1、高考数学总复习第30直线与圆训练练习试题第30直线与圆题型分析高考展望直线与圆是解析几何的基础，在高考中，除对本部分知识单独考查外，更多是在与圆锥曲线结合的综合题中对相关知识进行考查.单独考查时，一般为选择题、填空题，难度不大，属低中档题.直线的方程，圆的方程的求法及位置关系的判断与应用是本部分的重点.体验高考1.(2018广东)平行于直线2xy10且与圆x2y25相切的直线的方程是()A.2xy50或2xy50B.2xy0或2xy0C.2xy50或2xy50D.2xy0或2xy0答案A解析设所求直线方程为2xyc0，依题意有，解得c5，所以所求直线方程为2xy50或2xy50，故选A.2.(
2、2018课标全国)过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，7)的圆交y轴于M、N两点，则|MN|等于()A.2 B.8 C.4 D.10答案C解析由已知，得(3，1)，(3，9)，则3(3)(1)(9)0，所以，即ABBC，故过三点A，B，C的圆以AC为直径，得其方程为(x1)2(y2)225，令x0得(y2)224，解得y122，y222，所以|MN|y1y2|4，选C.3.(2018山东)一条光线从点(2，3)射出，经y轴反射后与圆(x3)2(y2)21相切，则反射光线所在直线的斜率为()A.或 B.或 C.或 D.或答案D解析由已知，得点(2，3)关于y轴的对称点为(2，3)，由入射光
3、线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，3).设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y3k(x2)，即kxy2k30.由反射光线与圆相切，则有d1，解得k或k，故选D.4.(2018上海)已知平行直线l1：2xy10，l2：2xy10，则l1，l2的距离为_.答案解析d.5.(2018课标全国丙)已知直线l：mxy3m0与圆x2y212交于A，B两点，过A，B分别做l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|2，则|CD|_.答案4解析设AB的中点为M，由题意知，圆的半径R2，|AB|2，所以|OM|3，解得m，由解得A(3，)，B(0，2)，则AC的直线方程为y(x3)，
4、BD的直线方程为y2x，令y0，解得C(2，0)，D(2，0)，所以|CD|4.高考必会题型题型一直线方程的求法与应用例1(1)若点P(1，1)为圆(x3)2y29的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为()A.2xy30 B.x2y10C.x2y30 D.2xy10答案D解析由题意知圆心C(3，0)，kCP.由kCPkMN1，得kMN2，所以弦MN所在直线的方程是2xy10.(2)已知ABC的顶点A(3，1)，AB边上的中线所在直线方程为6x10y590，B的平分线所在直线方程为x4y100，求BC边所在直线的方程.解设B(4y110，y1)，由AB中点在6x10y590上，可得：61059
5、0，y15，B(10，5).设A点关于x4y100的对称点为A(x，y)，则有A(1，7)，点A(1，7)，B(10，5)在直线BC上，故BC边所在直线的方程是2x9y650.点评(1)两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1l2k1k2，l1l2k1k21；判定两直线平行与垂直的关系时，如果给出的直线方程中存在字母系数，不仅要考虑斜率存在的情况，还要考虑斜率不存在的情况.(2)求直线方程的常用方法直接法：直接选用恰当的直线方程的形式，写出结果；待定系数法：先由直线满足的一个条件设出直线方程，使方程中含有一个待定系数，再由题给的另一条件求出待定系数.变式
6、训练1已知直线l经过直线3x4y20与直线2xy20的交点P，且垂直于直线x2y10.(1)求直线l的方程；(2)求直线l关于原点O对称的直线方程.解(1)由解得所以点P的坐标是(2，2)，又因为直线x2y10，即yx的斜率为k，由直线l与x2y10垂直可得kl2，故直线l的方程为：y22(x2)，即2xy20.(2)直线l的方程2xy20在x轴、y轴上的截距分别是1与2，则直线l关于原点对称的直线在x轴、y轴上的截距分别是1与2，所求直线方程为1，即2xy20.题型二圆的方程例2(1)(2018湖北)如图，已知圆C与x轴相切于点T(1，0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|A
7、B|2.圆C的标准方程为_.圆C在点B处的切线在x轴上的截距为_.答案(x1)2(y)221解析由题意，设圆心C(1，r)(r为圆C的半径)，则r22122，解得r.所以圆C的方程为(x1)2(y)22.方法一令x0，得y1，所以点B(0， 1).又点C(1， )，所以直线BC的斜率为kBC1，所以过点B的切线方程为y(1)x0，即yx(1).令y0，得切线在x轴上的截距为1.方法二令x0，得y1，所以点B(0，1).又点C(1，)，设过点B的切线方程为y(1)kx，即kxy(1)0.由题意，得圆心C(1，)到直线kxy(1)0的距离dr，解得k1.故切线方程为xy(1)0.令y0，得切线在x
8、轴上的截距为1.(2)已知圆C经过点A(2，1)，并且圆心在直线l1：y2x上，且该圆与直线l2：yx1相切.求圆C的方程；求以圆C内一点B为中点的弦所在直线l3的方程.解设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，则解得故圆C的方程为(x1)2(y2)22.由知圆心C的坐标为(1，2)，则kCB.设直线l3的斜率为k3，由k3kCB1，可得k32.故直线l3的方程为y2(x2)，即4x2y130.点评求圆的方程的两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程.(2)代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.变式训练2已知圆x2y24上
