1、1,4.3 定积分的概念和基本性质,4.3.1 定积分的定义,4.3.2 定积分的基本性质,2,4.3.1 引出定积分定义的例题,3,(4)取极限,取Sn的极限，得曲边三角形面积：,(1)分割,(2)近似,(3)求和,4,(1)分割,(2)近似,(3)求和,5,(1)分割,(2)近似,(3)求和,6,分 割,例:求曲线 y=x2、直线 x=1和 x轴所围成的曲边三角形的面积。,7,一般地，求由连续曲线y=f(x)(f(x)0)，直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积的方法是：,8,tn=,=t0,引出定义的实例二：求物体作变速直线运动所经过的路程,(2)在第 i(i1,2,n)个时间段
2、 ti1,ti上任取一时刻 i，用v(i)Dti近似替代物体在第i个时间段所走距离:Dsiv(i)Dti。,(1)用分点 t=ti(ti1ti,i1,2,n-1)把a,b分割成 n 个小的时间段，第i个时间段为 ti1,ti，长度记为Dti ti ti1。,(3)将物体在各时间段所走距离的近似值求和，并作为物体在区间a,b内所走距离 s 的近似值：,(4)记lmaxDt1,Dt2,Dtn，取极限l0，则物体在时间区间a,b内运动的距离：,9,分 割,实例二：求物体作变速直线运动所经过的路程,10,4.3.1定积分的定义,定义 4.3.1:,区间任意分成 n 份,分点依次为,将,在每一个小区间x
3、i-1,xi上任取一点ci,作乘积,无论区间的分法如何,ci在xi-1,xi上的取法如何,如果当最大区间长度,11,在每一个小区间xi-1,xi上任取一点ci,作乘积,无论区间的分法如何,ci在xi-1,xi上的取法如何,如果当最大区间长度,趋于零时和数的极限存在,那么我们就称函数f(x)在区间a,b上可积,并称这个极限I为函数f(x)在区间a,b上的定积分,记为,其中f(x)称为被积函数,x称为积分变量,a,b称为积分区间,a称为积分下限,b称为积分上限,和数称为积分和.,12,定积分的定义式：,定积分的相关名称：,13,注意:定积分与不定积分的区别,定积分和不定积分是两个完全不同的概念.不
4、定积分是微分的逆运算而定积分是一种特殊的和的极限,函数f(x)的不定积分是(无穷多个)函数,而f(x)在a,b上的定积分是一个完全由被积函数f(x)的形式和积分区间a,b所确定的值.,14,按定积分的定义，有(1)由连续曲线y=f(x)(f(x)0)，直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积为,(2)设物体运动的速度v=v(t)，则此物体在时间区间a,b内运动的距离s为,定积分的定义式：,15,规定:,16,定积分的几何意义,S=,17,定积分的几何意义,S,y=f(x),18,函数f(x)在区间a,b上的定积分表示为直线x=a,x=b,y=0所围成的几个曲边梯形的面积代数和。,定积分的
5、几何意义,S1,S2,S3,a,b,19,课本例题：例3：利用定积分几何意义验证：例4：在区间a,b上，若f(x)0,f(x)0,利用定积分几何意义验证：,定积分的几何意义,20,4.3.2 定积分的基本性质,有限个可积函数代数和的积分等于各函数积分的代数和，即若fi(x)(i=1,2,n)在a,b内可积，则有,21,4.3.2 定积分的基本性质,一个可积函数乘以一个常数之后，仍可为可积函数，且常数引资可以提到积分符号外面，即若 f(x)在a,b上可积，则 cf(x)在a,b上也可积（c为常数），且满足,22,4.3.2 定积分的基本性质,设f(x)在a,b内可积，若acb,则f(x)在a,c
6、和c,b上可积；反之，若f(x)在a,c和c,b上可积，则f(x)在a,b内可积，且有,23,4.3.2 定积分的基本性质,交换积分上下限，积分值变号，即特别地，若a=b，则,24,4.3.2 定积分的基本性质,设f(x)和g(x)在a,b上皆可积，且满足条件f(x)g(x)，则有,25,4.3.2 定积分的基本性质,26,4.3.2 定积分的基本性质,若函数f(x)在a,b上可积，且最大值与最小值分别为M和m，则推论：若函数f(x)在a,b上可积，则,27,4.3.2 定积分的基本性质,设f(x)在区间a,b上连续，则在a,b内至少有一点(a b),使得下式成立：同时，我们称下式为f(x)在a,b上的平均值,28,课本例题：例5：不计算积分，试比较下面两个积分的大小,定积分的基本性质,
