小相同，一次随机地摸出4个球，其中恰有3个白球的概率为（ ）3531431（A） （B） （C）C8 （D） 48C888884解 基本事件总数为C8，设A表示“恰有3个
16、白球”的事件，A所包含的基本事件数531为C5=5，故P(A)=5，故应选（D）。 C8433. 已知0P(B)1,0P(A1)1,0P(A2)1，且P(A1 A2)|B ()=P(A1|B)+P(A2|B),则下列选项成立的是（ ）（A）P(A A)|B)=P(A|B)+P(A|B); 1212（B）P(A1 A2)|B=P(A1)+P(A2)（C）P(A1B A2B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)（D）P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)解 由题可知A1、A2互斥，又0P(B)1，0P(A1)1，0P(A2)1，所以P(A1BA2B)=P(A1
17、B)+P(A2B)P(A1A2B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)故应选（C）。()三、解答题1.设函数1xsin+bx f(x)=asinxxx0问（1）a,b为何值时，f(x)在x=0处有极限存在？（2）a,b为何值时，f(x)在x=0处连续？f(x)=limf(x)成立。 解：（1）要f(x)在x=0处有极限存在，即要lim-+x0x0f(x)=lim(xsin因为lim-x0x01+b)=b xx0limf(x)=lim+x0sinx=1xx0x0f(x)=limf(x)成立，即b=1时，函数在x=0处有极限所以，当b=1时，有lim-+存在，又因为函数在某点处有极
18、限与在该点处是否有定义无关，所以此时a可以取任意值。（2）依函数连续的定义知，函数在某点处连续的充要条件是f(x)=f(x0) lim-f(x)=lim+xx0xx0于是有b=1=f(0)=a，即a=b=1时函数在x=0处连续。x3+ax2+b=8，试确定a和b的值 2已知limx2x-2x3+ax2+b=8,lim(x3+ax2+b)=8+4a+b=0,即b=-8-4a 解. limx2x2x-2x3+ax2+bx3+ax2-4a-8lim=lim=limx2+(a+2)x+2a+4=4a+12=8, x2x2x2x-2x-2a=-1,故b=-4x1-13设f(x)=e, x0，求f(x)的
19、间断点，并说明间断点的所属类型ln(1+x),-1x0e解. f(x)在(-1,0),(0,1),(1,+)内连续, lim+x11x-1=,lime-x11x-1=0, f(0)=0, 因此,x=1是f(x)的第二类无穷间断点; limf(x)=lime+x0x0x0-1x-1=e-1, limf(x)=lim-ln(1+x)=0, 因此x=0是f(x)的第一类跳跃间断点. x04求方程中y是x的隐函数的导数（1）xy-ex+ey=1,y解：方程两边对自变量x求导，视y为中间变量，即(xy)-(ex)+(ey)=1y+xy-ex+eyy=0(x+ey)y=ex-yex-y整理得 y= x+e
20、ydyd2y（2）设y=sin(x+y)，求，； 2dxdx解：y=cos(x+y)(1+y) y=cos(x+y) 1-cos(x+y)y=-sin(x+y)(1+y)2+cos(x+y)y， y=-sin(x+y)-y =331-cos(x+y)1-cos(x+y)z-y5设z=z(x,y)由方程z+x=e2z所确定, 求. yx解: 设F(x,y,z)=ez-y-z-x,Fx=-1, Fy=-ez-y, Fz=ez-y-1, z1zez-y1=z-y, , =z-y=y-zxe-1ye-11-e2z1-ey-zze2(y-z). =()=yxx1-ey-z(1-ey-z)2x(1-ey-z)36设函数f(x)在0,1上可导，且0f(x)1，对于（0 ,1）内所有x有f(x)1,证明在（0,1）内有且只有一个数x使 f(x)=x.设 F(x)=f(x)-x, 在 0 ,1 上用零点定理，得 F(x