9、一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点.(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若PBQ90，求线段PQ中点的轨迹方程.解(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x2，2y).因为P点在圆x2y24上，所以(2x2)2(2y)24，故线段AP中点的轨迹方程为(x1)2y21.(2)设PQ的中点为N(x，y)，连接BN.在RtPBQ中，|PN|BN|.设O为坐标原点，连接ON，则ONPQ，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，所以x2y2(x1)2(y1)24.故线段PQ中点的轨迹方程为x2y2xy10.题型三直线与圆的位置关系
10、、弦长问题例3(1)(2018重庆)已知直线l：xay10(aR)是圆C：x2y24x2y10的对称轴，过点A(4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|等于()A.2 B.4 C.6 D.2答案C解析根据直线与圆的位置关系求解.由于直线xay10是圆C：x2y24x2y10的对称轴，圆心C(2，1)在直线xay10上，2a10，a1，A(4，1).|AC|236440.又r2，|AB|240436.|AB|6.(2)已知圆C：x2y22x4y40.写出圆C的标准方程，并指出圆心坐标和半径大小；是否存在斜率为1的直线m，使m被圆C截得的弦为AB，且OAOB(O为坐标原点).若存在，求出直线
11、m的方程；若不存在，请说明理由.解圆C的标准方程为(x1)2(y2)29，则圆心C的坐标为(1，2)，半径为3.假设存在这样的直线m，根据题意可设直线m：yxb.联立直线与圆的方程得2x22(b1)xb24b40，因为直线与圆相交，所以0，即b26b90，且满足x1x2b1，x1x2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1x1b，y2x2b，由OAOB得x1x2y1y20，所以x1x2(x1b)(x2b)2x1x2b(x1x2)b20，即b23b40得b4或b1，且均满足b26b90，故所求的直线m存在，方程为yx4或yx1.点评研究直线与圆位置关系的方法(1)研究直线与圆的位置关系的最
12、基本的解题方法为代数法，将几何问题代数化，利用函数与方程思想解题.(2)与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d及半弦长，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理.变式训练3已知以点C(t，)(tR，t0)为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为原点.(1)求证：OAB的面积为定值；(2)设直线y2x4与圆C交于点M，N，若|OM|ON|，求圆C的方程.(1)证明圆C过原点O，且|OC|2t2.圆C的方程是(xt)2(y)2t2，令x0，得y10，y2；令y0，得x10，x22t，SOAB|OA|OB|2t|4，即OAB的面积为定值.(2)解|OM|ON
13、|，|CM|CN|，OC垂直平分线段MN.kMN2，kOC.t，解得t2或t2.当t2时，圆心C的坐标为(2，1)，|OC|，此时C到直线y2x4的距离d.圆C与直线y2x4不相交，t2不符合题意，舍去.圆C的方程为(x2)2(y1)25.高考题型精练1.已知x，y满足x2y50，则(x1)2(y1)2的最小值为()A. B. C. D.答案A解析(x1)2(y1)2表示点P(x，y)到点Q(1，1)的距离的平方.由已知可得点P在直线l：x2y50上，所以|PQ|的最小值为点Q到直线l的距离，即d，所以(x1)2(y1)2的最小值为d2.故选A.2.“m3”是“直线l1：2(m1)x(m3)y
14、75m0与直线l2：(m3)x2y50垂直”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案A解析由l1l2得2(m1)(m3)2(m3)0，m3或m2.m3是l1l2的充分不必要条件.3.若动点A，B分别在直线l1：xy70和l2：xy50上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为()A.3 B.2 C.3 D.4答案A解析依题意知AB的中点M的集合是与直线l1：xy70和l2：xy50的距离都相等的直线，则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离，设点M所在直线的方程为l：xym0，根据平行线间的距离公式得|m7|m5|m6，即l：xy60，根据点
15、到直线的距离公式，得M到原点的距离的最小值为3.4.(2018山东)已知圆M：x2y22ay0(a0)截直线xy0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x1)2(y1)21的位置关系是()A.内切 B.相交 C.外切 D.相离答案B解析圆M：x2(ya)2a2，圆心坐标为M(0，a)，半径r1a，圆心M到直线xy0的距离d，由几何知识得2()2a2，解得a2.M(0，2)，r12.又圆N的圆心坐标N(1，1)，半径r21，|MN|，r1r23，r1r21.r1r2|MN|r1r2，两圆相交，故选B.5.与圆x2y21和圆x2y28x70都相切的圆的圆心轨迹是()A.椭圆B.椭圆和双曲线的一支C.
16、双曲线和一条直线(去掉几个点)D.双曲线的一支和一条直线(去掉几个点)答案D解析设所求圆圆心为M(x，y)，半径为r，圆x2y28x70(x4)2y29，圆心设为C(4，0)，由题意得当动圆与两定圆外切时，即|MO|r1，|MC|r3，从而|MC|MO|2|OC|，因此为双曲线的一支，当动圆与两定圆一个外切一个内切时，必切于两定圆切点，即M必在x轴上，但需去掉O，C及两定圆切点，因此选D.6.(2018课标全国)已知三点A(1，0)，B(0，)，C(2，)，则ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A. B. C. D.答案B解析由点B(0，)，C(2，)，得线段BC的垂直平分线方程为x1，由点A
17、(1，0)，B(0，)，得线段AB的垂直平分线方程为y，联立，解得ABC外接圆的圆心坐标为，其到原点的距离为 .故选B.7.(2018山东)在1，1上随机地取一个数k，则事件“直线ykx与圆(x5)2y29相交”发生的概率为_.答案解析由已知得，圆心(5，0)到直线ykx的距离小于半径，3，解得k，由几何概型得P.8.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2y28x150，若直线ykx2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是_.答案解析圆C的标准方程为(x4)2y21，圆心为(4，0).由题意知(4，0)到kxy20的距离应不大于2，即2.整理，得3k2
18、4k0.解得0k.故k的最大值是.9.在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2y24上有且仅有三个点到直线12x5yc0的距离为1，则实数c的值为_.答案13解析因为圆心到直线12x5yc0的距离为，所以由题意得1，c13.10.已知直线l过点(2，0)，当直线l与圆x2y22x有两个交点时，其斜率k的取值范围是_.答案(，)解析因为已知直线过点(2，0)，那么圆的方程x2y22x配方为(x1)2y21，表示的是圆心为(1，0)，半径为1的圆，设过点(2，0)的直线的斜率为k，则直线方程为yk(x2)，则点到直线距离等于圆的半径1，有d1，化简得8k21，所以k，然后可知此时有一个交点，那么当满足
19、题意的时候，可知斜率的取值范围是(，)，故答案为(，).11.已知过点A(0，1)，且方向向量为a(1，k)的直线l与圆C：(x2)2(y3)21相交于M，N两点.(1)求实数k的取值范围；(2)若O为坐标原点，且12，求k的值.解(1)直线l过点A(0，1)且方向向量为a(1，k)，直线l的方程为ykx1.由1，得k.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，将ykx1代入方程(x2)2(y3)21，得(1k2)x24(1k)x70，x1x2，x1x2，x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)1812，4，解得k1.12.已知圆Mx2(y2)21，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点.(1)若Q(1，0)，求切线QA，QB的方程；(2)求四边形QAMB面积的最小值；(3)若|AB|，求直线MQ的方程.解(1)设过点Q的圆M的切线方程为xmy1，则圆心M到切线的距离为1，1，m或0，切线QA，QB的方程分别为3x4y30和x1.(2)MAAQ，S四边形MAQB|MA|QA|QA|.四边形QAMB面积的最小值为.(3)设AB与MQ交于点P，则MPAB.MBBQ，|MP|.在RtMBQ中，|MB|2|MP|MQ|，即1|MQ|，
